Гиперсфера
Поделись знанием:
Он пожал плечами. Официант повел молодого человека вниз и вверх по другой лестнице к Петру Кирилловичу.
Пьер так и не успел выбрать себе карьеры в Петербурге и, действительно, был выслан в Москву за буйство. История, которую рассказывали у графа Ростова, была справедлива. Пьер участвовал в связываньи квартального с медведем. Он приехал несколько дней тому назад и остановился, как всегда, в доме своего отца. Хотя он и предполагал, что история его уже известна в Москве, и что дамы, окружающие его отца, всегда недоброжелательные к нему, воспользуются этим случаем, чтобы раздражить графа, он всё таки в день приезда пошел на половину отца. Войдя в гостиную, обычное местопребывание княжен, он поздоровался с дамами, сидевшими за пяльцами и за книгой, которую вслух читала одна из них. Их было три. Старшая, чистоплотная, с длинною талией, строгая девица, та самая, которая выходила к Анне Михайловне, читала; младшие, обе румяные и хорошенькие, отличавшиеся друг от друга только тем, что у одной была родинка над губой, очень красившая ее, шили в пяльцах. Пьер был встречен как мертвец или зачумленный. Старшая княжна прервала чтение и молча посмотрела на него испуганными глазами; младшая, без родинки, приняла точно такое же выражение; самая меньшая, с родинкой, веселого и смешливого характера, нагнулась к пяльцам, чтобы скрыть улыбку, вызванную, вероятно, предстоящею сценой, забавность которой она предвидела. Она притянула вниз шерстинку и нагнулась, будто разбирая узоры и едва удерживаясь от смеха.
– Bonjour, ma cousine, – сказал Пьер. – Vous ne me гесоnnaissez pas? [Здравствуйте, кузина. Вы меня не узнаете?]
– Я слишком хорошо вас узнаю, слишком хорошо.
– Как здоровье графа? Могу я видеть его? – спросил Пьер неловко, как всегда, но не смущаясь.
– Граф страдает и физически и нравственно, и, кажется, вы позаботились о том, чтобы причинить ему побольше нравственных страданий.
– Могу я видеть графа? – повторил Пьер.
– Гм!.. Ежели вы хотите убить его, совсем убить, то можете видеть. Ольга, поди посмотри, готов ли бульон для дяденьки, скоро время, – прибавила она, показывая этим Пьеру, что они заняты и заняты успокоиваньем его отца, тогда как он, очевидно, занят только расстроиванием.
Ольга вышла. Пьер постоял, посмотрел на сестер и, поклонившись, сказал:
– Так я пойду к себе. Когда можно будет, вы мне скажите.
Он вышел, и звонкий, но негромкий смех сестры с родинкой послышался за ним.
На другой день приехал князь Василий и поместился в доме графа. Он призвал к себе Пьера и сказал ему:
– Mon cher, si vous vous conduisez ici, comme a Petersbourg, vous finirez tres mal; c'est tout ce que je vous dis. [Мой милый, если вы будете вести себя здесь, как в Петербурге, вы кончите очень дурно; больше мне нечего вам сказать.] Граф очень, очень болен: тебе совсем не надо его видеть.
С тех пор Пьера не тревожили, и он целый день проводил один наверху, в своей комнате.
В то время как Борис вошел к нему, Пьер ходил по своей комнате, изредка останавливаясь в углах, делая угрожающие жесты к стене, как будто пронзая невидимого врага шпагой, и строго взглядывая сверх очков и затем вновь начиная свою прогулку, проговаривая неясные слова, пожимая плечами и разводя руками.
– L'Angleterre a vecu, [Англии конец,] – проговорил он, нахмуриваясь и указывая на кого то пальцем. – M. Pitt comme traitre a la nation et au droit des gens est condamiene a… [Питт, как изменник нации и народному праву, приговаривается к…] – Он не успел договорить приговора Питту, воображая себя в эту минуту самим Наполеоном и вместе с своим героем уже совершив опасный переезд через Па де Кале и завоевав Лондон, – как увидал входившего к нему молодого, стройного и красивого офицера. Он остановился. Пьер оставил Бориса четырнадцатилетним мальчиком и решительно не помнил его; но, несмотря на то, с свойственною ему быстрою и радушною манерой взял его за руку и дружелюбно улыбнулся.
