Вычитание

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Вычита́ние (убавление) — одна из вспомогательных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (уменьшаемого и вычитаемого), результатом которой является новое число (разность)[1], получаемое уменьшением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «минус»: <math>a-b=c</math> . Вычитание — операция обратная сложению.

В общем виде можно записать: <math>\overline{S}(a, b)=c</math>, где <math>a \in A</math> и <math>b \in A</math>. То есть каждой паре элементов <math>(a,b)</math> из множества <math>A</math> ставится в соответствие элемент <math>c=a-b</math>, называемый разностью <math>a</math> и <math>b</math>.
Вычитание возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип).

При наличии отрицательных чисел, вычитание удобно рассматривать (и определять) как разновидность сложения — сложение с отрицательным числом[2]. К примеру, <math>5-2=3</math> можно рассматривать как сложение: <math>5+(-2)=3</math>.

На множестве вещественных чисел область значений функции сложения графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.

У вычитания есть несколько важных свойств (например для <math>A=</math><math>\mathbb{R}</math>):

Антикоммутативность: <math>a-b \ne b-a,\quad\forall a, b \in\ A.</math>
Антиассоциативность: <math>(a-b)-c \ne a-(b-c),\quad\forall a, b,c \in\ A.</math>
Дистрибутивность: <math>x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A.</math>
Вычитание <math>0</math> (нулевого элемента) даёт число равное исходному: <math>x-0=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A.</math>

В качестве примера, на картинке справа запись <math>5-2=3</math> обозначает пять яблок вычесть два яблока, что в результате дает три яблока. Заметим, что нельзя вычесть например из 5 яблок 2 груши. Помимо счета яблок, вычитание также может представлять разность других физических и абстрактных величин, таких как: отрицательные числа, дробные числа, векторы, функции, и другие.





Формы записи и терминология

Вычитание записывается с использованием символа "минус": «<math>-</math>» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте символ "минус" является  бинарным оператором. Результат записывается с использованием знака равенства «<math>=</math>», например:

<math>a - b = c </math> ;
<math>6 - 3 = 3 </math> («шесть минус три равно три») ;
<math>64 - 35 = 29 </math> («шестьдесят четыре минус тридцать пять равно двадцать девять») .

На письме символ "минус" очень похож на другие письменные символы "дефис", "тире" и другие. Следует внимательнее разбирать выражение, чтобы не возникло ошибочного истолкования символа.

Свойства

Операция вычитание на числовых множествах <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> имеет следующие основные свойства:

  • Вычитание антикоммутативно — от перемены мест аргументов разность изменяется:
Антикоммутативность: <math>a-b \ne b-a,\quad\forall a, b \in\ A.</math>
  • Вычитание антиассоциативно — при последовательном выполнении вычитания трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится:
Антиассоциативность: <math>(a-b)-c \ne a-(b-c),\quad\forall a, b,c \in\ A.</math>
  • Вычитание дистрибутивно, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, так-же известно, как распределительный закон[4] .
Дистрибутивность: <math>x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A.</math>
  • Относительно вычитания в множестве <math>A</math> существует единственный нейтральный элемент, вычитание из числа нулевого (или нейтрального элемента) даёт число равное исходному:
Нулевой элемент: <math>x-0=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A.</math>
  • Вычитание нуля идемпотентно — повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:
Идемпотентность: <math>x = x - 0 = (x-0) - 0 = ((x-0)-0)- ... - 0,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A</math>;
<math>a-(-a)=a+a=2a,\quad\forall a\in A, \quad\exists -a\in A.</math>

Результат вычитания не всегда является определённым для множества натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>: чтобы получить натуральное число в результате вычитания, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Невозможно в рамках натуральных чисел вычесть из меньшего числа большее.

Операция вычитания чисел определённых на множествах <math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> даёт число (разность) принадлежащее этому-же множеству, следовательно операция вычитание относится к замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из данного множества чисел), то есть множества чисел <math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> образуют кольца относительно операции вычитания.

Выполнение вычитания

Операцию вычитания можно представить, как некий "черный ящик" с уменьшаемым и вычитаемым на входе и одним выходом - разностью:

При практическом решении задачи вычитания двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: "простое вычитание", заём, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы вычитания, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного вычитания. При этом следует рассматривать вычитание как процедуру (в отличие от операции).

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при вычитании больших чисел может занять продолжительное время. "Простое вычитание" - в данном контексте обозначает операцию вычитания чисел меньше двадцати, которая может быть легко сведена к декрементированию. Является гипероператором декрементирования:

<math>a-b = \operatorname{hyper-1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -1, b) = a ^ {(-1)} b.</math>

<math> a {^{(-1)}} b = a - b = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{a} \underbrace{- 1 - 1 - \dots - 1}_{b}.</math>

где: <math>1 + 1 + \dots + 1</math> - последовательность операций инкрементирования, выполненная <math>a</math> раз;
<math>-1 - 1 - \dots - 1</math> - последовательность операция декрементирования, выполненная <math>b</math> раз.

