Гипероператор

В математике гиперопера́тор — это обобщение арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, на высшие порядки. Гипероператор порядка n с аргументами a и b (обозначаемый a⁽ⁿ⁾b) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка n-1 к последовательности из b одинаковых аргументов, каждый из которых равен a:

• сложение a и b — увеличение числа a на количество единиц, равное b:

<math> a {^{(1)}} b = a + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{b} = a + b</math>

• умножение a на b — сложение числа a с самим собой b раз:: <math> a {^{(2)}} b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b} = a \times b </math>
• возведение a в степень b — умножение числа a на само себя b раз:

<math> a {^{(3)}} b = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{b} = a^b </math>

• ...
• <math> a {^{(n)}} b = \underbrace{a^{(n-1)} a^{(n-1)} \dots a^{(n-1)} a}_{b} </math>

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка n>2 не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных a, b и n ограничиваются целыми неотрицательными числами. Возможные обобщения гипероператоров на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по разному:

• Кнут использует стрелки <math>\uparrow</math>;
• Конвей использует стрелки <math>\to</math>.

<math>a {^{(n)}} b = \textrm{hyper}(a,n,b) = a \uparrow^{n-2} b = a \to b \to (n-2)</math>

Определение

Отвечая на вопрос: «Что будет при продолжении стандартной последовательности математических действий?» сложение (+), умножение (×), возведение в степень (^) и учитывая:

• <math>a + b = 1 + (a + (b - 1))</math>
• <math>a \times b = a + (a \times (b - 1))</math>
• <math>a ^ b = a \times (a ^ {(b - 1)})</math>

рекурсивно определим общую операцию в инфиксной форме:

<math>

 a ^ {(n)} b=
 \left\{
  \begin{matrix}
   b+1, & \mbox{if }n=0 \\
   a, & \mbox{if }n=1,b=0 \\
   0, & \mbox{if }n=2,b=0 \\
   1, & \mbox{if }n\ge 3,b=0 \\
   a ^ {(n-1)} ( a ^ {(n)} (b - 1)) & \mbox{if }n\ge 1,b\ge 1,a\ge 0
  \end{matrix}
 \right.
</math>

Тогда гипероператор определяется как <math>\operatorname{hyper\mathit{n}} (a, b) = a ^ {(n)} b</math> и <math>\operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b</math>

Распишем для первых натуральных четырёх n:

<math>\operatorname{hyper1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 1, b) = a ^ {(1)} b = a+b</math>

<math>\operatorname{hyper2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 2, b) = a ^ {(2)} b = a \times b</math>

<math>\operatorname{hyper3} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 3, b) = a ^ {(3)} b = a^b</math>

<math>{\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a

\uparrow\uparrow b = \atop {\ }} \!\!\!\!\!\!\!{{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop

{b\mbox{ copies of }a}}</math>

Вычисление слева направо

Альтернативная операция может быть получена путём вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с Гипероператором при n<4:

• <math>a+b = (a+(b-1))+1</math>
• <math>a\times b = (a\times (b-1))+a</math>
• <math>a^b = (a^{(b-1)})\times a</math>

См. также

• Возведение в степень
• Суперкорень
• Суперлогарифм

Ссылки

• Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68-73.
• Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1.

