Гиперплоскость

Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая (отражаемая уравнением <math> n_1x_1 + n_2x_2 = b </math>), для трёхмерного — плоскость, для четырёхмерного — трёхмерное пространство («трёхмерная плоскость») и т. д.

Уравнение гиперплоскости

Пусть <math>\mathbf{n} \in \R^k</math> — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку <math>\mathbf{X} \in \R^k</math>, имеет вид

<math>(\mathbf{n} ; \mathbf{x}) = (\mathbf{n} ; \mathbf{X})</math>

Здесь <math>(\cdot;\cdot)</math> — скалярное произведение в пространстве <math>\R^k</math>. В частном случае уравнение принимает вид

<math>n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_k x_k = d = n_1 X_1 + n_2 X_2 + \ldots + n_k X_k</math>

Расстояние от точки до гиперплоскости

Пусть <math>\mathbf{n} \in \R^k</math> — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки <math>\mathbf{r} \in \R^k</math> до этой гиперплоскости даётся формулой

<math>\rho = \frac{|(\mathbf{r}-\mathbf{R};\mathbf{n})|}{|\mathbf{n}|}</math>

где <math>\mathbf{R}</math> — произвольная точка гиперплоскости.

См. также

• Гиперповерхность

Отрывок, характеризующий Гиперплоскость

«Какое право он имеет не хотеть принять меня в свое родство? Ах лучше не думать об этом, не думать до его приезда!» сказала она себе и стала оглядывать знакомые и незнакомые лица в партере. Впереди партера, в самой середине, облокотившись спиной к рампе, стоял Долохов с огромной, кверху зачесанной копной курчавых волос, в персидском костюме. Он стоял на самом виду театра, зная, что он обращает на себя внимание всей залы, так же свободно, как будто он стоял в своей комнате. Около него столпившись стояла самая блестящая молодежь Москвы, и он видимо первенствовал между ними.
Граф Илья Андреич, смеясь, подтолкнул краснеющую Соню, указывая ей на прежнего обожателя.
– Узнала? – спросил он. – И откуда он взялся, – обратился граф к Шиншину, – ведь он пропадал куда то?
– Пропадал, – отвечал Шиншин. – На Кавказе был, а там бежал, и, говорят, у какого то владетельного князя был министром в Персии, убил там брата шахова: ну с ума все и сходят московские барыни! Dolochoff le Persan, [Персианин Долохов,] да и кончено. У нас теперь нет слова без Долохова: им клянутся, на него зовут как на стерлядь, – говорил Шиншин. – Долохов, да Курагин Анатоль – всех у нас барынь с ума свели.
В соседний бенуар вошла высокая, красивая дама с огромной косой и очень оголенными, белыми, полными плечами и шеей, на которой была двойная нитка больших жемчугов, и долго усаживалась, шумя своим толстым шелковым платьем.