Чтобы упростить и ускорить процесс вычитания используют табличный метод "простого вычитания", для этого заранее вычисляют все комбинации разностей чисел от 18 до 0 и берут готовый результат из этой таблицы [5]:

Данная процедура применима к вычитанию натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Вычитание чисел

Натуральные числа

Воспользуемся определением натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <math>C, A, B</math> порождённых биекциями, с помощью скобок: <math>[C], [A], [B]</math>. Тогда арифметическая операция «вычитание» определяется следующим образом:

<math>[C]=[A] - [B] = [A \setminus B];</math>

где <math>A \setminus B=\{C \in A \mid C \not\in B \mid B \subset A \}</math> — разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества <math> A </math> на отрезок <math> N_a </math> можно понимать как нумерацию элементов множества <math> A: \quad A \sim N_a </math> . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» - это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Для вычитания натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм вычитания. Если даны два натуральных числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что:

<math>a=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0, \quad b=b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0, \quad \forall a_{k},b_{k} \in \{P \}, \quad \forall a_{n-1}, b_{n-1} \ne 0, \quad a \geqslant b, \quad\exists 0\in \N;</math>

где <math> a_{0 \dots n-1}=a_k P^k, \quad b_{0 \dots n-1}=b_k P^k </math>; <math>n</math> - количество цифр в числе <math>n \in \{1, 2, \dots ,n \}</math>; <math>k</math> - порядковый номером разряда (позиции), <math>k \in \{0, 1, \dots ,n-1 \}</math>; <math>P</math> - основание системы счисления; <math> \{P \}</math> множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления: <math>\{P_2 \}= \{0,1 \}</math>, <math>\{P_{10} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}</math>, <math>\{P_{16} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F \}</math>; тогда:

<math>c=a-b; \quad c_{n-1} c_{n-2}\dots c_0=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0-b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0;</math>

вычитая поразрядно, получаем:

  • <math>c_0=\begin{cases} a_0-b_0, \quad & \text{if } a_0 \geqslant b_0 \text{ } \\ a_0+P-b_0, \quad a_1=a_1-1 & \text{if } a_0 < b_0 \text{ } \end{cases}</math>
  • <math>c_1=\begin{cases} a_1-b_1, \quad & \text{if } a_1 \geqslant b_1 \text{ } \\ a_1+P-b_1, \quad a_2=a_2-1 & \text{if } a_1 < b_1 \text{ } \end{cases}</math>
  • <math>... \quad \quad... \quad \quad...</math>
  • <math>c_{n-1}=\begin{cases} a_{n-1}-b_{n-1}, \quad & \text{if } a_{n-1}\geqslant b_{n-1} \text{ } \\ a_{n-1}+P-b_{n-1}, \quad a_n=a_n-1 & \text{if } a_{n-1}<b_{n-1} \text{ } \end{cases}</math>

Таким образом операция вычитания сводится к процедуре последовательного простого вычитания натуральных чисел <math>a_{k}-b_{k}</math>, с формированием заёма при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо декрементированием (счетом).

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей вычитания, соответствующей данному основанию <math>P</math> системы счисления.

Пример вычитания натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, знак заёма пишется сверху, недостающие разряды дополняются нулями:

<math>\begin{array}{ccccccccc} &.&.&_{10}&&.&_{10} \\ &1&1&0&1&1&0 \\ -&0&1&1&1&0&1 \\ \hline &&1&1&0&0&1 \end{array}; \quad \quad \begin{array}{ccccccc} &.&_{10}& \\ &8&4&5&6&7 \\ -&3&7&5&4&1 \\ \hline &4&7&0&2&6 \end{array}; \quad \quad \begin{array}{ccccccc} &.&_{10}&&&_.&_{10} \\ &C&5&6&D&E&4 \\ -&0&F&2&A&1&F \\ \hline &B&6&4&3&C&5 \end{array}.</math>

Целые числа

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, получаемое добавлением отрицательных чисел [6] вида <math>-n</math>. Множество целых чисел обозначается <math>\mathbb{Z}.</math> Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами. Наличие отрицательных чисел позволяет рассматривать (и определять) "вычитание" как разновидность "сложения" — сложение с отрицательным числом. Однако рассмотрим в рамках данной статьи "вычитание", как операцию определённую на множестве целых чисел, это так-же относится и к следующим числовым множествам. Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру вычитания. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

  • Если оба аргумента положительные, тогда: <math>c = a - b;</math>
  • Если один из аргументов отрицателен, тогда: <math>c= -a - b = -(a+b),</math> либо <math>c= a - (-b) = a+b;</math>
  • Если оба аргумента отрицательны, тогда: <math>c = (-a)-(-b) = - a + b = b - a.</math>

Здесь и далее так-же используется алгоритм поразрядного вычитания (сложения). Например, рассмотрим выражение: <math>-6-4=-10</math>; так как у чисел <math>-6</math> и <math>4</math> разные знаки, то выносим минус за скобки: <math>-6-4=-(6+4)</math>, вычисляя далее получим ответ: <math>-10</math>.

Рациональные числа

Множество рациональных чисел обозначается <math>\mathbb{Q}</math> (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде: <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</math>

Для вычитания рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: <math>\pm \frac{m}{n}</math>, их следует преобразовать (привести) к общему (одинаковому) знаменателю. Например, взять произведение знаменателей, числители при этом умножаются на соответствующие знаменатели. Затем вычесть полученные числители, а произведение знаменателей станет общим.

