Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• гиперболический синус:

<math>\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}</math>

(в англоязычной литературе обозначается <math>\sinh x</math>)

• гиперболический косинус:

<math>\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math>

(в англоязычной литературе обозначается <math>\cosh x</math>)

• гиперболический тангенс:

<math>\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}</math>

(в англоязычной литературе обозначается <math>\tanh x</math>)

• гиперболический котангенс:

<math>\operatorname{cth}x=\frac{1}{\operatorname{th}x}</math>

Иногда также определяются

• гиперболические секанс и косеканс:

<math>\operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{ch}x}</math>

<math>\operatorname{csch}x=\frac{1}{\operatorname{sh}x}</math>

Геометрическое определение

Ввиду соотношения <math>\operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1</math> гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы <math>x^2-y^2=1</math> (<math>x=\operatorname{ch}t</math>, <math>y=\operatorname{sh}t</math>). При этом аргумент <math>t=2S</math>, где <math>S</math> — площадь криволинейного треугольника <math>OQR</math>, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси <math>OX</math>, и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: <math>x=t, y=f(t)</math>, где <math>f(t)</math> — ордината точки гиперболы, соответствующей площади <math>t=2S</math>. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

<math> \operatorname{sh}x=-i\sin(ix),\quad \operatorname{ch}x=\cos(ix),\quad \operatorname{th}x=-i\operatorname{tg}(ix) </math>.

<math>\operatorname{sh}(ix) = i\sin x,\quad \operatorname{ch}(ix) = \cos x,\quad \operatorname{th}(ix)= i\operatorname{tg}x </math>.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные соотношения

