Гипоциклоида

Гипоцикло́ида (от греческих слов ὑπό — под, внизу и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения

Параметрические уравнения:

<math>\begin{cases}x = r(k-1) \left( \cos t+ \frac{\cos((k-1)t)}{k-1} \right)\\ y = r (k-1) \left( \sin t- \frac{\sin((k-1)t)}{k-1} \right)\end{cases}</math>

где <math>\textstyle k=\frac{R}{r}</math>, где <math>R</math> — радиус неподвижной окружности, <math>r</math> — радиус катящейся окружности.

Вывод уравнений   Пусть в начальный момент окружности касаются в точке <math>A</math>, лежащей на оси <math>OX</math>, где точка <math>O</math> - центр большой окружности. Координаты точки <math>A</math> при этом - <math>(kr, 0)</math>, где <math>k=\frac{R}{r}</math>. Рассмотрим, как меняются координаты точки <math>A</math>, привязанной к катящейся окружности (<math>A</math> переходит в <math>A'</math>). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки <math>C'</math> в точку <math>C'</math> и повернулся относительно точки <math>O</math> на угол <math>t</math>. Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между <math>CA</math> и <math>C'A'</math>) равен <math>t - kt = -(k-1)t</math>. Во-вторых, координаты точки <math>C'</math> будут такими: <math>(cos(t)(k-1)r, sin(t)(k-1)r)</math>. Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки <math>A'</math>: <math>\begin{cases} x= cos(t)(k-1)r + cos((k-1)t)r\\ y= sin(t)(k-1)r - sin((k-1)t)r \end{cases}</math>

Модуль величины <math>k</math> определяет форму гипоциклоиды. При <math>k=2</math> гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности, при <math>k=4</math> является астроидой. Если модуль <math>k</math> — несократимая дробь вида <math>\frac{m}{n}</math> (<math>m,n \in \mathbb{N}</math>), то <math>m</math> — это количество каспов данной гипоциклоиды, а <math>n</math> — количество полных вращений катящейся окружности. Если модуль <math>k</math> иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

Примеры гипоциклоид

• HypocycloidK3.gif

  <math>k=3</math> — Дельтоида
  

• HypocycloidK1,5.gif

  <math>k=1.5=\frac{3}{2}</math>
  

• HypocycloidK4.gif

  <math>k=4</math> — Астроида
  

• HypocycloidK1,33.gif

  <math>k=\frac{4}{3}</math>
  

• HypocycloidK5.gif

  <math>k=5</math>
  

• HypocycloidK6.gif

  <math>k=6</math>
  

• HypocycloidK5,5.gif

  <math>k=5.5=\frac{11}{2}</math>
  

• HypocycloidK1,66.gif

  <math>k=\frac{5}{3}</math>
  

• HypocycloidK3,6.gif

  <math>k=3.6=\frac{18}{5}</math>
  

См. также

• Циклоида
• Эпициклоида
• Гипотрохоида