– Вы меня помните? – спокойно, с приятной улыбкой сказал Борис. – Я с матушкой приехал к графу, но он, кажется, не совсем здоров.
– Да, кажется, нездоров. Его всё тревожат, – отвечал Пьер, стараясь вспомнить, кто этот молодой человек.
Борис чувствовал, что Пьер не узнает его, но не считал нужным называть себя и, не испытывая ни малейшего смущения, смотрел ему прямо в глаза.
– Граф Ростов просил вас нынче приехать к нему обедать, – сказал он после довольно долгого и неловкого для Пьера молчания.
– А! Граф Ростов! – радостно заговорил Пьер. – Так вы его сын, Илья. Я, можете себе представить, в первую минуту не узнал вас. Помните, как мы на Воробьевы горы ездили c m me Jacquot… [мадам Жако…] давно.
– Вы ошибаетесь, – неторопливо, с смелою и несколько насмешливою улыбкой проговорил Борис. – Я Борис, сын княгини Анны Михайловны Друбецкой. Ростова отца зовут Ильей, а сына – Николаем. И я m me Jacquot никакой не знал.
Пьер замахал руками и головой, как будто комары или пчелы напали на него.
– Ах, ну что это! я всё спутал. В Москве столько родных! Вы Борис…да. Ну вот мы с вами и договорились. Ну, что вы думаете о булонской экспедиции? Ведь англичанам плохо придется, ежели только Наполеон переправится через канал? Я думаю, что экспедиция очень возможна. Вилльнев бы не оплошал!
Гиперсфера — гиперповерхность в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.
- при <math>n = 1</math> гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
- при <math>n = 2</math> она представляет собой окружность;
- при <math>n = 3</math> гиперсфера является сферой.
- при <math>n = 4</math> гиперсфера является 3-сферой.
Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является <math>(n-1)</math>-мерным подмногообразием в <math>n</math>-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.
Содержание
Уравнения
Гиперсфера радиуса <math>R</math> с центром в точке <math>a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\}</math> задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:
- <math>(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2</math>
Гиперсферические координаты
Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
- <math>x = \rho \cdot \cos \alpha</math>
- <math>y = \rho \cdot \sin \alpha</math>
а сферические координаты так:
- <math>x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta</math>
- <math>y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta</math>
- <math>z = \rho \cdot \cos \beta</math>
n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:
- <math>x_1 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
- <math>x_2 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
- <math>x_3 = \rho \cdot \cos \alpha_2 \cdot \sin \alpha_3 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
- <math>\dots</math>
- <math>x_n = \rho \cdot \cos \alpha_{n-1}</math>
Якобиан этого преобразования равен
- <math>J = \rho^{n-1} \sin\,\alpha_2 \cdot \sin^2\,\alpha_3 \cdot \dots \cdot \sin^{n-2}\,\alpha_{n-1}</math>
Площадь и объём
Площадь поверхности <math>S_{n}</math> гиперсферы размерности <math>n</math> и объём <math>V_n</math>, ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам[1][2]:
- <math>S_{n} = n C_n R^{n-1}</math>
- <math> V_n = C_n R^n \ </math>
где
- <math>C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\Gamma({n\over 2}+1)}</math>
а <math>\Gamma(x)</math> — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:
- <math>C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}</math>
- <math>C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}</math>
Здесь <math>n!!</math> — двойной факториал.
