Гильбертово пространство
Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность. Названо в честь Давида Гильберта.
Важнейшим объектом исследования в гильбертовом пространстве являются линейные операторы. Само понятие гильбертова пространства сформировалось в работах Гильберта и Шмидта по теории интегральных уравнений, а абстрактное определение было дано в работах фон Неймана, Риса и Стоуна по теории эрмитовых операторов.
Содержание
Определение
Гильбертово пространство — линейное (векторное) пространство (над полем вещественных или комплексных чисел), в котором для любых двух элементов пространства <math>x</math> и <math>y</math> определено скалярное произведение <math>(x,y)</math>, и которое является полным относительно порождённой этим скалярным произведением метрики <math>d(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(x-y,x-y)}</math>. Если условие полноты пространства не выполнено, то говорят о предгильбертовом пространстве. Однако, большинство из известных (используемых) пространств либо являются полными, либо могут быть пополнены.
Таким образом, гильбертово пространство есть банахово пространство (полное нормированное пространство), норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением и определяется как <math>\|x\|=\sqrt{(x,x)}</math>
Норма в произвольном нормированном пространстве может порождаться некоторым скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство (тождество) параллелограмма:
- <math>
(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2). </math> Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
- <math>
(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2. </math> Если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
- <math>
(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2+ i\left\|\dfrac{x+iy}{2}\right\|^2-i\left\|\dfrac{x-iy}{2}\right\|^2 </math> (поляризационное тождество).
Неравенство Коши — Буняковского. Ортогональность
В гильбертовом пространстве важное значение имеет неравенство Коши — Буняковского:
- <math>|(x,y)| \leqslant \|x\|\|y\|</math>.
Это неравенство в случае вещественного гильбертова пространства дает возможность определить угол <math>\varphi</math> между двумя элементами x и y по следующей формуле
- <math>\cos\varphi=\frac{(x,y)}{\|x\|\|y\|}</math>.
В частности, если скалярное произведение равно нулю <math>(x,y)=0</math>, а сами элементы являются ненулевыми, то угол между этими элементами равен <math>90^\circ</math>, что соответствует ортогональности элементов x и y. Заметим, что понятие ортогональности вводится и в комплексном гильбертовом пространстве с помощью соотношения <math>(x,y)=0</math>. Для обозначения ортогональности элементов используется символ <math>\perp</math>. Два подмножества <math>M</math> и <math>N</math> гильбертова пространства ортогональны <math>(M\perp N)</math>, если любые два элемента <math>f \in M</math>, <math>g \in N</math> ортогональны.
Для попарно ортогональных векторов справедлива теорема Пифагора (обобщённая):
- <math>\|\sum_i x_i\|^2=\sum_i \|x_i\|^2</math>.
Множество всех элементов пространства, ортогональных некоторому подмножеству <math>A</math>, является замкнутым линейным многообразием (подпространством) и называется ортогональным дополнением этого множества.
Подмножество элементов называется ортонормированной системой, если любые два элемента множества ортогональны и норма каждого элемента равна единице.
Базисы и размерность гильбертова пространства
Система векторов гильбертова пространства является полной, если она порождает всё пространство, то есть если произвольный элемент пространства может быть сколь угодно точно приближен по норме линейными комбинациями элементов этой системы. Если в пространстве существует счётная полная система элементов, то пространство является сепарабельным — то есть имеется счётное всюду плотное множество, замыкание которого по метрике пространства совпадает со всем пространством.