1. <math>\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x = 1.</math>
2. Чётность:
   1. <math>\operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}x.</math>
   2. <math>\operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch}x.</math>
   3. <math>\operatorname{th}(-x)=-\operatorname{th}x.</math>
3. Формулы сложения:
   1. <math>\operatorname{sh}(x \pm y)=\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{ch}x.</math>
   2. <math>\operatorname{ch}(x \pm y)=\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{sh}x.</math>
   3. <math>\operatorname{th}(x \pm y)=\frac{\operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y}{1 \pm \operatorname{th}x\,\operatorname{th}y}.</math>
   4. <math>\operatorname{cth}(x \pm y)=\frac{ 1 \pm \operatorname{cth}x\,\operatorname{cth}y}{\operatorname{cth}x \pm \operatorname{cth}y}.</math>
4. Формулы двойного угла:
   1. <math>\operatorname{sh}2x=2\operatorname{ch}x\,\operatorname{sh}x=\frac{2\,\operatorname{th}x}{1-\operatorname{th}^2x}.</math>
   2. <math>\operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x=\frac{1+\operatorname{th}^2x}{1-\operatorname{th}^2x}.</math>
   3. <math>\operatorname{th}2x=\frac{2\operatorname{th}x}{1+\operatorname{th}^2x}.</math>
   4. <math> \operatorname{cth}2x=\frac{1}{2} (\operatorname{th}x+\operatorname{cth}x). </math>
   5. <math> \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{ch}2x-1}{\operatorname{sh}2x}=\frac{\operatorname{sh}2x}{1+\operatorname{ch}2x}.</math>
   6. <math> \operatorname{ch}2x \pm \operatorname{sh}2x=(\operatorname{sh}x\pm\operatorname{ch}x)^2. </math>
5. Формулы кратных углов:
   1. <math>\operatorname{sh}3x=4\operatorname{sh}^3x+3\operatorname{sh}x .</math>
   2. <math>\operatorname{ch}3x=4\operatorname{ch}^3x-3\operatorname{ch}x .</math>
   3. <math>\operatorname{th}3x=\operatorname{th}x\frac{3+\operatorname{th}^2x}{1+3\operatorname{th}^2x}.</math>
   4. <math>\operatorname{sh}5x=16\operatorname{sh}^5x+20\operatorname{sh}^3x+5\operatorname{sh}x .</math>
   5. <math>\operatorname{ch}5x=16\operatorname{ch}^5x-20\operatorname{ch}^3x+5\operatorname{ch}x .</math>
   6. <math>\operatorname{th}5x=\operatorname{th}x\frac{\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+5}{5\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+1}.</math>
6. Произведения:
   1. <math>\operatorname{sh}x\,\operatorname{sh}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{2}. </math>
   2. <math>\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{sh}(x+y)+\operatorname{sh}(x-y)}{2}. </math>
   3. <math>\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}{2}. </math>
   4. <math>\operatorname{th}x\,\operatorname{th}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}. </math>
7. Суммы:
   1. <math>\operatorname{sh}x \pm \operatorname{sh}y=2\operatorname{sh}\frac{x \pm y}{2}\operatorname{ch}\frac{x \mp y}{2}. </math>
   2. <math>\operatorname{ch}x + \operatorname{ch}y=2\operatorname{ch}\frac{x+y}{2}\operatorname{ch}\frac{x -y}{2}. </math>
   3. <math>\operatorname{ch}x - \operatorname{ch}y=2\operatorname{sh}\frac{x+y}{2}\operatorname{sh}\frac{x -y}{2}. </math>
   4. <math>\operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y=\frac{\operatorname{sh}(x \pm y)}{\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y}. </math>
8. Формулы понижения степени:
   1. <math>\operatorname{ch}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x + 1}{2}.</math>
   2. <math>\operatorname{sh}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x - 1}{2}.</math>
9. Производные:
   1. <math>(\operatorname{sh}x)^\prime=\operatorname{ch}x.</math>
   2. <math>(\operatorname{ch}x)^\prime=\operatorname{sh}x.</math>
   3. <math>(\operatorname{th}x)^\prime=\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}.</math>
   4. <math>(\operatorname{cth}x)^\prime=-{\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}}.</math>
   5. <math>\operatorname{sh}x=\int\limits^x_0\operatorname{ch}tdt.</math>
   6. <math>\operatorname{ch}x=1+\int\limits^x_0\operatorname{sh}tdt.</math>
   7. <math>\operatorname{th}x=\int\limits^x_0\frac{dt}{\operatorname{ch}^2t}.</math>
10. Интегралы:
    1. <math>\int\operatorname{sh}x\,dx=\operatorname{ch}x+C.</math>
    2. <math>\int\operatorname{ch}x\,dx=\operatorname{sh}x+C.</math>
    3. <math>\int\operatorname{th}x\,dx=\ln\operatorname{ch}x+C.</math>
    4. <math>\int\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}\,dx=\operatorname{th}x+C.</math>
    5. <math>\int\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}\,dx=-\operatorname{cth}x+C.</math>

См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций

Неравенства

Для всех <math>x\in\R</math> выполняется:

1. <math> 0 \le \operatorname{ch}x-1 \le |\operatorname{sh} x| < \operatorname{ch}x </math>
2. <math> | \operatorname{th}x | <1 </math>

Разложение в степенные ряды

<math>\operatorname{sh}\,x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

<math>\operatorname{ch}\,x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>

<math>\operatorname{th}\,x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad|x|<\frac{\pi}{2}</math>

<math>\operatorname{cth}\,x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad0<|x|<\pi</math> (Ряд Лорана)

Здесь <math>B_{2n}</math> — числа Бернулли.

Графики

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках <math>z=i\pi(n+1/2)</math>, где <math>n</math> — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек <math>z=i\pi n</math>, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

<math>\operatorname{Arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})</math> — обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус: <math>\operatorname{sh}(\operatorname{Arsh}x)=x.</math>

<math>\operatorname{Arch}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1</math> — обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус.

<math>\operatorname{Arth}x=\ln\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)</math> — обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс.

<math>\operatorname{Arcth}x=\ln\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)</math> — обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс.

<math>\operatorname{Arsch}x=\pm\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)</math> — обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс.

<math>\operatorname{Arcsch}x=\left\{\begin{array}{l}\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x<0 \\ \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x>0\end{array}\right.</math> — обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс.