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Гипероператор

Княжна Марья предложила графине отпустить с собой Наташу в Москву, и мать и отец радостно согласились на это предложение, с каждым днем замечая упадок физических сил дочери и полагая для нее полезным и перемену места, и помощь московских врачей.
– Я никуда не поеду, – отвечала Наташа, когда ей сделали это предложение, – только, пожалуйста, оставьте меня, – сказала она и выбежала из комнаты, с трудом удерживая слезы не столько горя, сколько досады и озлобления.
После того как она почувствовала себя покинутой княжной Марьей и одинокой в своем горе, Наташа большую часть времени, одна в своей комнате, сидела с ногами в углу дивана, и, что нибудь разрывая или переминая своими тонкими, напряженными пальцами, упорным, неподвижным взглядом смотрела на то, на чем останавливались глаза. Уединение это изнуряло, мучило ее; но оно было для нее необходимо. Как только кто нибудь входил к ней, она быстро вставала, изменяла положение и выражение взгляда и бралась за книгу или шитье, очевидно с нетерпением ожидая ухода того, кто помешал ей.
Ей все казалось, что она вот вот сейчас поймет, проникнет то, на что с страшным, непосильным ей вопросом устремлен был ее душевный взгляд.
В конце декабря, в черном шерстяном платье, с небрежно связанной пучком косой, худая и бледная, Наташа сидела с ногами в углу дивана, напряженно комкая и распуская концы пояса, и смотрела на угол двери.
Она смотрела туда, куда ушел он, на ту сторону жизни. И та сторона жизни, о которой она прежде никогда не думала, которая прежде ей казалась такою далекою, невероятною, теперь была ей ближе и роднее, понятнее, чем эта сторона жизни, в которой все было или пустота и разрушение, или страдание и оскорбление.
Она смотрела туда, где она знала, что был он; но она не могла его видеть иначе, как таким, каким он был здесь. Она видела его опять таким же, каким он был в Мытищах, у Троицы, в Ярославле.
Она видела его лицо, слышала его голос и повторяла его слова и свои слова, сказанные ему, и иногда придумывала за себя и за него новые слова, которые тогда могли бы быть сказаны.
Вот он лежит на кресле в своей бархатной шубке, облокотив голову на худую, бледную руку. Грудь его страшно низка и плечи подняты. Губы твердо сжаты, глаза блестят, и на бледном лбу вспрыгивает и исчезает морщина. Одна нога его чуть заметно быстро дрожит. Наташа знает, что он борется с мучительной болью. «Что такое эта боль? Зачем боль? Что он чувствует? Как у него болит!» – думает Наташа. Он заметил ее вниманье, поднял глаза и, не улыбаясь, стал говорить.
«Одно ужасно, – сказал он, – это связать себя навеки с страдающим человеком. Это вечное мученье». И он испытующим взглядом – Наташа видела теперь этот взгляд – посмотрел на нее. Наташа, как и всегда, ответила тогда прежде, чем успела подумать о том, что она отвечает; она сказала: «Это не может так продолжаться, этого не будет, вы будете здоровы – совсем».
Она теперь сначала видела его и переживала теперь все то, что она чувствовала тогда. Она вспомнила продолжительный, грустный, строгий взгляд его при этих словах и поняла значение упрека и отчаяния этого продолжительного взгляда.
«Я согласилась, – говорила себе теперь Наташа, – что было бы ужасно, если б он остался всегда страдающим. Я сказала это тогда так только потому, что для него это было бы ужасно, а он понял это иначе. Он подумал, что это для меня ужасно бы было. Он тогда еще хотел жить – боялся смерти. И я так грубо, глупо сказала ему. Я не думала этого. Я думала совсем другое. Если бы я сказала то, что думала, я бы сказала: пускай бы он умирал, все время умирал бы перед моими глазами, я была бы счастлива в сравнении с тем, что я теперь. Теперь… Ничего, никого нет. Знал ли он это? Нет. Не знал и никогда не узнает. И теперь никогда, никогда уже нельзя поправить этого». И опять он говорил ей те же слова, но теперь в воображении своем Наташа отвечала ему иначе. Она останавливала его и говорила: «Ужасно для вас, но не для меня. Вы знайте, что мне без вас нет ничего в жизни, и страдать с вами для меня лучшее счастие». И он брал ее руку и жал ее так, как он жал ее в тот страшный вечер, за четыре дня перед смертью. И в воображении своем она говорила ему еще другие нежные, любовные речи, которые она могла бы сказать тогда, которые она говорила теперь. «Я люблю тебя… тебя… люблю, люблю…» – говорила она, судорожно сжимая руки, стискивая зубы с ожесточенным усилием.