Если даны два рациональных числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что: <math>a=\frac{m_a}{n_a}, b=\frac{m_b}{n_b} \quad\forall m_a, n_a, m_b, n_b \in \mathbb{N} \quad\forall {n_a},{n_b} \ne 0 </math> (дроби не сокращаемые), тогда:

<math> c=a-b = \frac{m_a}{n_a} - \frac{m_b}{n_b} = \frac{m_a \cdot n_b}{n_a \cdot n_b} - \frac{n_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b} = \frac{m_a \cdot n_b - m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}.</math> [7]

Либо можно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Порядок действий:

  • Находим наименьшее общее кратное знаменателей: <math>M=[n_a,n_b]</math>.
  • Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на <math>\frac{M}{n_a}</math>.
  • Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на <math>\frac{M}{n_b}</math>.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны <math>M</math>). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве <math>M</math> любое другое общее кратное.

Пример вычитания:

<math> \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 5 - 3 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{10 - 3}{15} = \frac{7}{15}.</math>

Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:

<math> \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1-2}{4} = -\frac{1}{4}.</math>

Если знаменатели кратны какому либо числу, то преобразуем только одну дробь:

<math> \frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} - \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3- 1 \cdot 2}{8} = \frac{1}{8}.</math>

Арифметическая операция «вычитание» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[8] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

<math> \alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\}</math>,
<math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\}</math>

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: <math>\alpha = [a_n]</math> и <math>\beta = [b_n]</math>, то их разностью называют число <math>\gamma = [c_n]</math>, определённое разностью последовательностей <math>\{a_n\}</math> и <math>\{b_n\}</math>:

<math>\gamma = \alpha - \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n] - [b_n] = [a_n - b_n] </math>;

вещественное число <math>\gamma = \alpha - \beta</math>, удовлетворяет следующему условию:

<math>

\forall a', a, b', b \in \mathbb{Q}; ~~~~ (a' \leqslant \alpha \leqslant a) \and (b' \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a' - b' \leqslant \alpha - \beta \leqslant a - b) \Rightarrow (a' - b' \leqslant \gamma \leqslant a - b)

</math>.

Таким образом разностью двух вещественных чисел  <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> является такое вещественное число <math>\gamma</math> которое содержится между всеми разностями вида <math>a' - b'</math> с одной стороны и всеми разностями вида <math>a - b</math> с другой стороны[9].

На практике для того, чтобы вычесть два числа <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами <math>a</math> и <math>b</math>. За приближенное значение разности чисел <math>\alpha - \beta</math> берут разность указанных рациональных чисел <math>a-b</math>. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>. Сложение производится по алгоритму поразрядного сложения.

При вычитании приближённых чисел их абсолютные погрешности скла­дываются <math>\Delta (a - b)=\Delta a+ \Delta b</math>, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность разности заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных по­грешностей аргументов; на практике принимается наибольшее значение <math>\delta (a - b)=max(\delta a,\delta b)</math>. Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример вычитания <math>\gamma=\pi-e</math>, с точностью до 3-го знака после запятой:

  • Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
  • Получаем: <math>\pi\approx 3.1416, \quad e \approx 2.7183</math> ;
  • Поразрядно вычитаем: <math>\gamma = \pi - e \approx 3.1416 - 2.7183 \approx 0.4233</math> ;
  • Округляем до 3-го знака после запятой: <math>\gamma\approx 0.423</math> .

График

На множестве вещественных чисел область значений функции вычитания графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.

Так как <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, то и для этих множеств область значений функции вычитания будет принадлежать этой плоскости.

Комплексные числа

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом <math>\mathbb{C}</math>.

Комплексные числа вычитаются друг с другом путём вычитания действительных и мнимых частей[10]. Это значит, что:

<math>c+fi=(a+di) - (b+ei) = (a-b) + (d-e)i,\ </math>

Где: <math>c, a, b, d, e, f \in \R</math>, <math>i</math> — мнимая единица. Используя представление комплексных чисел как векторов на комплексной плоскости, можно дать вычитанию комплексных чисел следующую геометрическую интерпретацию: разностью комплексных чисел <math>a+di</math> и <math>b+ei</math>, представленных векторами на комплексной плоскости, будет вектор, соединяющий концы уменьшаемого вектора  и вычитаемого вектора  и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, он является разностью векторов и соответственно разностью комплексных чисел (аналогично будет если к уменьшаемому вектору прибавить вектор обратный вычитаемому вектору).

Аналогично для комплексных чисел n-ой размерности: <math>A=a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n, ~~~ B=b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n;</math> <math>C=A-B=(a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n) - (b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n) =</math> <math> =(a_1-b_1)1+(a_2-b_2)i_2+ \dots +(a_n-b_n)i_n = c_11+c_2i_2+ \dots +c_ni_n.</math>

Экспоненциальная запись

В экспоненциальной записи числа записываются в виде <math>a= \pm x \cdot P^{ \pm n}</math>, где <math>x</math> — мантисса, <math>P^{n}</math> — характеристика числа, <math>P</math> - основание системы счисления. Для вычитания двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики: <math> a \cdot P^{n} - b \cdot P^{n} = (a-b) \cdot P^{n},</math> согласно свойству дистрибутивности.