Графики

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

<math>\operatorname{Arsh}x=-i\arcsin(-ix),</math>

<math>\operatorname{Arsh}(ix)=i\arcsin x,</math>

<math>\arcsin x=-i\operatorname{Arsh}(ix),</math>

<math>\arcsin (ix)=-i\operatorname{Arsh}(-x),</math>

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

<math>\operatorname{Arsh}x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x<1;</math>

<math>\operatorname{Arch}x=\ln(2x)-\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\ldots\right)=\ln(2x)-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x>1;</math>

<math>\operatorname{Arth}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1.</math>

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, <math>\operatorname{Arth}\,x</math> пишут как <math>\operatorname{tanh}^{-1}x</math> (причём <math>(\operatorname{tanh}\,x)^{-1}</math> обозначает другую функцию — <math>\operatorname{cth}\,x</math>), и т. д.

История

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: <math>\operatorname{sh}</math>, <math>\operatorname{ch}</math>. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения <math>\operatorname{sinhyp}</math>, <math>\operatorname{coshyp}</math>, в русскоязычной литературе закрепились обозначения <math>\operatorname{sh}, \operatorname{ch}</math>, в англоязычной закрепились <math>\sinh, \cosh</math>.

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида <math>\begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix}</math> описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы <math>\begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x & \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x & \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix}</math> описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции <math>y=a\,\mathop{\mathrm{ch}}\,\frac{x}{a}</math> (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.

Литература

• Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.

Ссылки

• [glab.trixon.se/ GonioLab]: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start
• [www.oval.ru/enc/27971.html БСЭ: Знаки математические]
• [math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexFunTrigInverseMod.html Обратные тригонометрические и гиперболические функции (англ.)]

Отрывок, характеризующий Гиперболические функции

Десять человек, батальонов или дивизий, сражаясь с пятнадцатью человеками, батальонами или дивизиями, победили пятнадцать, то есть убили и забрали в плен всех без остатка и сами потеряли четыре; стало быть, уничтожились с одной стороны четыре, с другой стороны пятнадцать. Следовательно, четыре были равны пятнадцати, и, следовательно, 4а:=15у. Следовательно, ж: г/==15:4. Уравнение это не дает значения неизвестного, но оно дает отношение между двумя неизвестными. И из подведения под таковые уравнения исторических различно взятых единиц (сражений, кампаний, периодов войн) получатся ряды чисел, в которых должны существовать и могут быть открыты законы.
Тактическое правило о том, что надо действовать массами при наступлении и разрозненно при отступлении, бессознательно подтверждает только ту истину, что сила войска зависит от его духа. Для того чтобы вести людей под ядра, нужно больше дисциплины, достигаемой только движением в массах, чем для того, чтобы отбиваться от нападающих. Но правило это, при котором упускается из вида дух войска, беспрестанно оказывается неверным и в особенности поразительно противоречит действительности там, где является сильный подъем или упадок духа войска, – во всех народных войнах.
Французы, отступая в 1812 м году, хотя и должны бы защищаться отдельно, по тактике, жмутся в кучу, потому что дух войска упал так, что только масса сдерживает войско вместе. Русские, напротив, по тактике должны бы были нападать массой, на деле же раздробляются, потому что дух поднят так, что отдельные лица бьют без приказания французов и не нуждаются в принуждении для того, чтобы подвергать себя трудам и опасностям.


