Гамма-распределение

Гамма-распределение

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	<math>\Gamma(k, \theta)</math>, <math>\mathrm{Gamma}(k, \theta)</math>
Параметры	<math>k > 0,\,\theta > 0</math> - коэффициент масштаба
Носитель	<math>x \in [0; \infty)</math>
Плотность вероятности	<math>x^{k-1} \frac{e^{-\frac{x}{\theta
Функция распределения	{{{cdf}}}
Математическое ожидание	{{{mean}}}
Медиана	{{{median}}}
Мода	{{{mode}}}
Дисперсия	{{{variance}}}
Коэффициент асимметрии	{{{skewness}}}
Коэффициент эксцесса	{{{kurtosis}}}
Дифференциальная энтропия	{{{entropy}}}
Производящая функция моментов	{{{mgf}}}
Характеристическая функция	{{{char}}}

}{\Gamma(k)\theta^k}</math>|

 cdf        =<math>\frac{\gamma(x/\theta, k)}{\Gamma(k)}</math>|
 mean       =<math>k\theta</math>|
 median     =|
 mode       =<math>(k-1) \theta</math>, когда <math>k \geq 1</math> |
 variance   =<math>k \theta^2</math>|
 skewness   =<math>\frac{2}{\sqrt{k}}</math>|
 kurtosis   =<math>\frac{6}{k}</math>|
 entropy    =<math>k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))</math>
<math>+(1-k)\psi(k)</math>|
 mgf        =<math>(1 - \theta\,t)^{-k}</math>, когда <math>t < 1/\theta</math>|
 char       =<math>(1 - \theta\,i\,t)^{-k}</math>|

}}

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр <math>k</math> принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Определение

Пусть распределение случайной величины <math>X</math> задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

<math> f_X(x) = \left\{

\begin{matrix} x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right., </math> где <math>\Gamma (k)</math> — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина <math>X</math> имеет гамма-распределение с параметрами <math>\theta</math> и <math>k</math>. Пишут <math>X \thicksim \Gamma(\theta,k)</math>.

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины <math>X</math>, имеющей гамма-распределение, имеют вид

<math>\mathbb{E}[X] = k{\theta}</math>,

<math>\mathbb{D}[X] = k{\theta^2}</math>.

Свойства гамма-распределения

• Если <math>X_1,\ldots, X_n</math> — независимые случайные величины, такие что <math>X_i \sim \Gamma(\theta, k_i),\; i = 1,\ldots, n</math>, то

<math> Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left( \theta, \sum_{i=1}^n k_i \right)</math>.

• Если <math> X \thicksim \Gamma(\theta,k)</math>, и <math>a > 0</math> — произвольная константа, то

<math> aX \thicksim \Gamma(a \theta, k)</math>.

• Гамма-распределение бесконечно делимо.

Связь с другими распределениями

• Гамма-распределение является распределением Пирсона типа III.
• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

<math>\Gamma(1/\lambda, 1) \equiv \mathrm{Exp}(\lambda)</math>.

• Если <math>X_1,\ldots,X_k</math> — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что <math>X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda),\; i = 1,\ldots, k</math>, то

<math>Y = \sum\limits_{i=1}^k X_i \sim \Gamma(1/\lambda, k )</math>.

• Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:

<math>\Gamma\left(2,\frac{n}{2}\right) \equiv \chi^2(n)</math>.

• Согласно центральной предельной теореме, при больших <math>k</math> гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:

<math>\Gamma(\theta, k) \approx \mathrm{N}(k\theta, k\theta^2)</math> при <math>k \to \infty</math>.

• Если <math>X_1,X_2</math> — независимые случайные величины, такие что <math>X_i \sim \Gamma(1,k_i),\; i=1,2</math>, то

<math>\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}(k_1,k_2)</math>.

Моделирование гамма-величин

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение <math>\Gamma (1, 1)</math> совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то <math>{-\ln U} \sim \Gamma (1, 1)</math>.

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

<math> \sum_{i=1}^n {-\ln U_i} \sim \Gamma (1, n),</math>

где U_i — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

1. Положить m равным 1.
2. Сгенерировать <math>V_{2m - 1}</math> и <math>V_{2m}</math> — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
3. Если <math>V_{2m - 1} \le v_0</math>, где <math>v_0 = \frac e {e + \delta}</math>, перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
4. Положить <math>\xi_m = \left( \frac {V_{2m - 1}} {v_0} \right) ^{\frac 1 \delta}, \ \eta_m = V_{2m} \xi _m^ {\delta - 1}</math>. Перейти к шагу 6.
5. Положить <math>\xi_m = 1 - \ln {\frac {V_{2m - 1} - v_0} {1 - v_0}}, \ \eta_m = V_{2m} e^{-\xi_m}</math>.
6. Если <math>\eta_m > \xi_m^{\delta - 1} e^{-\xi_m}</math>, то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
7. Принять <math>\xi = \xi_m</math> за реализацию <math>\Gamma (1, \delta)</math>.

Подытожим:

<math> \theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma ( \theta, k),</math>

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); U_i и V_l распределены как указано выше и попарно независимы.

Литература

• Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.

