Вязкостное решение
Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения.
Содержание
Определения
Вырожденное эллиптическое уравнение
Дифференциальное уравнение в частных производных
- <math>F(x,u,Du,D^2 u) = 0</math>,
заданное в области <math> \Omega\subset \mathbb{R}^n </math>, является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц <math>X</math> и <math>Y</math> таких, что их разница <math>X-Y</math> положительно определенна, и любых значений <math>x \in \Omega</math>, <math>u \in \mathbb{R}</math> и <math>p \in \mathbb{R}^n</math> выполняется неравенство
- <math> F(x,u,p,X) \geqslant F(x,u,p,Y).</math>
Примеры
- Уравнение Лапласа
- <math> -\Delta u = 0 </math>.
- Любое уравнение первого порядка.
Вязкостное решение
Полунепрерывная сверху функция <math>u</math>, заданная в <math>\Omega</math>, называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки <math>x_0 \in \Omega</math> и любой гладкой функции <math>\phi</math> такой, что <math>\phi(x_0) = u(x_0)</math> и <math>\phi \geqslant u</math> в некоторой окрестности <math>x_0</math>, выполняется неравенство
- <math> F(x_0,\phi(x_0),D\phi(x_0),D^2 \phi(x_0)) \leqslant 0 .</math>
Аналогично полунепрерывная снизу функция <math>u</math>, заданная в <math>\Omega</math>, называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки <math>x_0 \in \Omega</math> и любой гладкой функции <math>\phi</math> такой, что <math>\phi(x_0) = u(x_0)</math> и <math>\phi \leqslant u</math> в некоторой окрестности <math>x_0</math> выполняется неравенство
- <math> F(x_0,\phi(x_0),D\phi(x_0),D^2 \phi(x_0)) \geqslant 0 .</math>
Непрерывная функция <math>u</math> является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.
История
Термин впервые появляются в работе Крэндалла[en] и Лионса в 1983 году[1] для решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение фактически дано Эвансом[en] ранее, в 1980 году.[2] Определение было уточнено в совместной работе всех троих.[3]
Напишите отзыв о статье "Вязкостное решение"
Ссылки
- ↑ Crandall, Michael G. & Lions, Pierre-Louis (1983), "[dx.doi.org/10.2307%2F1999343 Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations]", Transactions of the American Mathematical Society Т. 277 (1): 1–42, ISSN [worldcat.org/issn/0002-9947 0002-9947], DOI 10.2307/1999343
- ↑ Evans, Lawrence C. (1980), "[dx.doi.org/10.1007%2FBF02762047 On solving certain nonlinear partial differential equations by accretive operator methods]", Israel Journal of Mathematics Т. 36 (3): 225–247, ISSN [worldcat.org/issn/0021-2172 0021-2172], DOI 10.1007/BF02762047
- ↑ Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C. & Lions, Pierre-Louis (1984), "[dx.doi.org/10.2307%2F1999247 Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations]", Transactions of the American Mathematical Society Т. 282 (2): 487–502, ISSN [worldcat.org/issn/0002-9947 0002-9947], DOI 10.2307/1999247
Литература
- Т. А. Белкина, Ю. М. Кабанов [mi.mathnet.ru/tvp5036 Вязкостные решения интегродифференциальных уравнений для вероятности неразорения] (рус.) // ТВП. — 2015. — Т. 60, № 4. — С. 802–810. — DOI:10.4213/tvp5036.
Отрывок, характеризующий Вязкостное решение
Красивый мальчик адъютанта с длинными волосами, не отпуская руки от шляпы, тяжело вздохнув, поскакал опять туда, где убивали людей.Наполеон встал и, подозвав Коленкура и Бертье, стал разговаривать с ними о делах, не касающихся сражения.
В середине разговора, который начинал занимать Наполеона, глаза Бертье обратились на генерала с свитой, который на потной лошади скакал к кургану. Это был Бельяр. Он, слезши с лошади, быстрыми шагами подошел к императору и смело, громким голосом стал доказывать необходимость подкреплений. Он клялся честью, что русские погибли, ежели император даст еще дивизию.
Наполеон вздернул плечами и, ничего не ответив, продолжал свою прогулку. Бельяр громко и оживленно стал говорить с генералами свиты, окружившими его.
– Вы очень пылки, Бельяр, – сказал Наполеон, опять подходя к подъехавшему генералу. – Легко ошибиться в пылу огня. Поезжайте и посмотрите, и тогда приезжайте ко мне.
Не успел еще Бельяр скрыться из вида, как с другой стороны прискакал новый посланный с поля сражения.
– Eh bien, qu'est ce qu'il y a? [Ну, что еще?] – сказал Наполеон тоном человека, раздраженного беспрестанными помехами.
– Sire, le prince… [Государь, герцог…] – начал адъютант.
– Просит подкрепления? – с гневным жестом проговорил Наполеон. Адъютант утвердительно наклонил голову и стал докладывать; но император отвернулся от него, сделав два шага, остановился, вернулся назад и подозвал Бертье. – Надо дать резервы, – сказал он, слегка разводя руками. – Кого послать туда, как вы думаете? – обратился он к Бертье, к этому oison que j'ai fait aigle [гусенку, которого я сделал орлом], как он впоследствии называл его.
– Государь, послать дивизию Клапареда? – сказал Бертье, помнивший наизусть все дивизии, полки и батальоны.
Наполеон утвердительно кивнул головой.
Адъютант поскакал к дивизии Клапареда. И чрез несколько минут молодая гвардия, стоявшая позади кургана, тронулась с своего места. Наполеон молча смотрел по этому направлению.
– Нет, – обратился он вдруг к Бертье, – я не могу послать Клапареда. Пошлите дивизию Фриана, – сказал он.
Хотя не было никакого преимущества в том, чтобы вместо Клапареда посылать дивизию Фриана, и даже было очевидное неудобство и замедление в том, чтобы остановить теперь Клапареда и посылать Фриана, но приказание было с точностью исполнено. Наполеон не видел того, что он в отношении своих войск играл роль доктора, который мешает своими лекарствами, – роль, которую он так верно понимал и осуждал.
Дивизия Фриана, так же как и другие, скрылась в дыму поля сражения. С разных сторон продолжали прискакивать адъютанты, и все, как бы сговорившись, говорили одно и то же. Все просили подкреплений, все говорили, что русские держатся на своих местах и производят un feu d'enfer [адский огонь], от которого тает французское войско.