Например:

<math>2.3 \cdot 10^{-5} - 5.67 \cdot 10^{-6} = 2.34 \cdot 10^{-5} - 0.567 \cdot 10^{-5} = (2.34 - 0.567) \cdot 10^{-5} = 1.773 \cdot 10^{-5}</math>

Вычитание произвольных чисел

При вычитании чисел принадлежащих разным множествам необходимо произвести расширение числа из множества с меньшей мощностью в сторону числа из множества с большей мощностью, либо оба числа расширить до уравнивания множеств, если существует такая возможность. Например, если нужно вычесть из рационального числа <math>9,56</math> натуральное число <math>4</math>, то воспользовавшись тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных, расширяем натуральное число <math>4</math> до рационального числа <math>4,00</math> и вычитаем два рациональных числа <math>9,56-4,00=5,56</math>. Аналогично, пользуясь тем, что: <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H}</math> можно вычитать числа из различных множеств между собой.

См. также

Напишите отзыв о статье "Вычитание"

Литература

  • Ильин В.А. и др. [edu.alnam.ru/book_man_b.php?id=11 Математический анализ. Начальный курс.]. — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
  • Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
  • Барсуков А.Н. [edu.alnam.ru/book_b_alg.php?id=14 Алгебра. Учебник для 6-8 классов.]. — Просвещение, 1966. — 296 с.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. [edu.alnam.ru/book_dmath.php?id=12 Математика. Справочные материалы, книга для учащихся.]. — Просвещение, 1988. — 416 с.
  • Истомина Н.Б. [www.minuspk.ru/resource/resource1422507032.pdf Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.]. — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
  • В.И. Игошин [www.unn.ru/math/no/8/_nom8_002_igoshin.pdf КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА] (рус.) : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
  • Кононюк А.Е. [ecat.diit.edu.ua:81/ft/GTM4.pdf Обобщенная теория моделирования.]. — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8.
  • [www.artlebedev.ru/kovodstvo/97/ Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики] : [[www.webcitation.org/61BGqwQ2N арх.] 24 августа 2011] // Ководство / Артемий Лебедев. — 15 января 2003 г. — § 97.</span>


Примечания

В Викисловаре есть статья «вычитание»
  1. Вычитание // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
  2. [planetmath.org/encyclopedia/Subtraction.html Subtraction] (англ.) на сайте PlanetMath.
  3. Лебедев, 2003, с. 97.
  4. Так эти свойства называются в учебниках для младших классов
  5. Истомина, 2005, с. 165.
  6. Выгодский, 2003.
  7. Гусев, 1988, с. 20.
  8. Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math>
  9. Ильин, 1985, с. 46.
  10. Конвей, 1986, с. 107.