</center>

Отрывок, характеризующий Гамма-распределение

– Можешь себе представить! она отказала, совсем отказала! – заговорила Наташа. – Она сказала, что любит другого, – прибавила она, помолчав немного.
«Да иначе и не могла поступить моя Соня!» подумал Николай.
– Сколько ее ни просила мама, она отказала, и я знаю, она не переменит, если что сказала…
– А мама просила ее! – с упреком сказал Николай.
– Да, – сказала Наташа. – Знаешь, Николенька, не сердись; но я знаю, что ты на ней не женишься. Я знаю, Бог знает отчего, я знаю верно, ты не женишься.
– Ну, этого ты никак не знаешь, – сказал Николай; – но мне надо поговорить с ней. Что за прелесть, эта Соня! – прибавил он улыбаясь.
– Это такая прелесть! Я тебе пришлю ее. – И Наташа, поцеловав брата, убежала.
Через минуту вошла Соня, испуганная, растерянная и виноватая. Николай подошел к ней и поцеловал ее руку. Это был первый раз, что они в этот приезд говорили с глазу на глаз и о своей любви.
– Sophie, – сказал он сначала робко, и потом всё смелее и смелее, – ежели вы хотите отказаться не только от блестящей, от выгодной партии; но он прекрасный, благородный человек… он мой друг…
Соня перебила его.
– Я уж отказалась, – сказала она поспешно.
– Ежели вы отказываетесь для меня, то я боюсь, что на мне…
Соня опять перебила его. Она умоляющим, испуганным взглядом посмотрела на него.
– Nicolas, не говорите мне этого, – сказала она.
– Нет, я должен. Может быть это suffisance [самонадеянность] с моей стороны, но всё лучше сказать. Ежели вы откажетесь для меня, то я должен вам сказать всю правду. Я вас люблю, я думаю, больше всех…
– Мне и довольно, – вспыхнув, сказала Соня.
– Нет, но я тысячу раз влюблялся и буду влюбляться, хотя такого чувства дружбы, доверия, любви, я ни к кому не имею, как к вам. Потом я молод. Мaman не хочет этого. Ну, просто, я ничего не обещаю. И я прошу вас подумать о предложении Долохова, – сказал он, с трудом выговаривая фамилию своего друга.
– Не говорите мне этого. Я ничего не хочу. Я люблю вас, как брата, и всегда буду любить, и больше мне ничего не надо.
– Вы ангел, я вас не стою, но я только боюсь обмануть вас. – Николай еще раз поцеловал ее руку.


У Иогеля были самые веселые балы в Москве. Это говорили матушки, глядя на своих adolescentes, [девушек,] выделывающих свои только что выученные па; это говорили и сами adolescentes и adolescents, [девушки и юноши,] танцовавшие до упаду; эти взрослые девицы и молодые люди, приезжавшие на эти балы с мыслию снизойти до них и находя в них самое лучшее веселье. В этот же год на этих балах сделалось два брака. Две хорошенькие княжны Горчаковы нашли женихов и вышли замуж, и тем еще более пустили в славу эти балы. Особенного на этих балах было то, что не было хозяина и хозяйки: был, как пух летающий, по правилам искусства расшаркивающийся, добродушный Иогель, который принимал билетики за уроки от всех своих гостей; было то, что на эти балы еще езжали только те, кто хотел танцовать и веселиться, как хотят этого 13 ти и 14 ти летние девочки, в первый раз надевающие длинные платья. Все, за редкими исключениями, были или казались хорошенькими: так восторженно они все улыбались и так разгорались их глазки. Иногда танцовывали даже pas de chale лучшие ученицы, из которых лучшая была Наташа, отличавшаяся своею грациозностью; но на этом, последнем бале танцовали только экосезы, англезы и только что входящую в моду мазурку. Зала была взята Иогелем в дом Безухова, и бал очень удался, как говорили все. Много было хорошеньких девочек, и Ростовы барышни были из лучших. Они обе были особенно счастливы и веселы. В этот вечер Соня, гордая предложением Долохова, своим отказом и объяснением с Николаем, кружилась еще дома, не давая девушке дочесать свои косы, и теперь насквозь светилась порывистой радостью.
Наташа, не менее гордая тем, что она в первый раз была в длинном платье, на настоящем бале, была еще счастливее. Обе были в белых, кисейных платьях с розовыми лентами.
Наташа сделалась влюблена с самой той минуты, как она вошла на бал. Она не была влюблена ни в кого в особенности, но влюблена была во всех. В того, на кого она смотрела в ту минуту, как она смотрела, в того она и была влюблена.
– Ах, как хорошо! – всё говорила она, подбегая к Соне.
Николай с Денисовым ходили по залам, ласково и покровительственно оглядывая танцующих.
– Как она мила, к'асавица будет, – сказал Денисов.
– Кто?
– Г'афиня Наташа, – отвечал Денисов.
– И как она танцует, какая г'ация! – помолчав немного, опять сказал он.
– Да про кого ты говоришь?
– Про сест'у п'о твою, – сердито крикнул Денисов.
Ростов усмехнулся.
– Mon cher comte; vous etes l'un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez, – сказал маленький Иогель, подходя к Николаю. – Voyez combien de jolies demoiselles. [Любезный граф, вы один из лучших моих учеников. Вам надо танцовать. Посмотрите, сколько хорошеньких девушек!] – Он с тою же просьбой обратился и к Денисову, тоже своему бывшему ученику.
– Non, mon cher, je fe'ai tapisse'ie, [Нет, мой милый, я посижу у стенки,] – сказал Денисов. – Разве вы не помните, как дурно я пользовался вашими уроками?