Евклидова геометрия

Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).

Основные сведения

Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. Так, к элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.

Аксиоматика

Задача аксиоматизации элементарной геометрии состоит в построении системы аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.

В «Началах» Евклида была дана следующая система аксиом:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Эти система была достаточна для того чтобы один математик понял другого, но в доказательствах неявно использовались другие утверждения. В частности теорема Паша. Также из этой системы не следует существование треугольника с заданными сторонами удовлетворяющих неравенству треугольника.

В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.

Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:

• аксиоматика Александрова
• аксиоматика Биргофа, содержащая всего 4 аксиомы, но использующая вещественные числа как готовое понятие.
• аксиоматика Тарского

Системы обозначений

Существует несколько конкурирующих систем обозначений.

• Точки обычно обозначаются прописными латинскими буквами <math>A, B, C,\dots</math>.
• Прямые обычно обозначаются строчными латинскими буквами <math>a,b,c,\dots</math>.
• Расстояние между точками <math>P</math> и <math>Q</math> обычно обозначается <math>PQ</math> или <math>|PQ|</math>.
• Отрезок между точками <math>P</math> и <math>Q</math> обычно обозначается <math>[PQ]</math> или <math>\overline{PQ}</math>.
• Луч из точки <math>P</math> через точку <math>Q</math> обычно обозначается <math>[PQ)</math> или <math>\overrightarrow{PQ}</math>.
• Прямая через точки <math>P</math> и <math>Q</math> обычно обозначается <math>(PQ)</math> или <math>\overleftrightarrow{PQ}</math>.
• Треугольник с вершинами <math>P</math>, <math>Q</math> и <math>R</math> обычно обозначается <math>\triangle PQR</math> или <math>[PQR]</math>.
• Площадь фигуры <math>F</math> обычно обозначается <math>S(F)</math> или <math>|F|</math>.
• Угол образованных лучами <math>[OP)</math> и <math>[OQ)</math> обычно обозначается <math>\angle POQ</math>.
• Величина угла <math>\angle POQ</math> обычно обозначается <math>\measuredangle POQ</math>.
  • При этом для краткости величина угла часто обозначается строчной греческой буквой <math>\alpha,\beta,\gamma,\dots</math>.

См. также

• Аксиоматика Александрова
• Аксиоматика Гильберта
• Геометрия Лобачевского
• Геометрия Римана
• Неевклидова геометрия
• Аналитическая геометрия

Литература

• Д. Гильберт [ilib.mccme.ru/djvu/geometry/osn_geom.htm Основания геометрии.] Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. — Л.: «Сеятель», 1923—152 с.
• Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1. — М.: Учпедгиз, 1948; Ч. 2. — М.: Учпедгиз, 1951.
• Математический энциклопедический словарь, — М.: «Советская энциклопедия», 1988
• [isgeom.narod.ru/index.html Обухова А. И., История элементарной геометрии]
• Евклидова геометрия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.</span>

Отрывок, характеризующий Евклидова геометрия

Солнце только начинало подниматься из за туч; в воздухе было свежо и росисто. По дороге из деревни выгоняли стадо. В полях один за одним, как пузырьки в воде, вспырскивали с чувыканьем жаворонки.
Балашев оглядывался вокруг себя, ожидая приезда офицера из деревни. Русские казаки, и трубач, и французские гусары молча изредка глядели друг на друга.
Французский гусарский полковник, видимо, только что с постели, выехал из деревни на красивой сытой серой лошади, сопутствуемый двумя гусарами. На офицере, на солдатах и на их лошадях был вид довольства и щегольства.
Это было то первое время кампании, когда войска еще находились в исправности, почти равной смотровой, мирной деятельности, только с оттенком нарядной воинственности в одежде и с нравственным оттенком того веселья и предприимчивости, которые всегда сопутствуют началам кампаний.
Французский полковник с трудом удерживал зевоту, но был учтив и, видимо, понимал все значение Балашева. Он провел его мимо своих солдат за цепь и сообщил, что желание его быть представленну императору будет, вероятно, тотчас же исполнено, так как императорская квартира, сколько он знает, находится недалеко.
Они проехали деревню Рыконты, мимо французских гусарских коновязей, часовых и солдат, отдававших честь своему полковнику и с любопытством осматривавших русский мундир, и выехали на другую сторону села. По словам полковника, в двух километрах был начальник дивизии, который примет Балашева и проводит его по назначению.
Солнце уже поднялось и весело блестело на яркой зелени.
Только что они выехали за корчму на гору, как навстречу им из под горы показалась кучка всадников, впереди которой на вороной лошади с блестящею на солнце сбруей ехал высокий ростом человек в шляпе с перьями и черными, завитыми по плечи волосами, в красной мантии и с длинными ногами, выпяченными вперед, как ездят французы. Человек этот поехал галопом навстречу Балашеву, блестя и развеваясь на ярком июньском солнце своими перьями, каменьями и золотыми галунами.
Балашев уже был на расстоянии двух лошадей от скачущего ему навстречу с торжественно театральным лицом всадника в браслетах, перьях, ожерельях и золоте, когда Юльнер, французский полковник, почтительно прошептал: «Le roi de Naples». [Король Неаполитанский.] Действительно, это был Мюрат, называемый теперь неаполитанским королем. Хотя и было совершенно непонятно, почему он был неаполитанский король, но его называли так, и он сам был убежден в этом и потому имел более торжественный и важный вид, чем прежде. Он так был уверен в том, что он действительно неаполитанский король, что, когда накануне отъезда из Неаполя, во время его прогулки с женою по улицам Неаполя, несколько итальянцев прокричали ему: «Viva il re!», [Да здравствует король! (итал.) ] он с грустной улыбкой повернулся к супруге и сказал: «Les malheureux, ils ne savent pas que je les quitte demain! [Несчастные, они не знают, что я их завтра покидаю!]
Но несмотря на то, что он твердо верил в то, что он был неаполитанский король, и что он сожалел о горести своих покидаемых им подданных, в последнее время, после того как ему ведено было опять поступить на службу, и особенно после свидания с Наполеоном в Данциге, когда августейший шурин сказал ему: «Je vous ai fait Roi pour regner a maniere, mais pas a la votre», [Я вас сделал королем для того, чтобы царствовать не по своему, а по моему.] – он весело принялся за знакомое ему дело и, как разъевшийся, но не зажиревший, годный на службу конь, почуяв себя в упряжке, заиграл в оглоблях и, разрядившись как можно пестрее и дороже, веселый и довольный, скакал, сам не зная куда и зачем, по дорогам Польши.
Увидав русского генерала, он по королевски, торжественно, откинул назад голову с завитыми по плечи волосами и вопросительно поглядел на французского полковника. Полковник почтительно передал его величеству значение Балашева, фамилию которого он не мог выговорить.
– De Bal macheve! – сказал король (своей решительностью превозмогая трудность, представлявшуюся полковнику), – charme de faire votre connaissance, general, [очень приятно познакомиться с вами, генерал] – прибавил он с королевски милостивым жестом. Как только король начал говорить громко и быстро, все королевское достоинство мгновенно оставило его, и он, сам не замечая, перешел в свойственный ему тон добродушной фамильярности. Он положил свою руку на холку лошади Балашева.