Так называемая партизанская война началась со вступления неприятеля в Смоленск.
Прежде чем партизанская война была официально принята нашим правительством, уже тысячи людей неприятельской армии – отсталые мародеры, фуражиры – были истреблены казаками и мужиками, побивавшими этих людей так же бессознательно, как бессознательно собаки загрызают забеглую бешеную собаку. Денис Давыдов своим русским чутьем первый понял значение той страшной дубины, которая, не спрашивая правил военного искусства, уничтожала французов, и ему принадлежит слава первого шага для узаконения этого приема войны.
24 го августа был учрежден первый партизанский отряд Давыдова, и вслед за его отрядом стали учреждаться другие. Чем дальше подвигалась кампания, тем более увеличивалось число этих отрядов.
Партизаны уничтожали Великую армию по частям. Они подбирали те отпадавшие листья, которые сами собою сыпались с иссохшего дерева – французского войска, и иногда трясли это дерево. В октябре, в то время как французы бежали к Смоленску, этих партий различных величин и характеров были сотни. Были партии, перенимавшие все приемы армии, с пехотой, артиллерией, штабами, с удобствами жизни; были одни казачьи, кавалерийские; были мелкие, сборные, пешие и конные, были мужицкие и помещичьи, никому не известные. Был дьячок начальником партии, взявший в месяц несколько сот пленных. Была старостиха Василиса, побившая сотни французов.
Последние числа октября было время самого разгара партизанской войны. Тот первый период этой войны, во время которого партизаны, сами удивляясь своей дерзости, боялись всякую минуту быть пойманными и окруженными французами и, не расседлывая и почти не слезая с лошадей, прятались по лесам, ожидая всякую минуту погони, – уже прошел. Теперь уже война эта определилась, всем стало ясно, что можно было предпринять с французами и чего нельзя было предпринимать. Теперь уже только те начальники отрядов, которые с штабами, по правилам ходили вдали от французов, считали еще многое невозможным. Мелкие же партизаны, давно уже начавшие свое дело и близко высматривавшие французов, считали возможным то, о чем не смели и думать начальники больших отрядов. Казаки же и мужики, лазившие между французами, считали, что теперь уже все было возможно.
22 го октября Денисов, бывший одним из партизанов, находился с своей партией в самом разгаре партизанской страсти. С утра он с своей партией был на ходу. Он целый день по лесам, примыкавшим к большой дороге, следил за большим французским транспортом кавалерийских вещей и русских пленных, отделившимся от других войск и под сильным прикрытием, как это было известно от лазутчиков и пленных, направлявшимся к Смоленску. Про этот транспорт было известно не только Денисову и Долохову (тоже партизану с небольшой партией), ходившему близко от Денисова, но и начальникам больших отрядов с штабами: все знали про этот транспорт и, как говорил Денисов, точили на него зубы. Двое из этих больших отрядных начальников – один поляк, другой немец – почти в одно и то же время прислали Денисову приглашение присоединиться каждый к своему отряду, с тем чтобы напасть на транспорт.
– Нет, бг'ат, я сам с усам, – сказал Денисов, прочтя эти бумаги, и написал немцу, что, несмотря на душевное желание, которое он имел служить под начальством столь доблестного и знаменитого генерала, он должен лишить себя этого счастья, потому что уже поступил под начальство генерала поляка. Генералу же поляку он написал то же самое, уведомляя его, что он уже поступил под начальство немца.
Распорядившись таким образом, Денисов намеревался, без донесения о том высшим начальникам, вместе с Долоховым атаковать и взять этот транспорт своими небольшими силами. Транспорт шел 22 октября от деревни Микулиной к деревне Шамшевой. С левой стороны дороги от Микулина к Шамшеву шли большие леса, местами подходившие к самой дороге, местами отдалявшиеся от дороги на версту и больше. По этим то лесам целый день, то углубляясь в середину их, то выезжая на опушку, ехал с партией Денисов, не выпуская из виду двигавшихся французов. С утра, недалеко от Микулина, там, где лес близко подходил к дороге, казаки из партии Денисова захватили две ставшие в грязи французские фуры с кавалерийскими седлами и увезли их в лес. С тех пор и до самого вечера партия, не нападая, следила за движением французов. Надо было, не испугав их, дать спокойно дойти до Шамшева и тогда, соединившись с Долоховым, который должен был к вечеру приехать на совещание к караулке в лесу (в версте от Шамшева), на рассвете пасть с двух сторон как снег на голову и побить и забрать всех разом.
Позади, в двух верстах от Микулина, там, где лес подходил к самой дороге, было оставлено шесть казаков, которые должны были донести сейчас же, как только покажутся новые колонны французов.
Впереди Шамшева точно так же Долохов должен был исследовать дорогу, чтобы знать, на каком расстоянии есть еще другие французские войска. При транспорте предполагалось тысяча пятьсот человек. У Денисова было двести человек, у Долохова могло быть столько же. Но превосходство числа не останавливало Денисова. Одно только, что еще нужно было знать ему, это то, какие именно были эти войска; и для этой цели Денисову нужно было взять языка (то есть человека из неприятельской колонны). В утреннее нападение на фуры дело сделалось с такою поспешностью, что бывших при фурах французов всех перебили и захватили живым только мальчишку барабанщика, который был отсталый и ничего не мог сказать положительно о том, какие были войска в колонне.
Нападать другой раз Денисов считал опасным, чтобы не встревожить всю колонну, и потому он послал вперед в Шамшево бывшего при его партии мужика Тихона Щербатого – захватить, ежели можно, хоть одного из бывших там французских передовых квартиргеров.