Отрывок, характеризующий Вычитание

Наташа остановила его.
– Граф, что это, дурно, что я пою? – сказала она, покраснев, но, не спуская глаз, вопросительно глядя на Пьера.
– Нет… Отчего же? Напротив… Но отчего вы меня спрашиваете?
– Я сама не знаю, – быстро отвечала Наташа, – но я ничего бы не хотела сделать, что бы вам не нравилось. Я вам верю во всем. Вы не знаете, как вы для меля важны и как вы много для меня сделали!.. – Она говорила быстро и не замечая того, как Пьер покраснел при этих словах. – Я видела в том же приказе он, Болконский (быстро, шепотом проговорила она это слово), он в России и опять служит. Как вы думаете, – сказала она быстро, видимо, торопясь говорить, потому что она боялась за свои силы, – простит он меня когда нибудь? Не будет он иметь против меня злого чувства? Как вы думаете? Как вы думаете?
– Я думаю… – сказал Пьер. – Ему нечего прощать… Ежели бы я был на его месте… – По связи воспоминаний, Пьер мгновенно перенесся воображением к тому времени, когда он, утешая ее, сказал ей, что ежели бы он был не он, а лучший человек в мире и свободен, то он на коленях просил бы ее руки, и то же чувство жалости, нежности, любви охватило его, и те же слова были у него на устах. Но она не дала ему времени сказать их.
– Да вы – вы, – сказала она, с восторгом произнося это слово вы, – другое дело. Добрее, великодушнее, лучше вас я не знаю человека, и не может быть. Ежели бы вас не было тогда, да и теперь, я не знаю, что бы было со мною, потому что… – Слезы вдруг полились ей в глаза; она повернулась, подняла ноты к глазам, запела и пошла опять ходить по зале.
В это же время из гостиной выбежал Петя.
Петя был теперь красивый, румяный пятнадцатилетний мальчик с толстыми, красными губами, похожий на Наташу. Он готовился в университет, но в последнее время, с товарищем своим Оболенским, тайно решил, что пойдет в гусары.
Петя выскочил к своему тезке, чтобы переговорить о деле.
Он просил его узнать, примут ли его в гусары.
Пьер шел по гостиной, не слушая Петю.
Петя дернул его за руку, чтоб обратить на себя его вниманье.
– Ну что мое дело, Петр Кирилыч. Ради бога! Одна надежда на вас, – говорил Петя.
– Ах да, твое дело. В гусары то? Скажу, скажу. Нынче скажу все.
– Ну что, mon cher, ну что, достали манифест? – спросил старый граф. – А графинюшка была у обедни у Разумовских, молитву новую слышала. Очень хорошая, говорит.
– Достал, – отвечал Пьер. – Завтра государь будет… Необычайное дворянское собрание и, говорят, по десяти с тысячи набор. Да, поздравляю вас.
– Да, да, слава богу. Ну, а из армии что?
– Наши опять отступили. Под Смоленском уже, говорят, – отвечал Пьер.
– Боже мой, боже мой! – сказал граф. – Где же манифест?
– Воззвание! Ах, да! – Пьер стал в карманах искать бумаг и не мог найти их. Продолжая охлопывать карманы, он поцеловал руку у вошедшей графини и беспокойно оглядывался, очевидно, ожидая Наташу, которая не пела больше, но и не приходила в гостиную.
– Ей богу, не знаю, куда я его дел, – сказал он.
– Ну уж, вечно растеряет все, – сказала графиня. Наташа вошла с размягченным, взволнованным лицом и села, молча глядя на Пьера. Как только она вошла в комнату, лицо Пьера, до этого пасмурное, просияло, и он, продолжая отыскивать бумаги, несколько раз взглядывал на нее.
– Ей богу, я съезжу, я дома забыл. Непременно…
– Ну, к обеду опоздаете.
– Ах, и кучер уехал.
Но Соня, пошедшая в переднюю искать бумаги, нашла их в шляпе Пьера, куда он их старательно заложил за подкладку. Пьер было хотел читать.
– Нет, после обеда, – сказал старый граф, видимо, в этом чтении предвидевший большое удовольствие.
За обедом, за которым пили шампанское за здоровье нового Георгиевского кавалера, Шиншин рассказывал городские новости о болезни старой грузинской княгини, о том, что Метивье исчез из Москвы, и о том, что к Растопчину привели какого то немца и объявили ему, что это шампиньон (так рассказывал сам граф Растопчин), и как граф Растопчин велел шампиньона отпустить, сказав народу, что это не шампиньон, а просто старый гриб немец.
– Хватают, хватают, – сказал граф, – я графине и то говорю, чтобы поменьше говорила по французски. Теперь не время.
– А слышали? – сказал Шиншин. – Князь Голицын русского учителя взял, по русски учится – il commence a devenir dangereux de parler francais dans les rues. [становится опасным говорить по французски на улицах.]
– Ну что ж, граф Петр Кирилыч, как ополченье то собирать будут, и вам придется на коня? – сказал старый граф, обращаясь к Пьеру.
Пьер был молчалив и задумчив во все время этого обеда. Он, как бы не понимая, посмотрел на графа при этом обращении.
– Да, да, на войну, – сказал он, – нет! Какой я воин! А впрочем, все так странно, так странно! Да я и сам не понимаю. Я не знаю, я так далек от военных вкусов, но в теперешние времена никто за себя отвечать не может.
