Спираль Галилея

Спираль Галилея — плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид:

<math>\rho = \alpha \varphi^2 - d,</math>     где <math>d \geqslant 0.</math>

Спираль Галилея можно представить как траекторию точки, равноускоренно движущейся по прямой, причём эта прямая равномерно вращается вокруг некоторой своей точки. Таким образом, уравнение можно переписать в обычных физических обозначениях:

<math> \begin{cases} \rho = \frac12 at^2+v_0t+\rho_0 \\ \theta = \omega t \end{cases} </math>

После поворота системы координат это уравнение можно привести к стандартному виду <math>\rho = \alpha \varphi^2 - d.</math>

Кривая симметрична относительно полярной оси, в полюсе — двойная точка, касательные к которой образуют углы с полярной осью <math>\pm \sqrt{d/a}.</math> На полярной оси расположено бесконечно много двойных точек, они находятся на расстояниях <math>\rho = \alpha k^2 \pi^2 - d</math> (где <math>k = 1, 2, 3,...</math>) от центра.

Уравнение криволинейных абсцисс: <math>ds = \sqrt{a^2 + 2b(a + 2b)\theta^2 + b^2 \theta^4 d\theta}</math>

Названа в честь Г. Галилея в связи с его работами по теории свободного падения тел. Действительно, если учитывать вращение Земли, то траектория камня, падающего с башни — это спираль Галилея.

Литература

• Прохоров Ю. В. «Математический энциклопедический словарь», М.: Советская энциклопедия, 1988.