Данная полная система <math>\{e_i\}</math> является базисом, если каждый элемент пространства можно представить как линейную комбинацию элементов этой системы и притом однозначно. Необходимо отметить, что в общем случае банаховых пространств из полноты и линейной независимости элементов системы не следует, что это базис. Однако, в случае сепарабельных гильбертовых пространств полная ортонормированная система <math>\{e_i\}</math> является базисом. Для того, чтобы ортонормированная система была полна в сепарабельном гильбертовом пространстве необходимо и достаточно, чтобы не существовало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам ортонормированной системы. Таким образом, для каждого элемента <math>f</math> пространства имеет место разложение по ортонормированному базису <math>\{e_i\}</math>:
<math>f=\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i e_i=\sum^{\infty}_{i=1} (f,e_i) e_i</math>
Коэффициенты разложения <math>\alpha_i=(f,e_i)</math> называют коэффициентами Фурье. При этом для нормы элемента выполнено равенство Парсеваля:
<math>\|f\|^2=\sum^{\infty}_{i=1}|(f,e_i)|^2</math>
Все ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве имеют одинаковую мощность, что позволяет определить размерность гильбертова пространства как размерность произвольного ортонормированного базиса (ортогональная размерность). Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда имеет счётную размерность.
Размерность пространства также можно определить как наименьшую из мощностей подмножеств гильбертова пространства <math>H</math>, для которых замыкание линейной оболочки совпадает с <math>H</math>.
Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. В частности, любые два бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны друг другу и пространству <math>\ell^2</math>.
Ортогональные разложения
Пусть <math>L</math> — некоторое подпространство в гильбертовом пространстве <math>H</math>. Тогда для любого элемента <math>f \in H</math> справедливо единственное разложение <math>f=g+h</math>, где <math>g \in L</math>, а <math>h \perp L</math>. Элемент <math>g</math> называется проекцией элемента <math>f</math> на <math>L</math>. Совокупность элементов <math>h</math>, ортогональных подпространству <math>L</math> образует (замкнутое) подпространство <math>M</math>, являющееся ортогональным дополнением подпространства <math>L</math>.
Говорят, что пространство <math>H</math> разложено в прямую сумму подпространств <math>L</math> и <math>M</math>, что записывается как <math>H=L \oplus M</math>. Аналогично можно записать <math>L=H \ominus M</math>.
Пространство линейных функционалов
Пространство линейных непрерывных (ограниченных) функционалов также образует линейное пространство и называется сопряжённым пространством.
Имеет место следующая теорема Риса об общем виде ограниченного линейного функционала в гильбертовом пространстве: для любого линейного ограниченного функционала <math>f</math> на гильбертовом пространстве <math>H</math> существует единственный вектор <math>y \in H</math> такой, что <math>f(x)=(x,y)</math> для любого <math>x \in H</math>. При этом норма линейного функционала <math>f</math> совпадает с нормой вектора <math>y</math>:
- <math>\|f\|=\sup_{\|x\|=1} |f(x)|= \sqrt{(y,y)}</math>.
Из теоремы следует, что пространство линейных ограниченных функционалов над гильбертовым пространством <math>H</math> изоморфно самому пространству <math>H</math>.
Линейные операторы в гильбертовых пространствах
Линейный оператор <math>A</math> может быть представлен в данном базисе матричными элементами единственным образом: <math>a_{ij}=(Ae_i,e_j)</math>.
Линейный оператор <math>A^*</math> называется сопряжённым к оператору <math>A</math>, если для любых элементов <math>x</math> и <math>y</math> выполнено равенство <math>(Ax,y)=(x,A^*y)</math>. Норма сопряжённого оператора равна норме самого оператора.
Линейный ограниченный оператор называется самосопряжённым (симметрическим), если <math>A^*=A</math>.
Оператор <math>P</math>, определённый на всем пространстве, который каждому элементу ставит в соответствие его проекцию на некоторое подпространство называется проектирующим оператором, (оператором проектирования, ортопроектором). Проектирующий оператор является линейным самосопряжённым оператором с единичной нормой, для которого выполнено равенство <math>P^2=P</math>. Произведение двух проектирующих операторов является проектирующим тогда и только тогда, когда они перестановочны: <math>P_1P_2=P_2P_1</math>.
Свойства
- Теорема представлений Риса: для любой ортонормированной системы векторов <math>{\lbrace \phi_i \rbrace}_{i = 1}^{\infty}</math> в гильбертовом пространстве <math>H</math> и числовой последовательности <math>{\lbrace C_i \rbrace}_{i = 1}^{\infty}</math>, такой что <math>\sum_{i = 1}^{\infty} C_i^2 < \infty</math>, в <math>H</math> существует такой элемент <math>u</math>, что <math>C_i = \left( u, \phi_i \right)</math> и <math>{\left\Vert u \right\Vert}^2 = \sum_{i = 1}^{\infty} {\left( u, \phi_i \right)}^2</math>.