После обеда граф уселся покойно в кресло и с серьезным лицом попросил Соню, славившуюся мастерством чтения, читать.
– «Первопрестольной столице нашей Москве.
Неприятель вошел с великими силами в пределы России. Он идет разорять любезное наше отечество», – старательно читала Соня своим тоненьким голоском. Граф, закрыв глаза, слушал, порывисто вздыхая в некоторых местах.
Наташа сидела вытянувшись, испытующе и прямо глядя то на отца, то на Пьера.
Пьер чувствовал на себе ее взгляд и старался не оглядываться. Графиня неодобрительно и сердито покачивала головой против каждого торжественного выражения манифеста. Она во всех этих словах видела только то, что опасности, угрожающие ее сыну, еще не скоро прекратятся. Шиншин, сложив рот в насмешливую улыбку, очевидно приготовился насмехаться над тем, что первое представится для насмешки: над чтением Сони, над тем, что скажет граф, даже над самым воззванием, ежели не представится лучше предлога.
Прочтя об опасностях, угрожающих России, о надеждах, возлагаемых государем на Москву, и в особенности на знаменитое дворянство, Соня с дрожанием голоса, происходившим преимущественно от внимания, с которым ее слушали, прочла последние слова: «Мы не умедлим сами стать посреди народа своего в сей столице и в других государства нашего местах для совещания и руководствования всеми нашими ополчениями, как ныне преграждающими пути врагу, так и вновь устроенными на поражение оного, везде, где только появится. Да обратится погибель, в которую он мнит низринуть нас, на главу его, и освобожденная от рабства Европа да возвеличит имя России!»
– Вот это так! – вскрикнул граф, открывая мокрые глаза и несколько раз прерываясь от сопенья, как будто к носу ему подносили склянку с крепкой уксусной солью. – Только скажи государь, мы всем пожертвуем и ничего не пожалеем.
Шиншин еще не успел сказать приготовленную им шутку на патриотизм графа, как Наташа вскочила с своего места и подбежала к отцу.
– Что за прелесть, этот папа! – проговорила она, целуя его, и она опять взглянула на Пьера с тем бессознательным кокетством, которое вернулось к ней вместе с ее оживлением.
– Вот так патриотка! – сказал Шиншин.
– Совсем не патриотка, а просто… – обиженно отвечала Наташа. – Вам все смешно, а это совсем не шутка…
– Какие шутки! – повторил граф. – Только скажи он слово, мы все пойдем… Мы не немцы какие нибудь…
– А заметили вы, – сказал Пьер, – что сказало: «для совещания».
– Ну уж там для чего бы ни было…
В это время Петя, на которого никто не обращал внимания, подошел к отцу и, весь красный, ломающимся, то грубым, то тонким голосом, сказал:
– Ну теперь, папенька, я решительно скажу – и маменька тоже, как хотите, – я решительно скажу, что вы пустите меня в военную службу, потому что я не могу… вот и всё…
Графиня с ужасом подняла глаза к небу, всплеснула руками и сердито обратилась к мужу.
– Вот и договорился! – сказала она.
Но граф в ту же минуту оправился от волнения.
– Ну, ну, – сказал он. – Вот воин еще! Глупости то оставь: учиться надо.
– Это не глупости, папенька. Оболенский Федя моложе меня и тоже идет, а главное, все равно я не могу ничему учиться теперь, когда… – Петя остановился, покраснел до поту и проговорил таки: – когда отечество в опасности.
– Полно, полно, глупости…
– Да ведь вы сами сказали, что всем пожертвуем.
– Петя, я тебе говорю, замолчи, – крикнул граф, оглядываясь на жену, которая, побледнев, смотрела остановившимися глазами на меньшого сына.
– А я вам говорю. Вот и Петр Кириллович скажет…
– Я тебе говорю – вздор, еще молоко не обсохло, а в военную службу хочет! Ну, ну, я тебе говорю, – и граф, взяв с собой бумаги, вероятно, чтобы еще раз прочесть в кабинете перед отдыхом, пошел из комнаты.
– Петр Кириллович, что ж, пойдем покурить…
Пьер находился в смущении и нерешительности. Непривычно блестящие и оживленные глаза Наташи беспрестанно, больше чем ласково обращавшиеся на него, привели его в это состояние.
– Нет, я, кажется, домой поеду…
– Как домой, да вы вечер у нас хотели… И то редко стали бывать. А эта моя… – сказал добродушно граф, указывая на Наташу, – только при вас и весела…
– Да, я забыл… Мне непременно надо домой… Дела… – поспешно сказал Пьер.
– Ну так до свидания, – сказал граф, совсем уходя из комнаты.
– Отчего вы уезжаете? Отчего вы расстроены? Отчего?.. – спросила Пьера Наташа, вызывающе глядя ему в глаза.
«Оттого, что я тебя люблю! – хотел он сказать, но он не сказал этого, до слез покраснел и опустил глаза.
– Оттого, что мне лучше реже бывать у вас… Оттого… нет, просто у меня дела.
– Отчего? нет, скажите, – решительно начала было Наташа и вдруг замолчала. Они оба испуганно и смущенно смотрели друг на друга. Он попытался усмехнуться, но не мог: улыбка его выразила страдание, и он молча поцеловал ее руку и вышел.
Пьер решил сам с собою не бывать больше у Ростовых.


