Гипотеза Тёрстона

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Теорема геометризации утверждает, что замкнутое ориентируемое трёхмерное многообразие, в котором любая вложенная сфера ограничивает шар, разрезается несжимающимися торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных геометрий.

Теорема геометризации для трёхмерных многообразий является аналогом теоремы униформизации (англ.) для поверхностей. Она была предложена в виде гипотезы Уильямом Тёрстоном в 1982, и обобщает другие гипотезы, например, гипотезу Пуанкаре и гипотезу эллиптизации Тёрстона (англ.).

Используя поток Риччи, в 2002 году Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и, в частности, доказать гипотезу Пуанкаре.

Напишите отзыв о статье "Гипотеза Тёрстона"



Литература

  • Скотт П. (Scott) Геометрии на трехмерных многообразиях. Мат.НЗН 39, Мир, 1986.
  • Тёрстон Трехмерная геометрия и топология. М., МЦНМО, 2001.
  • L. Bessieres, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot, J. Porti, 'Geometrisation of 3-manifolds', EMS Tracts in Mathematics, volume 13. European Mathematical Society, Zurich, 2010. [www-fourier.ujf-grenoble.fr/~lbessier/book.pdf]
  • M. Boileau [citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.106.8849&rep=rep1&type=pdf Geometrization of 3-manifolds with symmetries]
  • F. Bonahon Geometric structures on 3-manifolds Handbook of Geometric Topology (2002) Elsevier.
  • Allen Hatcher: [www.math.cornell.edu/~hatcher/3M/3M.pdf Notes on Basic 3-Manifold Topology] 2000
  • J. Isenberg, M. Jackson, Ricci flow of locally homogeneous geometries on a Riemannian manifold, J. Diff. Geom. 35 (1992) no. 3 723—741.
  • G. Perelman, [arxiv.org/abs/math.DG/0211159 The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications], 2002
  • G. Perelman, [arxiv.org/abs/math.DG/0303109 Ricci flow with surgery on three-manifolds], 2003
  • G. Perelman, [arxiv.org/abs/math.DG/0307245 Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds], 2003
  • Bruce Kleiner and John Lott, [arxiv.org/abs/math.DG/0605667 Notes on Perelman’s Papers] (May 2006) (fills in the details of Perelman’s proof of the geometrization conjecture).
  • Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping (June 2006). «[www.intlpress.com/AJM/p/2006/10_2/AJM-10-2-165-492-Abstract.php A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures: Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow]» (PDF). Asian Journal of Mathematics 10 (2): 165–498. Проверено 2006-07-31. Revised version (December 2006): [arxiv.org/abs/math.DG/0612069 Hamilton-Perelman’s Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture]
  • John W. Morgan. [www.ams.org/bull/2005-42-01/S0273-0979-04-01045-6/S0273-0979-04-01045-6.pdf Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds.] Bulletin Amer. Math. Soc. 42 (2005) no. 1, 57-78 (expository article explains the eight geometries and geometrization conjecture briefly, and gives an outline of Perelman’s proof of the Poincaré conjecture)
  • [www.ams.org/bookstore-getitem/item=ulect-53 Ricci Flow and Geometrization of 3-Manifolds]. — 2010. — ISBN 978-0-8218-4963-7.
  • Scott, Peter [www.math.lsa.umich.edu/~pscott/8geoms.pdf The geometries of 3-manifolds.] ([www.math.lsa.umich.edu/~pscott/errata8geoms.pdf errata]) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), no. 5, 401—487.
  • (1982) «Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry». American Mathematical Society. Bulletin. New Series 6 (3): 357–381. DOI:10.1090/S0273-0979-1982-15003-0. ISSN [worldcat.org/issn/0002-9904 0002-9904]. This gives the original statement of the conjecture.
  • William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5 (in depth explanation of the eight geometries and the proof that there are only eight)
  • William Thurston. [www.msri.org/publications/books/gt3m/ The Geometry and Topology of Three-Manifolds], 1980 Princeton lecture notes on geometric structures on 3-manifolds.


