Теория Галуа

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Галуа теория»)
Перейти к: навигация, поиск

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определенные вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочленарациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.





Приложения

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

  1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
  2. Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Симметрии корней

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнение

У многочлена второй степени a x² + b x + c имеются два корня x1 и x2, симметричных относительно точки x=-b/2a. Возможны два варианта:

  • Если эти корни рациональны, то уравнению x-x1=0 удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
  • Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент x1x2, и изоморфна <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>.

Более сложный пример

Рассмотрим теперь многочлен (x2−5)2−24.

Его корни: <math>a=\sqrt{2}+\sqrt{3}, b=\sqrt{2}-\sqrt{3}, c=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, d=-\sqrt{2}-\sqrt{3}</math>.

Существует 4!=24 различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — a+d=0. Поскольку a+c≠0, перестановка aa, bb, cd, dc не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что (a+b)²=8, но (a+c)²=12. Поэтому перестановка aa, bc, cb, dd не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)
(a, b, c, d) → (c, d, a, b)
(a, b, c, d) → (b, a, d, c)
(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

и является четверной группой Клейна, изоморфной <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})</math>.

Формулировка в терминах теории полей

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения <math>L\supset K</math>. Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения <math>\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)\supset \mathbb Q</math>.

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах

Решения полиномиального уравнения P(x)=0 выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения разрешима.

Для любого n существует уравнение n-й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе Sn, то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы Sn при n>4 не являются разрешимыми, существуют многочлены степени n, корни которых не представимы при помощи радикалов — Теорема Абеля — Руффини.

Вариации и обобщения

См. также

Напишите отзыв о статье "Теория Галуа"

Литература

  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.
  • Том 1 [djvu.504.com1.ru:8019/WWW/a5d285a3a1b9867d419ac34eeab8834c.djvu Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978.]
  • Постников М. М. [djvu.504.com1.ru:8019/WWW/723ec332e8a0f62da66054d53ab56bd3.djvu Теория Галуа.] М.: Физматгиз, 1963.
  • Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société Mathématique de France, [arxiv.org/abs/math/0206203 arXiv: math/0206203] — ISBN 978-2-85629-141-2
  • Скопенков А. Б. [arxiv.org/abs/0804.4357 Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.]
  • Lerner L. [arxiv.org/abs/1108.4593 Galois Theory without abstract algebra.]
  • Эмиль Артин. Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.