Так как
- <math>V_n / S_{n-1} = R / n</math>
- <math>S_{n+1}/V_n = 2\pi R</math>
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
- <math>V_n = \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}</math>
Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для <math> S_{6} </math> и <math> V_{5} </math>, соответственно.
| Размерность | 1 (длина) | 2 (площадь) | 3 (объём) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Единичная
сфера |
<math> 2 \pi </math> | <math> 4 \pi </math> | <math> 2 \pi^2 </math> | <math> \frac{8}{3} \pi^2 </math> | <math> \pi^3 </math> | <math> \frac{16}{15} \pi^3 </math> | <math> \frac{1}{3} \pi^4 </math> | <math> \frac{32}{105} \pi^4 </math> |
| Десятичная
запись |
6.2832 | 12.5664 | 19.7392 | 26.3189 | 31.0063 | 33.0734 | 32.4697 | 29.6866 |
| Единичный
шар |
<math> 2 </math> | <math> \pi </math> | <math> \frac{4}{3} \pi </math> | <math> \frac{1}{2} \pi^2 </math> | <math> \frac{8}{15} \pi^2 </math> | <math> \frac{1}{6} \pi^3 </math> | <math> \frac{16}{105} \pi^3 </math> | <math> \frac{1}{24} \pi^4 </math> |
| Десятичная
запись |
2.0000 | 3.1416 | 4.1888 | 4.9348 | 5.2638 | 5.1677 | 4.7248 | 4.0587 |
Обратите внимание, что в строке "размерность" таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится.
Топология гиперсферы
В данном разделе под сферой <math>S_n</math> будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром <math>B_n</math> — n-мерный гипершар, то есть <math>S_n \hookrightarrow \R^{n+1}</math>, <math>B_n \hookrightarrow \R^n</math>.
- Сфера <math>S_n</math> гомеоморфна факторизации шара <math>B_{n}</math> по его границе.
- Шар <math>B_n</math> гомеоморфен факторизации <math>B_n \simeq (S_{n-1} \times [0,1]) / (S_{n-1} \times \{1\})</math>.
- Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных <math>B_0 = \mathrm{pt}</math> и <math>B_n</math>. Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая <math>S_n</math> вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные <math>B_n</math>, и сферу <math>S_{n-1}</math>, являющуюся их общей границей.
Напишите отзыв о статье "Гиперсфера"
Примечания
- ↑ Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
- ↑ Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса
См. также
Ссылки
- [www.damateur.narod.ru/pages/4_Models4D/5_ApproximationGiperSphere.htm Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов]
- [www.superliminal.com/cube/cube.htm Тренажер для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях]
| ||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Гиперсфера
– Напротив, – сказал князь, видимо сделавшийся не в духе. – Je serais tres content si vous me debarrassez de ce jeune homme… [Я был бы очень рад, если бы вы меня избавили от этого молодого человека…] Сидит тут. Граф ни разу не спросил про него.Он пожал плечами. Официант повел молодого человека вниз и вверх по другой лестнице к Петру Кирилловичу.
Пьер так и не успел выбрать себе карьеры в Петербурге и, действительно, был выслан в Москву за буйство. История, которую рассказывали у графа Ростова, была справедлива. Пьер участвовал в связываньи квартального с медведем. Он приехал несколько дней тому назад и остановился, как всегда, в доме своего отца. Хотя он и предполагал, что история его уже известна в Москве, и что дамы, окружающие его отца, всегда недоброжелательные к нему, воспользуются этим случаем, чтобы раздражить графа, он всё таки в день приезда пошел на половину отца. Войдя в гостиную, обычное местопребывание княжен, он поздоровался с дамами, сидевшими за пяльцами и за книгой, которую вслух читала одна из них. Их было три. Старшая, чистоплотная, с длинною талией, строгая девица, та самая, которая выходила к Анне Михайловне, читала; младшие, обе румяные и хорошенькие, отличавшиеся друг от друга только тем, что у одной была родинка над губой, очень красившая ее, шили в пяльцах. Пьер был встречен как мертвец или зачумленный. Старшая княжна прервала чтение и молча посмотрела на него испуганными глазами; младшая, без родинки, приняла точно такое же выражение; самая меньшая, с родинкой, веселого и смешливого характера, нагнулась к пяльцам, чтобы скрыть улыбку, вызванную, вероятно, предстоящею сценой, забавность которой она предвидела. Она притянула вниз шерстинку и нагнулась, будто разбирая узоры и едва удерживаясь от смеха.
– Bonjour, ma cousine, – сказал Пьер. – Vous ne me гесоnnaissez pas? [Здравствуйте, кузина. Вы меня не узнаете?]