Петя, после полученного им решительного отказа, ушел в свою комнату и там, запершись от всех, горько плакал. Все сделали, как будто ничего не заметили, когда он к чаю пришел молчаливый и мрачный, с заплаканными глазами.
На другой день приехал государь. Несколько человек дворовых Ростовых отпросились пойти поглядеть царя. В это утро Петя долго одевался, причесывался и устроивал воротнички так, как у больших. Он хмурился перед зеркалом, делал жесты, пожимал плечами и, наконец, никому не сказавши, надел фуражку и вышел из дома с заднего крыльца, стараясь не быть замеченным. Петя решился идти прямо к тому месту, где был государь, и прямо объяснить какому нибудь камергеру (Пете казалось, что государя всегда окружают камергеры), что он, граф Ростов, несмотря на свою молодость, желает служить отечеству, что молодость не может быть препятствием для преданности и что он готов… Петя, в то время как он собирался, приготовил много прекрасных слов, которые он скажет камергеру.
Петя рассчитывал на успех своего представления государю именно потому, что он ребенок (Петя думал даже, как все удивятся его молодости), а вместе с тем в устройстве своих воротничков, в прическе и в степенной медлительной походке он хотел представить из себя старого человека. Но чем дальше он шел, чем больше он развлекался все прибывающим и прибывающим у Кремля народом, тем больше он забывал соблюдение степенности и медлительности, свойственных взрослым людям. Подходя к Кремлю, он уже стал заботиться о том, чтобы его не затолкали, и решительно, с угрожающим видом выставил по бокам локти. Но в Троицких воротах, несмотря на всю его решительность, люди, которые, вероятно, не знали, с какой патриотической целью он шел в Кремль, так прижали его к стене, что он должен был покориться и остановиться, пока в ворота с гудящим под сводами звуком проезжали экипажи. Около Пети стояла баба с лакеем, два купца и отставной солдат. Постояв несколько времени в воротах, Петя, не дождавшись того, чтобы все экипажи проехали, прежде других хотел тронуться дальше и начал решительно работать локтями; но баба, стоявшая против него, на которую он первую направил свои локти, сердито крикнула на него:
– Что, барчук, толкаешься, видишь – все стоят. Что ж лезть то!
– Так и все полезут, – сказал лакей и, тоже начав работать локтями, затискал Петю в вонючий угол ворот.
Петя отер руками пот, покрывавший его лицо, и поправил размочившиеся от пота воротнички, которые он так хорошо, как у больших, устроил дома.
Петя чувствовал, что он имеет непрезентабельный вид, и боялся, что ежели таким он представится камергерам, то его не допустят до государя. Но оправиться и перейти в другое место не было никакой возможности от тесноты. Один из проезжавших генералов был знакомый Ростовых. Петя хотел просить его помощи, но счел, что это было бы противно мужеству. Когда все экипажи проехали, толпа хлынула и вынесла и Петю на площадь, которая была вся занята народом. Не только по площади, но на откосах, на крышах, везде был народ. Только что Петя очутился на площади, он явственно услыхал наполнявшие весь Кремль звуки колоколов и радостного народного говора.
Одно время на площади было просторнее, но вдруг все головы открылись, все бросилось еще куда то вперед. Петю сдавили так, что он не мог дышать, и все закричало: «Ура! урра! ура!Петя поднимался на цыпочки, толкался, щипался, но ничего не мог видеть, кроме народа вокруг себя.
На всех лицах было одно общее выражение умиления и восторга. Одна купчиха, стоявшая подле Пети, рыдала, и слезы текли у нее из глаз.
– Отец, ангел, батюшка! – приговаривала она, отирая пальцем слезы.
– Ура! – кричали со всех сторон. С минуту толпа простояла на одном месте; но потом опять бросилась вперед.
Петя, сам себя не помня, стиснув зубы и зверски выкатив глаза, бросился вперед, работая локтями и крича «ура!», как будто он готов был и себя и всех убить в эту минуту, но с боков его лезли точно такие же зверские лица с такими же криками «ура!».
«Так вот что такое государь! – думал Петя. – Нет, нельзя мне самому подать ему прошение, это слишком смело!Несмотря на то, он все так же отчаянно пробивался вперед, и из за спин передних ему мелькнуло пустое пространство с устланным красным сукном ходом; но в это время толпа заколебалась назад (спереди полицейские отталкивали надвинувшихся слишком близко к шествию; государь проходил из дворца в Успенский собор), и Петя неожиданно получил в бок такой удар по ребрам и так был придавлен, что вдруг в глазах его все помутилось и он потерял сознание. Когда он пришел в себя, какое то духовное лицо, с пучком седевших волос назади, в потертой синей рясе, вероятно, дьячок, одной рукой держал его под мышку, другой охранял от напиравшей толпы.
– Барчонка задавили! – говорил дьячок. – Что ж так!.. легче… задавили, задавили!
Государь прошел в Успенский собор. Толпа опять разровнялась, и дьячок вывел Петю, бледного и не дышащего, к царь пушке. Несколько лиц пожалели Петю, и вдруг вся толпа обратилась к нему, и уже вокруг него произошла давка. Те, которые стояли ближе, услуживали ему, расстегивали его сюртучок, усаживали на возвышение пушки и укоряли кого то, – тех, кто раздавил его.
– Этак до смерти раздавить можно. Что же это! Душегубство делать! Вишь, сердечный, как скатерть белый стал, – говорили голоса.
Петя скоро опомнился, краска вернулась ему в лицо, боль прошла, и за эту временную неприятность он получил место на пушке, с которой он надеялся увидать долженствующего пройти назад государя. Петя уже не думал теперь о подаче прошения. Уже только ему бы увидать его – и то он бы считал себя счастливым!
Во время службы в Успенском соборе – соединенного молебствия по случаю приезда государя и благодарственной молитвы за заключение мира с турками – толпа пораспространилась; появились покрикивающие продавцы квасу, пряников, мака, до которого был особенно охотник Петя, и послышались обыкновенные разговоры. Одна купчиха показывала свою разорванную шаль и сообщала, как дорого она была куплена; другая говорила, что нынче все шелковые материи дороги стали. Дьячок, спаситель Пети, разговаривал с чиновником о том, кто и кто служит нынче с преосвященным. Дьячок несколько раз повторял слово соборне, которого не понимал Петя. Два молодые мещанина шутили с дворовыми девушками, грызущими орехи. Все эти разговоры, в особенности шуточки с девушками, для Пети в его возрасте имевшие особенную привлекательность, все эти разговоры теперь не занимали Петю; ou сидел на своем возвышении пушки, все так же волнуясь при мысли о государе и о своей любви к нему. Совпадение чувства боли и страха, когда его сдавили, с чувством восторга еще более усилило в нем сознание важности этой минуты.
Вдруг с набережной послышались пушечные выстрелы (это стреляли в ознаменование мира с турками), и толпа стремительно бросилась к набережной – смотреть, как стреляют. Петя тоже хотел бежать туда, но дьячок, взявший под свое покровительство барчонка, не пустил его. Еще продолжались выстрелы, когда из Успенского собора выбежали офицеры, генералы, камергеры, потом уже не так поспешно вышли еще другие, опять снялись шапки с голов, и те, которые убежали смотреть пушки, бежали назад. Наконец вышли еще четверо мужчин в мундирах и лентах из дверей собора. «Ура! Ура! – опять закричала толпа.
– Который? Который? – плачущим голосом спрашивал вокруг себя Петя, но никто не отвечал ему; все были слишком увлечены, и Петя, выбрав одного из этих четырех лиц, которого он из за слез, выступивших ему от радости на глаза, не мог ясно разглядеть, сосредоточил на него весь свой восторг, хотя это был не государь, закричал «ура!неистовым голосом и решил, что завтра же, чего бы это ему ни стоило, он будет военным.
Толпа побежала за государем, проводила его до дворца и стала расходиться. Было уже поздно, и Петя ничего не ел, и пот лил с него градом; но он не уходил домой и вместе с уменьшившейся, но еще довольно большой толпой стоял перед дворцом, во время обеда государя, глядя в окна дворца, ожидая еще чего то и завидуя одинаково и сановникам, подъезжавшим к крыльцу – к обеду государя, и камер лакеям, служившим за столом и мелькавшим в окнах.
За обедом государя Валуев сказал, оглянувшись в окно:
– Народ все еще надеется увидать ваше величество.
Обед уже кончился, государь встал и, доедая бисквит, вышел на балкон. Народ, с Петей в середине, бросился к балкону.
– Ангел, отец! Ура, батюшка!.. – кричали народ и Петя, и опять бабы и некоторые мужчины послабее, в том числе и Петя, заплакали от счастия. Довольно большой обломок бисквита, который держал в руке государь, отломившись, упал на перилы балкона, с перил на землю. Ближе всех стоявший кучер в поддевке бросился к этому кусочку бисквита и схватил его. Некоторые из толпы бросились к кучеру. Заметив это, государь велел подать себе тарелку бисквитов и стал кидать бисквиты с балкона. Глаза Пети налились кровью, опасность быть задавленным еще более возбуждала его, он бросился на бисквиты. Он не знал зачем, но нужно было взять один бисквит из рук царя, и нужно было не поддаться. Он бросился и сбил с ног старушку, ловившую бисквит. Но старушка не считала себя побежденною, хотя и лежала на земле (старушка ловила бисквиты и не попадала руками). Петя коленкой отбил ее руку, схватил бисквит и, как будто боясь опоздать, опять закричал «ура!», уже охриплым голосом.
Государь ушел, и после этого большая часть народа стала расходиться.
– Вот я говорил, что еще подождать – так и вышло, – с разных сторон радостно говорили в народе.
Как ни счастлив был Петя, но ему все таки грустно было идти домой и знать, что все наслаждение этого дня кончилось. Из Кремля Петя пошел не домой, а к своему товарищу Оболенскому, которому было пятнадцать лет и который тоже поступал в полк. Вернувшись домой, он решительно и твердо объявил, что ежели его не пустят, то он убежит. И на другой день, хотя и не совсем еще сдавшись, но граф Илья Андреич поехал узнавать, как бы пристроить Петю куда нибудь побезопаснее.