- Гильбертовы пространства порождают строго нормированные пространства.
Примеры
- Евклидово пространство.
- Пространство <math>\ell^2</math>. Его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел <math>x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>, для которых сходится ряд <math>\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2</math>. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством
- <math>(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n</math>.
- Пространство <math>L^2[a,b]</math> измеримых функций с вещественными значениями на отрезке <math>[a,b]</math> с интегрируемыми по Лебегу квадратами — то есть таких, что интеграл
- <math>\int\limits_a^b\!|f|^2\,dx</math>
- определён и конечен, притом функции, отличающиеся между собой на множестве мере нуль — отождествляются между собой (то есть, формально, <math>L^2[a,b]</math> есть соответствующее множество классов эквивалентностей). Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством
- <math>(f, g) = \int\limits_a^b\!f{g}\,dx</math>.
Для пространств <math>\ell^2</math> и <math>L^2[a,b]</math> над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:
- <math>(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y}_n</math>;
- <math>(f, g) = \int\limits_a^b\!f\overline{g}\,dx</math>.
Напишите отзыв о статье "Гильбертово пространство"
Литература
- Халмош П., [icm.krasn.ru/refextra.php?id=3786 Гильбертово пространство в задачах], Перевод с английского И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Издательство «Мир», 1970. — 352 с.
- Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Гильбертово пространство– Ну, до свидания, – сказал князь Андрей, протягивая руку Тушину.– До свидания, голубчик, – сказал Тушин, – милая душа! прощайте, голубчик, – сказал Тушин со слезами, которые неизвестно почему вдруг выступили ему на глаза. Ветер стих, черные тучи низко нависли над местом сражения, сливаясь на горизонте с пороховым дымом. Становилось темно, и тем яснее обозначалось в двух местах зарево пожаров. Канонада стала слабее, но трескотня ружей сзади и справа слышалась еще чаще и ближе. Как только Тушин с своими орудиями, объезжая и наезжая на раненых, вышел из под огня и спустился в овраг, его встретило начальство и адъютанты, в числе которых были и штаб офицер и Жерков, два раза посланный и ни разу не доехавший до батареи Тушина. Все они, перебивая один другого, отдавали и передавали приказания, как и куда итти, и делали ему упреки и замечания. Тушин ничем не распоряжался и молча, боясь говорить, потому что при каждом слове он готов был, сам не зная отчего, заплакать, ехал сзади на своей артиллерийской кляче. Хотя раненых велено было бросать, много из них тащилось за войсками и просилось на орудия. Тот самый молодцоватый пехотный офицер, который перед сражением выскочил из шалаша Тушина, был, с пулей в животе, положен на лафет Матвевны. Под горой бледный гусарский юнкер, одною рукой поддерживая другую, подошел к Тушину и попросился сесть. – Капитан, ради Бога, я контужен в руку, – сказал он робко. – Ради Бога, я не могу итти. Ради Бога! Видно было, что юнкер этот уже не раз просился где нибудь сесть и везде получал отказы. Он просил нерешительным и жалким голосом. – Прикажите посадить, ради Бога. – Посадите, посадите, – сказал Тушин. – Подложи шинель, ты, дядя, – обратился он к своему любимому солдату. – А где офицер раненый? – Сложили, кончился, – ответил кто то. – Посадите. Садитесь, милый, садитесь. Подстели шинель, Антонов. Юнкер был Ростов. Он держал одною рукой другую, был бледен, и нижняя челюсть тряслась от лихорадочной дрожи. Его посадили на Матвевну, на то самое орудие, с которого сложили мертвого офицера. На подложенной шинели была кровь, в которой запачкались рейтузы и руки Ростова. – Что, вы ранены, голубчик? – сказал Тушин, подходя к