– Я слишком хорошо вас узнаю, слишком хорошо.
– Как здоровье графа? Могу я видеть его? – спросил Пьер неловко, как всегда, но не смущаясь.
– Граф страдает и физически и нравственно, и, кажется, вы позаботились о том, чтобы причинить ему побольше нравственных страданий.
– Могу я видеть графа? – повторил Пьер.
– Гм!.. Ежели вы хотите убить его, совсем убить, то можете видеть. Ольга, поди посмотри, готов ли бульон для дяденьки, скоро время, – прибавила она, показывая этим Пьеру, что они заняты и заняты успокоиваньем его отца, тогда как он, очевидно, занят только расстроиванием.
Ольга вышла. Пьер постоял, посмотрел на сестер и, поклонившись, сказал:
– Так я пойду к себе. Когда можно будет, вы мне скажите.
Он вышел, и звонкий, но негромкий смех сестры с родинкой послышался за ним.
На другой день приехал князь Василий и поместился в доме графа. Он призвал к себе Пьера и сказал ему:
– Mon cher, si vous vous conduisez ici, comme a Petersbourg, vous finirez tres mal; c'est tout ce que je vous dis. [Мой милый, если вы будете вести себя здесь, как в Петербурге, вы кончите очень дурно; больше мне нечего вам сказать.] Граф очень, очень болен: тебе совсем не надо его видеть.
С тех пор Пьера не тревожили, и он целый день проводил один наверху, в своей комнате.
В то время как Борис вошел к нему, Пьер ходил по своей комнате, изредка останавливаясь в углах, делая угрожающие жесты к стене, как будто пронзая невидимого врага шпагой, и строго взглядывая сверх очков и затем вновь начиная свою прогулку, проговаривая неясные слова, пожимая плечами и разводя руками.
– L'Angleterre a vecu, [Англии конец,] – проговорил он, нахмуриваясь и указывая на кого то пальцем. – M. Pitt comme traitre a la nation et au droit des gens est condamiene a… [Питт, как изменник нации и народному праву, приговаривается к…] – Он не успел договорить приговора Питту, воображая себя в эту минуту самим Наполеоном и вместе с своим героем уже совершив опасный переезд через Па де Кале и завоевав Лондон, – как увидал входившего к нему молодого, стройного и красивого офицера. Он остановился. Пьер оставил Бориса четырнадцатилетним мальчиком и решительно не помнил его; но, несмотря на то, с свойственною ему быстрою и радушною манерой взял его за руку и дружелюбно улыбнулся.
– Вы меня помните? – спокойно, с приятной улыбкой сказал Борис. – Я с матушкой приехал к графу, но он, кажется, не совсем здоров.
– Да, кажется, нездоров. Его всё тревожат, – отвечал Пьер, стараясь вспомнить, кто этот молодой человек.
Борис чувствовал, что Пьер не узнает его, но не считал нужным называть себя и, не испытывая ни малейшего смущения, смотрел ему прямо в глаза.
– Граф Ростов просил вас нынче приехать к нему обедать, – сказал он после довольно долгого и неловкого для Пьера молчания.
– А! Граф Ростов! – радостно заговорил Пьер. – Так вы его сын, Илья. Я, можете себе представить, в первую минуту не узнал вас. Помните, как мы на Воробьевы горы ездили c m me Jacquot… [мадам Жако…] давно.
– Вы ошибаетесь, – неторопливо, с смелою и несколько насмешливою улыбкой проговорил Борис. – Я Борис, сын княгини Анны Михайловны Друбецкой. Ростова отца зовут Ильей, а сына – Николаем. И я m me Jacquot никакой не знал.
Пьер замахал руками и головой, как будто комары или пчелы напали на него.
– Ах, ну что это! я всё спутал. В Москве столько родных! Вы Борис…да. Ну вот мы с вами и договорились. Ну, что вы думаете о булонской экспедиции? Ведь англичанам плохо придется, ежели только Наполеон переправится через канал? Я думаю, что экспедиция очень возможна. Вилльнев бы не оплошал!