Отрывок, характеризующий Гипотеза Тёрстона

– Виновата с, – сказала горничная.
– Попросите ко мне графа.
Граф, переваливаясь, подошел к жене с несколько виноватым видом, как и всегда.
– Ну, графинюшка! Какое saute au madere [сотэ на мадере] из рябчиков будет, ma chere! Я попробовал; не даром я за Тараску тысячу рублей дал. Стоит!
Он сел подле жены, облокотив молодецки руки на колена и взъерошивая седые волосы.
– Что прикажете, графинюшка?
– Вот что, мой друг, – что это у тебя запачкано здесь? – сказала она, указывая на жилет. – Это сотэ, верно, – прибавила она улыбаясь. – Вот что, граф: мне денег нужно.
Лицо ее стало печально.
– Ах, графинюшка!…
И граф засуетился, доставая бумажник.
– Мне много надо, граф, мне пятьсот рублей надо.
И она, достав батистовый платок, терла им жилет мужа.
– Сейчас, сейчас. Эй, кто там? – крикнул он таким голосом, каким кричат только люди, уверенные, что те, кого они кличут, стремглав бросятся на их зов. – Послать ко мне Митеньку!
Митенька, тот дворянский сын, воспитанный у графа, который теперь заведывал всеми его делами, тихими шагами вошел в комнату.
– Вот что, мой милый, – сказал граф вошедшему почтительному молодому человеку. – Принеси ты мне… – он задумался. – Да, 700 рублей, да. Да смотри, таких рваных и грязных, как тот раз, не приноси, а хороших, для графини.
– Да, Митенька, пожалуйста, чтоб чистенькие, – сказала графиня, грустно вздыхая.
– Ваше сиятельство, когда прикажете доставить? – сказал Митенька. – Изволите знать, что… Впрочем, не извольте беспокоиться, – прибавил он, заметив, как граф уже начал тяжело и часто дышать, что всегда было признаком начинавшегося гнева. – Я было и запамятовал… Сию минуту прикажете доставить?
– Да, да, то то, принеси. Вот графине отдай.
– Экое золото у меня этот Митенька, – прибавил граф улыбаясь, когда молодой человек вышел. – Нет того, чтобы нельзя. Я же этого терпеть не могу. Всё можно.
– Ах, деньги, граф, деньги, сколько от них горя на свете! – сказала графиня. – А эти деньги мне очень нужны.
– Вы, графинюшка, мотовка известная, – проговорил граф и, поцеловав у жены руку, ушел опять в кабинет.
Когда Анна Михайловна вернулась опять от Безухого, у графини лежали уже деньги, всё новенькими бумажками, под платком на столике, и Анна Михайловна заметила, что графиня чем то растревожена.
– Ну, что, мой друг? – спросила графиня.
– Ах, в каком он ужасном положении! Его узнать нельзя, он так плох, так плох; я минутку побыла и двух слов не сказала…
– Annette, ради Бога, не откажи мне, – сказала вдруг графиня, краснея, что так странно было при ее немолодом, худом и важном лице, доставая из под платка деньги.
Анна Михайловна мгновенно поняла, в чем дело, и уж нагнулась, чтобы в должную минуту ловко обнять графиню.
– Вот Борису от меня, на шитье мундира…
Анна Михайловна уж обнимала ее и плакала. Графиня плакала тоже. Плакали они о том, что они дружны; и о том, что они добры; и о том, что они, подруги молодости, заняты таким низким предметом – деньгами; и о том, что молодость их прошла… Но слезы обеих были приятны…


Графиня Ростова с дочерьми и уже с большим числом гостей сидела в гостиной. Граф провел гостей мужчин в кабинет, предлагая им свою охотницкую коллекцию турецких трубок. Изредка он выходил и спрашивал: не приехала ли? Ждали Марью Дмитриевну Ахросимову, прозванную в обществе le terrible dragon, [страшный дракон,] даму знаменитую не богатством, не почестями, но прямотой ума и откровенною простотой обращения. Марью Дмитриевну знала царская фамилия, знала вся Москва и весь Петербург, и оба города, удивляясь ей, втихомолку посмеивались над ее грубостью, рассказывали про нее анекдоты; тем не менее все без исключения уважали и боялись ее.