Был осенний, теплый, дождливый день. Небо и горизонт были одного и того же цвета мутной воды. То падал как будто туман, то вдруг припускал косой, крупный дождь.
На породистой, худой, с подтянутыми боками лошади, в бурке и папахе, с которых струилась вода, ехал Денисов. Он, так же как и его лошадь, косившая голову и поджимавшая уши, морщился от косого дождя и озабоченно присматривался вперед. Исхудавшее и обросшее густой, короткой, черной бородой лицо его казалось сердито.
Рядом с Денисовым, также в бурке и папахе, на сытом, крупном донце ехал казачий эсаул – сотрудник Денисова.
Эсаул Ловайский – третий, также в бурке и папахе, был длинный, плоский, как доска, белолицый, белокурый человек, с узкими светлыми глазками и спокойно самодовольным выражением и в лице и в посадке. Хотя и нельзя было сказать, в чем состояла особенность лошади и седока, но при первом взгляде на эсаула и Денисова видно было, что Денисову и мокро и неловко, – что Денисов человек, который сел на лошадь; тогда как, глядя на эсаула, видно было, что ему так же удобно и покойно, как и всегда, и что он не человек, который сел на лошадь, а человек вместе с лошадью одно, увеличенное двойною силою, существо.
Немного впереди их шел насквозь промокший мужичок проводник, в сером кафтане и белом колпаке.
Немного сзади, на худой, тонкой киргизской лошаденке с огромным хвостом и гривой и с продранными в кровь губами, ехал молодой офицер в синей французской шинели.
Рядом с ним ехал гусар, везя за собой на крупе лошади мальчика в французском оборванном мундире и синем колпаке. Мальчик держался красными от холода руками за гусара, пошевеливал, стараясь согреть их, свои босые ноги, и, подняв брови, удивленно оглядывался вокруг себя. Это был взятый утром французский барабанщик.
Сзади, по три, по четыре, по узкой, раскиснувшей и изъезженной лесной дороге, тянулись гусары, потом казаки, кто в бурке, кто во французской шинели, кто в попоне, накинутой на голову. Лошади, и рыжие и гнедые, все казались вороными от струившегося с них дождя. Шеи лошадей казались странно тонкими от смокшихся грив. От лошадей поднимался пар. И одежды, и седла, и поводья – все было мокро, склизко и раскисло, так же как и земля, и опавшие листья, которыми была уложена дорога. Люди сидели нахохлившись, стараясь не шевелиться, чтобы отогревать ту воду, которая пролилась до тела, и не пропускать новую холодную, подтекавшую под сиденья, колени и за шеи. В середине вытянувшихся казаков две фуры на французских и подпряженных в седлах казачьих лошадях громыхали по пням и сучьям и бурчали по наполненным водою колеям дороги.
Лошадь Денисова, обходя лужу, которая была на дороге, потянулась в сторону и толканула его коленкой о дерево.
– Э, чег'т! – злобно вскрикнул Денисов и, оскаливая зубы, плетью раза три ударил лошадь, забрызгав себя и товарищей грязью. Денисов был не в духе: и от дождя и от голода (с утра никто ничего не ел), и главное оттого, что от Долохова до сих пор не было известий и посланный взять языка не возвращался.
«Едва ли выйдет другой такой случай, как нынче, напасть на транспорт. Одному нападать слишком рискованно, а отложить до другого дня – из под носа захватит добычу кто нибудь из больших партизанов», – думал Денисов, беспрестанно взглядывая вперед, думая увидать ожидаемого посланного от Долохова.
Выехав на просеку, по которой видно было далеко направо, Денисов остановился.