15 го числа утром, на третий день после этого, у Слободского дворца стояло бесчисленное количество экипажей.
Залы были полны. В первой были дворяне в мундирах, во второй купцы с медалями, в бородах и синих кафтанах. По зале Дворянского собрания шел гул и движение. У одного большого стола, под портретом государя, сидели на стульях с высокими спинками важнейшие вельможи; но большинство дворян ходило по зале.
Все дворяне, те самые, которых каждый день видал Пьер то в клубе, то в их домах, – все были в мундирах, кто в екатерининских, кто в павловских, кто в новых александровских, кто в общем дворянском, и этот общий характер мундира придавал что то странное и фантастическое этим старым и молодым, самым разнообразным и знакомым лицам. Особенно поразительны были старики, подслеповатые, беззубые, плешивые, оплывшие желтым жиром или сморщенные, худые. Они большей частью сидели на местах и молчали, и ежели ходили и говорили, то пристроивались к кому нибудь помоложе. Так же как на лицах толпы, которую на площади видел Петя, на всех этих лицах была поразительна черта противоположности: общего ожидания чего то торжественного и обыкновенного, вчерашнего – бостонной партии, Петрушки повара, здоровья Зинаиды Дмитриевны и т. п.
Пьер, с раннего утра стянутый в неловком, сделавшемся ему узким дворянском мундире, был в залах. Он был в волнении: необыкновенное собрание не только дворянства, но и купечества – сословий, etats generaux – вызвало в нем целый ряд давно оставленных, но глубоко врезавшихся в его душе мыслей о Contrat social [Общественный договор] и французской революции. Замеченные им в воззвании слова, что государь прибудет в столицу для совещания с своим народом, утверждали его в этом взгляде. И он, полагая, что в этом смысле приближается что то важное, то, чего он ждал давно, ходил, присматривался, прислушивался к говору, но нигде не находил выражения тех мыслей, которые занимали его.
Был прочтен манифест государя, вызвавший восторг, и потом все разбрелись, разговаривая. Кроме обычных интересов, Пьер слышал толки о том, где стоять предводителям в то время, как войдет государь, когда дать бал государю, разделиться ли по уездам или всей губернией… и т. д.; но как скоро дело касалось войны и того, для чего было собрано дворянство, толки были нерешительны и неопределенны. Все больше желали слушать, чем говорить.
Один мужчина средних лет, мужественный, красивый, в отставном морском мундире, говорил в одной из зал, и около него столпились. Пьер подошел к образовавшемуся кружку около говоруна и стал прислушиваться. Граф Илья Андреич в своем екатерининском, воеводском кафтане, ходивший с приятной улыбкой между толпой, со всеми знакомый, подошел тоже к этой группе и стал слушать с своей доброй улыбкой, как он всегда слушал, в знак согласия с говорившим одобрительно кивая головой. Отставной моряк говорил очень смело; это видно было по выражению лиц, его слушавших, и по тому, что известные Пьеру за самых покорных и тихих людей неодобрительно отходили от него или противоречили. Пьер протолкался в середину кружка, прислушался и убедился, что говоривший действительно был либерал, но совсем в другом смысле, чем думал Пьер. Моряк говорил тем особенно звучным, певучим, дворянским баритоном, с приятным грассированием и сокращением согласных, тем голосом, которым покрикивают: «Чеаек, трубку!», и тому подобное. Он говорил с привычкой разгула и власти в голосе.