орудию, на котором сидел Ростов. – Нет, контужен. – Отчего же кровь то на станине? – спросил Тушин. – Это офицер, ваше благородие, окровянил, – отвечал солдат артиллерист, обтирая кровь рукавом шинели и как будто извиняясь за нечистоту, в которой находилось орудие. Насилу, с помощью пехоты, вывезли орудия в гору, и достигши деревни Гунтерсдорф, остановились. Стало уже так темно, что в десяти шагах нельзя было различить мундиров солдат, и перестрелка стала стихать. Вдруг близко с правой стороны послышались опять крики и пальба. От выстрелов уже блестело в темноте. Это была последняя атака французов, на которую отвечали солдаты, засевшие в дома деревни. Опять всё бросилось из деревни, но орудия Тушина не могли двинуться, и артиллеристы, Тушин и юнкер, молча переглядывались, ожидая своей участи. Перестрелка стала стихать, и из боковой улицы высыпали оживленные говором солдаты. – Цел, Петров? – спрашивал один. – Задали, брат, жару. Теперь не сунутся, – говорил другой. – Ничего не видать. Как они в своих то зажарили! Не видать; темь, братцы. Нет ли напиться? Французы последний раз были отбиты. И опять, в совершенном мраке, орудия Тушина, как рамой окруженные гудевшею пехотой, двинулись куда то вперед. В темноте как будто текла невидимая, мрачная река, всё в одном направлении, гудя шопотом, говором и звуками копыт и колес. В общем гуле из за всех других звуков яснее всех были стоны и голоса раненых во мраке ночи. Их стоны, казалось, наполняли собой весь этот мрак, окружавший войска. Их стоны и мрак этой ночи – это было одно и то же. Через несколько времени в движущейся толпе произошло волнение. Кто то проехал со свитой на белой лошади и что то сказал, проезжая. Что сказал? Куда теперь? Стоять, что ль? Благодарил, что ли? – послышались жадные расспросы со всех сторон, и вся движущаяся масса стала напирать сама на себя (видно, передние остановились), и пронесся слух, что велено остановиться. Все остановились, как шли, на середине грязной дороги. Засветились огни, и слышнее стал говор. Капитан Тушин, распорядившись по роте, послал одного из солдат отыскивать перевязочный пункт или лекаря для юнкера и сел у огня, разложенного на дороге солдатами. Ростов перетащился тоже к огню. Лихорадочная дрожь от боли, холода и сырости трясла всё его тело. Сон непреодолимо клонил его, но он не мог заснуть от мучительной боли в нывшей и не находившей положения руке. Он то закрывал глаза, то взглядывал на огонь, казавшийся ему горячо красным, то на сутуловатую слабую фигуру Тушина, по турецки сидевшего подле него. Большие добрые и умные глаза Тушина с сочувствием и состраданием устремлялись на него. Он видел, что Тушин всею душой хотел и ничем не мог помочь ему. Со всех сторон слышны были шаги и говор проходивших, проезжавших и кругом размещавшейся пехоты. Звуки голосов, шагов и переставляемых в грязи лошадиных копыт, ближний и дальний треск дров сливались в один колеблющийся гул. Теперь уже не текла, как прежде, во мраке невидимая река, а будто после бури укладывалось и трепетало мрачное море. Ростов бессмысленно смотрел и слушал, что происходило перед ним и вокруг него. Пехотный солдат подошел к костру, присел на корточки, всунул руки в огонь и отвернул лицо. – Ничего, ваше благородие? – сказал он, вопросительно обращаясь к Тушину. – Вот отбился от роты, ваше благородие; сам не знаю, где. Беда! Вместе с солдатом подошел к костру пехотный офицер с подвязанной щекой и, обращаясь к Тушину, просил приказать подвинуть крошечку орудия, чтобы провезти повозку. За ротным командиром набежали на костер два солдата. Они отчаянно ругались и дрались, выдергивая друг у друга какой то сапог. – Как же, ты поднял! Ишь, ловок, – кричал один хриплым голосом. Потом подошел худой, бледный солдат с шеей, обвязанной окровавленною подверткой, и сердитым голосом требовал воды у