Геодезическая

Геодези́ческая (геодезическая линия) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» для искривлённых пространств.

Конкретное определение геодезической линии зависит от типа пространства. Например, на двумерной поверхности, вложенной в евклидово трёхмерное пространство, геодезические линии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии, прямолинейные образующие и окружности, на сфере — дуги больших окружностей.

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике. Так, например, пробное тело в общей теории относительности движется по геодезической линии пространства-времени. По сути, временная эволюция всех лагранжевых систем может рассматриваться как движение по геодезической в специальном пространстве. Таким образом представима вся теория калибровочных полей.

Дифференциальная геометрия

Многообразия с аффинной связностью

В многообразиях с аффинной связностью <math>\nabla</math> геодезическая — это кривая <math>\gamma(t)</math>, удовлетворяющая уравнению

<math> \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0.</math>

В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля

<math>\frac{d^2x^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{~\mu \nu }\frac{dx^\mu }{dt}\frac{dx^\nu }{dt} = 0\ ,</math> где <math>x^\mu (t)</math> — координаты кривой.

Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.

Римановы и псевдоримановы многообразия

В римановых и псевдоримановых пространствах, геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии:

<math>E(\gamma)=\int\limits_\gamma g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,dt</math>.

Здесь <math>\gamma(t)</math> — кривая в пространстве, <math>g</math> — метрика. (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия.)

Это условие эквивалентно тому, что:

<math> \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0</math>

вдоль всей кривой, где <math>\nabla</math> обозначает связность Леви-Чивиты.

Метрическая геометрия

В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).

Для римановых многообразий это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение, приведённое выше.

Использование в физике

Геодези́ческие ли́нии активно используются в релятивистской физике. Так, например, траектория свободно падающего незаряжённого пробного тела в общей теории относительности и вообще в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом.

Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.

См. также

• Ортодромия
• Экспоненциальное отображение

Ссылки

• А. В. Чернавский. [higeom.math.msu.su/people/chernavski/chernav-difgeom2011.pdf Дифференциальная геометрия, 2 курс].

Литература

• Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• М.М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.

Отрывок, характеризующий Геодезическая

Где, как, когда всосала в себя из того русского воздуха, которым она дышала – эта графинечка, воспитанная эмигранткой француженкой, этот дух, откуда взяла она эти приемы, которые pas de chale давно бы должны были вытеснить? Но дух и приемы эти были те самые, неподражаемые, не изучаемые, русские, которых и ждал от нее дядюшка. Как только она стала, улыбнулась торжественно, гордо и хитро весело, первый страх, который охватил было Николая и всех присутствующих, страх, что она не то сделает, прошел и они уже любовались ею.
Она сделала то самое и так точно, так вполне точно это сделала, что Анисья Федоровна, которая тотчас подала ей необходимый для ее дела платок, сквозь смех прослезилась, глядя на эту тоненькую, грациозную, такую чужую ей, в шелку и в бархате воспитанную графиню, которая умела понять всё то, что было и в Анисье, и в отце Анисьи, и в тетке, и в матери, и во всяком русском человеке.
– Ну, графинечка – чистое дело марш, – радостно смеясь, сказал дядюшка, окончив пляску. – Ай да племянница! Вот только бы муженька тебе молодца выбрать, – чистое дело марш!
– Уж выбран, – сказал улыбаясь Николай.
– О? – сказал удивленно дядюшка, глядя вопросительно на Наташу. Наташа с счастливой улыбкой утвердительно кивнула головой.
– Еще какой! – сказала она. Но как только она сказала это, другой, новый строй мыслей и чувств поднялся в ней. Что значила улыбка Николая, когда он сказал: «уж выбран»? Рад он этому или не рад? Он как будто думает, что мой Болконский не одобрил бы, не понял бы этой нашей радости. Нет, он бы всё понял. Где он теперь? подумала Наташа и лицо ее вдруг стало серьезно. Но это продолжалось только одну секунду. – Не думать, не сметь думать об этом, сказала она себе и улыбаясь, подсела опять к дядюшке, прося его сыграть еще что нибудь.
Дядюшка сыграл еще песню и вальс; потом, помолчав, прокашлялся и запел свою любимую охотническую песню.
Как со вечера пороша
Выпадала хороша…
Дядюшка пел так, как поет народ, с тем полным и наивным убеждением, что в песне все значение заключается только в словах, что напев сам собой приходит и что отдельного напева не бывает, а что напев – так только, для складу. От этого то этот бессознательный напев, как бывает напев птицы, и у дядюшки был необыкновенно хорош. Наташа была в восторге от пения дядюшки. Она решила, что не будет больше учиться на арфе, а будет играть только на гитаре. Она попросила у дядюшки гитару и тотчас же подобрала аккорды к песне.
В десятом часу за Наташей и Петей приехали линейка, дрожки и трое верховых, посланных отыскивать их. Граф и графиня не знали где они и крепко беспокоились, как сказал посланный.
Петю снесли и положили как мертвое тело в линейку; Наташа с Николаем сели в дрожки. Дядюшка укутывал Наташу и прощался с ней с совершенно новой нежностью. Он пешком проводил их до моста, который надо было объехать в брод, и велел с фонарями ехать вперед охотникам.
– Прощай, племянница дорогая, – крикнул из темноты его голос, не тот, который знала прежде Наташа, а тот, который пел: «Как со вечера пороша».
В деревне, которую проезжали, были красные огоньки и весело пахло дымом.
– Что за прелесть этот дядюшка! – сказала Наташа, когда они выехали на большую дорогу.
– Да, – сказал Николай. – Тебе не холодно?
– Нет, мне отлично, отлично. Мне так хорошо, – с недоумением даже cказала Наташа. Они долго молчали.
Ночь была темная и сырая. Лошади не видны были; только слышно было, как они шлепали по невидной грязи.
Что делалось в этой детской, восприимчивой душе, так жадно ловившей и усвоивавшей все разнообразнейшие впечатления жизни? Как это всё укладывалось в ней? Но она была очень счастлива. Уже подъезжая к дому, она вдруг запела мотив песни: «Как со вечера пороша», мотив, который она ловила всю дорогу и наконец поймала.