Отрывок, характеризующий Теория Галуа

В депо, в котором было сто двадцать повозок сначала, теперь оставалось не больше шестидесяти; остальные были отбиты или брошены. Из обоза Жюно тоже было оставлено и отбито несколько повозок. Три повозки были разграблены набежавшими отсталыми солдатами из корпуса Даву. Из разговоров немцев Пьер слышал, что к этому обозу ставили караул больше, чем к пленным, и что один из их товарищей, солдат немец, был расстрелян по приказанию самого маршала за то, что у солдата нашли серебряную ложку, принадлежавшую маршалу.
Больше же всего из этих трех сборищ растаяло депо пленных. Из трехсот тридцати человек, вышедших из Москвы, теперь оставалось меньше ста. Пленные еще более, чем седла кавалерийского депо и чем обоз Жюно, тяготили конвоирующих солдат. Седла и ложки Жюно, они понимали, что могли для чего нибудь пригодиться, но для чего было голодным и холодным солдатам конвоя стоять на карауле и стеречь таких же холодных и голодных русских, которые мерли и отставали дорогой, которых было велено пристреливать, – это было не только непонятно, но и противно. И конвойные, как бы боясь в том горестном положении, в котором они сами находились, не отдаться бывшему в них чувству жалости к пленным и тем ухудшить свое положение, особенно мрачно и строго обращались с ними.
В Дорогобуже, в то время как, заперев пленных в конюшню, конвойные солдаты ушли грабить свои же магазины, несколько человек пленных солдат подкопались под стену и убежали, но были захвачены французами и расстреляны.
Прежний, введенный при выходе из Москвы, порядок, чтобы пленные офицеры шли отдельно от солдат, уже давно был уничтожен; все те, которые могли идти, шли вместе, и Пьер с третьего перехода уже соединился опять с Каратаевым и лиловой кривоногой собакой, которая избрала себе хозяином Каратаева.
С Каратаевым, на третий день выхода из Москвы, сделалась та лихорадка, от которой он лежал в московском гошпитале, и по мере того как Каратаев ослабевал, Пьер отдалялся от него. Пьер не знал отчего, но, с тех пор как Каратаев стал слабеть, Пьер должен был делать усилие над собой, чтобы подойти к нему. И подходя к нему и слушая те тихие стоны, с которыми Каратаев обыкновенно на привалах ложился, и чувствуя усилившийся теперь запах, который издавал от себя Каратаев, Пьер отходил от него подальше и не думал о нем.
В плену, в балагане, Пьер узнал не умом, а всем существом своим, жизнью, что человек сотворен для счастья, что счастье в нем самом, в удовлетворении естественных человеческих потребностей, и что все несчастье происходит не от недостатка, а от излишка; но теперь, в эти последние три недели похода, он узнал еще новую, утешительную истину – он узнал, что на свете нет ничего страшного. Он узнал, что так как нет положения, в котором бы человек был счастлив и вполне свободен, так и нет положения, в котором бы он был бы несчастлив и несвободен. Он узнал, что есть граница страданий и граница свободы и что эта граница очень близка; что тот человек, который страдал оттого, что в розовой постели его завернулся один листок, точно так же страдал, как страдал он теперь, засыпая на голой, сырой земле, остужая одну сторону и пригревая другую; что, когда он, бывало, надевал свои бальные узкие башмаки, он точно так же страдал, как теперь, когда он шел уже босой совсем (обувь его давно растрепалась), ногами, покрытыми болячками. Он узнал, что, когда он, как ему казалось, по собственной своей воле женился на своей жене, он был не более свободен, чем теперь, когда его запирали на ночь в конюшню. Из всего того, что потом и он называл страданием, но которое он тогда почти не чувствовал, главное были босые, стертые, заструпелые ноги. (Лошадиное мясо было вкусно и питательно, селитренный букет пороха, употребляемого вместо соли, был даже приятен, холода большого не было, и днем на ходу всегда бывало жарко, а ночью были костры; вши, евшие тело, приятно согревали.) Одно было тяжело в первое время – это ноги.
Во второй день перехода, осмотрев у костра свои болячки, Пьер думал невозможным ступить на них; но когда все поднялись, он пошел, прихрамывая, и потом, когда разогрелся, пошел без боли, хотя к вечеру страшнее еще было смотреть на ноги. Но он не смотрел на них и думал о другом.
Теперь только Пьер понял всю силу жизненности человека и спасительную силу перемещения внимания, вложенную в человека, подобную тому спасительному клапану в паровиках, который выпускает лишний пар, как только плотность его превышает известную норму.
Он не видал и не слыхал, как пристреливали отсталых пленных, хотя более сотни из них уже погибли таким образом. Он не думал о Каратаеве, который слабел с каждым днем и, очевидно, скоро должен был подвергнуться той же участи. Еще менее Пьер думал о себе. Чем труднее становилось его положение, чем страшнее была будущность, тем независимее от того положения, в котором он находился, приходили ему радостные и успокоительные мысли, воспоминания и представления.


22 го числа, в полдень, Пьер шел в гору по грязной, скользкой дороге, глядя на свои ноги и на неровности пути. Изредка он взглядывал на знакомую толпу, окружающую его, и опять на свои ноги. И то и другое было одинаково свое и знакомое ему. Лиловый кривоногий Серый весело бежал стороной дороги, изредка, в доказательство своей ловкости и довольства, поджимая заднюю лапу и прыгая на трех и потом опять на всех четырех бросаясь с лаем на вороньев, которые сидели на падали. Серый был веселее и глаже, чем в Москве. Со всех сторон лежало мясо различных животных – от человеческого до лошадиного, в различных степенях разложения; и волков не подпускали шедшие люди, так что Серый мог наедаться сколько угодно.