Пропорция (математика)

Пропо́рция (лат. proportio — соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой), равенство отношений двух [и более] пар чисел <math>a , b</math> и <math>c , d</math>, т. е. равенство вида <math>a : b = c : d</math>, или, в других обозначениях, равенство <math>\ \frac ab=\frac cd</math> (часто читается как: «<math>a</math> относится к <math>b</math> так же, как <math>c</math> относится к <math>d</math>»). В этом случае <math>a</math> и <math>d</math> называют крайними, <math>b</math> и <math>c</math> — средними членами пропорции. Такую пропорцию ещё называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.

Основные свойства пропорций

• Обращение пропорции. Если <math>\ \frac ab=\frac cd</math>, то <math>\ \frac ba=\frac dc</math>
• Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если <math>\ \frac ab=\frac cd</math>, то <math>\ ad=bc</math>
• Перестановка средних и крайних членов. Если <math>\ \frac ab=\frac cd</math>, то

<math>\ \frac ac=\frac bd</math>    (перестановка средних членов пропорции),

<math>\ \frac db=\frac ca</math>    (перестановка крайних членов пропорции).

• Увеличение и уменьшение пропорции. Если <math>\ \frac ab=\frac cd</math>, то

<math>\ \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}</math>    (увеличение пропорции),

<math>\ \dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}</math>    (уменьшение пропорции).

• Составление пропорции сложением и вычитанием. Если <math>\ \frac ab=\frac cd</math>, то

<math>\ \dfrac{a+c}{b+d}=\frac ab =\frac cd</math>    (составление пропорции сложением),

<math>\ \dfrac{a-c}{b-d}=\frac ab =\frac cd</math>    (составление пропорции вычитанием).

История

В IV веке до н. э. древнегреческий математик Евдокс обобщил понятие пропорции на случай несоизмеримых величин (например, стороны и диагонали квадрата). Со временем математики пришли к осознанию того, что отношение величин есть число, что позволило перейти от пропорций с неизвестным к уравнениям, а от преобразования пропорций — к алгебраическим преобразованиям.

Связанные определения

Арифметическая пропорция

См. также: Среднее арифметическое

Равенство двух разностей <math> a - b = c - d </math> иногда называют арифметической пропорцией.

Гармоническая пропорция

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: <math> a : b = b : (a - b) </math>. В этом случае, разложение <math>a</math> на сумму двух слагаемых <math>b</math> и <math>a-b</math> называется гармоническим делением или золотым сечением.

Литература

• Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. / пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М.: ГИФМЛ, 1959.

См. также

• Пропорциональность

Отрывок, характеризующий Пропорция (математика)

– Да, да, маменька, очень тяжелые времена! – сказал Берг.
Наташа вышла вместе с отцом и, как будто с трудом соображая что то, сначала пошла за ним, а потом побежала вниз.
На крыльце стоял Петя, занимавшийся вооружением людей, которые ехали из Москвы. На дворе все так же стояли заложенные подводы. Две из них были развязаны, и на одну из них влезал офицер, поддерживаемый денщиком.
– Ты знаешь за что? – спросил Петя Наташу (Наташа поняла, что Петя разумел: за что поссорились отец с матерью). Она не отвечала.
– За то, что папенька хотел отдать все подводы под ранепых, – сказал Петя. – Мне Васильич сказал. По моему…
– По моему, – вдруг закричала почти Наташа, обращая свое озлобленное лицо к Пете, – по моему, это такая гадость, такая мерзость, такая… я не знаю! Разве мы немцы какие нибудь?.. – Горло ее задрожало от судорожных рыданий, и она, боясь ослабеть и выпустить даром заряд своей злобы, повернулась и стремительно бросилась по лестнице. Берг сидел подле графини и родственно почтительно утешал ее. Граф с трубкой в руках ходил по комнате, когда Наташа, с изуродованным злобой лицом, как буря ворвалась в комнату и быстрыми шагами подошла к матери.
– Это гадость! Это мерзость! – закричала она. – Это не может быть, чтобы вы приказали.
Берг и графиня недоумевающе и испуганно смотрели на нее. Граф остановился у окна, прислушиваясь.
– Маменька, это нельзя; посмотрите, что на дворе! – закричала она. – Они остаются!..
– Что с тобой? Кто они? Что тебе надо?
– Раненые, вот кто! Это нельзя, маменька; это ни на что не похоже… Нет, маменька, голубушка, это не то, простите, пожалуйста, голубушка… Маменька, ну что нам то, что мы увезем, вы посмотрите только, что на дворе… Маменька!.. Это не может быть!..
Граф стоял у окна и, не поворачивая лица, слушал слова Наташи. Вдруг он засопел носом и приблизил свое лицо к окну.
Графиня взглянула на дочь, увидала ее пристыженное за мать лицо, увидала ее волнение, поняла, отчего муж теперь не оглядывался на нее, и с растерянным видом оглянулась вокруг себя.
– Ах, да делайте, как хотите! Разве я мешаю кому нибудь! – сказала она, еще не вдруг сдаваясь.
– Маменька, голубушка, простите меня!
Но графиня оттолкнула дочь и подошла к графу.
– Mon cher, ты распорядись, как надо… Я ведь не знаю этого, – сказала она, виновато опуская глаза.
– Яйца… яйца курицу учат… – сквозь счастливые слезы проговорил граф и обнял жену, которая рада была скрыть на его груди свое пристыженное лицо.
– Папенька, маменька! Можно распорядиться? Можно?.. – спрашивала Наташа. – Мы все таки возьмем все самое нужное… – говорила Наташа.
Граф утвердительно кивнул ей головой, и Наташа тем быстрым бегом, которым она бегивала в горелки, побежала по зале в переднюю и по лестнице на двор.
Люди собрались около Наташи и до тех пор не могли поверить тому странному приказанию, которое она передавала, пока сам граф именем своей жены не подтвердил приказания о том, чтобы отдавать все подводы под раненых, а сундуки сносить в кладовые. Поняв приказание, люди с радостью и хлопотливостью принялись за новое дело. Прислуге теперь это не только не казалось странным, но, напротив, казалось, что это не могло быть иначе, точно так же, как за четверть часа перед этим никому не только не казалось странным, что оставляют раненых, а берут вещи, но казалось, что не могло быть иначе.