артиллеристов. – Что ж, умирать, что ли, как собаке? – говорил он. Тушин велел дать ему воды. Потом подбежал веселый солдат, прося огоньку в пехоту. – Огоньку горяченького в пехоту! Счастливо оставаться, землячки, благодарим за огонек, мы назад с процентой отдадим, – говорил он, унося куда то в темноту краснеющуюся головешку. За этим солдатом четыре солдата, неся что то тяжелое на шинели, прошли мимо костра. Один из них споткнулся. – Ишь, черти, на дороге дрова положили, – проворчал он. – Кончился, что ж его носить? – сказал один из них. – Ну, вас! И они скрылись во мраке с своею ношей. – Что? болит? – спросил Тушин шопотом у Ростова. – Болит. – Ваше благородие, к генералу. Здесь в избе стоят, – сказал фейерверкер, подходя к Тушину. – Сейчас, голубчик. Тушин встал и, застегивая шинель и оправляясь, отошел от костра… Недалеко от костра артиллеристов, в приготовленной для него избе, сидел князь Багратион за обедом, разговаривая с некоторыми начальниками частей, собравшимися у него. Тут был старичок с полузакрытыми глазами, жадно обгладывавший баранью кость, и двадцатидвухлетний безупречный генерал, раскрасневшийся от рюмки водки и обеда, и штаб офицер с именным перстнем, и Жерков, беспокойно оглядывавший всех, и князь Андрей, бледный, с поджатыми губами и лихорадочно блестящими глазами. В избе стояло прислоненное в углу взятое французское знамя, и аудитор с наивным лицом щупал ткань знамени и, недоумевая, покачивал головой, может быть оттого, что его и в самом деле интересовал вид знамени, а может быть, и оттого, что ему тяжело было голодному смотреть на обед, за которым ему не достало прибора. В соседней избе находился взятый в плен драгунами французский полковник. Около него толпились, рассматривая его, наши офицеры. Князь Багратион благодарил отдельных начальников и расспрашивал о подробностях дела и о потерях. Полковой командир, представлявшийся под Браунау, докладывал князю, что, как только началось дело, он отступил из леса, собрал дроворубов и, пропустив их мимо себя, с двумя баталионами ударил в штыки и опрокинул французов. – Как я увидал, ваше сиятельство, что первый батальон расстроен, я стал на дороге и думаю: «пропущу этих и встречу батальным огнем»; так и сделал. Полковому командиру так хотелось сделать это, так он жалел, что не успел этого сделать, что ему казалось, что всё это точно было. Даже, может быть, и в самом деле было? Разве можно было разобрать в этой путанице, что было и чего не было? – Причем должен заметить, ваше сиятельство, – продолжал он, вспоминая о разговоре Долохова с Кутузовым и о последнем свидании своем с разжалованным, – что рядовой, разжалованный Долохов, на моих глазах взял в плен французского офицера и особенно отличился. – Здесь то я видел, ваше сиятельство, атаку павлоградцев, – беспокойно оглядываясь, вмешался Жерков, который вовсе не видал в этот день гусар, а только слышал о них от пехотного офицера. – Смяли два каре, ваше сиятельство. На слова Жеркова некоторые улыбнулись, как и всегда ожидая от него шутки; но, заметив, что то, что он говорил, клонилось тоже к славе нашего оружия и нынешнего дня, приняли серьезное выражение, хотя многие очень хорошо знали, что то, что говорил Жерков, была ложь, ни на чем не основанная. Князь Багратион обратился к старичку полковнику. – Благодарю всех, господа, все части действовали геройски: пехота, кавалерия и артиллерия. Каким образом в центре оставлены два орудия? – спросил он, ища кого то глазами. (Князь Багратион не спрашивал про орудия левого фланга; он знал уже, что там в самом начале дела были брошены все пушки.) – Я вас, кажется, просил, – обратился он к дежурному штаб офицеру. – Одно было подбито, – отвечал дежурный штаб офицер, – а другое, я не могу понять; я сам там всё время был и распоряжался и только что отъехал… Жарко было, правда, – прибавил он скромно. |