Дифференциальная геометрия кривых

Дифференциальная геометрия кривых — раздел дифференциальной геометрии, который занимается исследованием гладких пространственных и плоских кривых в евклидовом пространстве аналитическими методами.

Способы задания кривой

Наиболее общий способ задать уравнение пространственной кривой — параметрический:

1

где <math>x(t),\ y(t),\ z(t)</math> — гладкие функции параметра <math>t</math>, причем <math>(x')^2+(y')^2+(z')^2 \ > 0</math> (условие регулярности).

Часто удобно использовать инвариантную и компактную запись уравнения кривой с помощью вектор-функции:

<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)</math>,

где в левой части стоит радиус-вектор точек кривой, а правая определяет его зависимость от некоторого параметра <math>t</math>. Раскрыв эту запись в координатах, мы получаем формулу (1).

В зависимости от свойств дифференцируемости функций <math>x(t),\ y(t),\ z(t)</math>, задающих кривую, говорят о степени гладкости (регулярности) кривой. Кривая называется регулярной, если для любой её точки, при подходящем выборе прямоугольной декартовой системы координат <math>x,\ y,\ z</math>, она допускает в окрестности этой точки задание уравнениями вида:

<math>y=y(x),\ z=z(x) </math>,

где <math>y(x)\ </math> и <math>z(x)\ </math> — дифференцируемые функции.

Для того чтобы точка кривой, заданной общим уравнением (1), была обыкновенной (не особой точкой), достаточно, чтобы в этой точке выполнялось нижеуказанное неравенство

<math>(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2} \ > 0.</math>

Дифференциальная геометрия рассматривает также кусочно-гладкие кривые, которые состоят из гладких участков, разделённых особыми точками. В особых точках определяющие функции либо не удовлетворяют условиям регулярности, либо вообще не дифференцируемы.

Плоские кривые

Важный класс кривых представляют плоские кривые, то есть кривые, лежащие в плоскости. Плоскую кривую также можно задать параметрически, первыми двумя из трёх уравнений (1). Другие способы:

• Явное задание: <math>y=f(x)\ </math>.
• Неявное задание: <math>F(x,\ y) = 0</math>.

Функции <math>f,\ F</math> предполагаются непрерывно дифференцируемыми. При неявном задании точка кривой будет обыкновенной, если в её окрестности функция <math>F(x,y)\ </math> имеет непрерывные частные производные <math>F_x',\ F_y'</math>, не равные нулю одновременно.

Приведём примеры особых точек для плоских кривых.

• Полукубическая парабола: <math>x = t^2;\ \ y = at^3.</math> Обе производные равны нулю в начале координат. Это особая точка (точка возврата первого рода), в ней вектор касательной скачкообразно меняет направление на противоположное.
• Уравнение <math>(x-1)(x^2+y^2)\ = 0</math> определяет кривую, состоящую из прямой <math>x=1\ </math> и изолированной особой точки в начале координат.

• Лемниската Бернулли — особая точка при самопересечении. В особой точке функция дифференцируема, однако условие регулярности нарушено.

Соприкосновение

Ряд основных понятий теории кривых вводится с помощью понятия соприкосновения множеств,которое состоит в следующем. Пусть <math>M</math> и <math>m</math> — два множества с общей точкой <math>O</math>. Говорят, что множество <math>M</math> имеет с <math>m</math> в точке <math>O</math> соприкосновение порядка <math>\alpha \geqslant 1</math>, если

<math>\frac{\delta (X) }{ \left| X O \right|^{\alpha}} \to 0</math> при <math>X \to O</math>,

где <math>\delta (X) </math> — расстояние точки <math>X</math> множества <math>M</math> от <math>m</math>.

В применении к кривым это означает следующее: две кривые в общей точке имеют степень касания не ниже k-го порядка, если их производные в общей точке, до k-го порядка включительно, совпадают.

Касательная

Если в качестве <math>M</math> взять кривую, а в качестве <math>m</math> прямую, проходящую через точку <math>O</math> кривой, то при <math>\alpha \geqslant 1</math> условие соприкосновения определяет касательную к кривой в точке <math>O</math> (рис. 1). Касательная в точке <math>P</math> кривой также может быть определена как предельное положение секущей, проходящей через <math>P</math> и близкую к ней точку <math>P_1</math>, когда <math>P_1</math> стремится к <math>P</math>.

Гладкая регулярная кривая в каждой точке имеет определённую касательную. Направление касательной в точке <math>t_0</math> кривой, задаваемой уравнениями (1), совпадает с направлением вектора <math>\{ x'(t_0),\ y'(t_0),\ z'(t_0) \}</math>. В векторной записи это производная <math>\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t_0)</math>.

В дифференциальной геометрии выводятся уравнения касательной для различных способов аналитического задания кривой. В частности, для кривой, задаваемой уравнениями (1), уравнения касательной в точке, отвечающей значению параметра <math>t_0</math>, будут

<math>\frac{X-x_0}{x_0'} = \frac{Y-y_0}{y_0'} = \frac{Z-z_0}{z_0'}</math>,

где индекс <math>{}_0\ </math> указывает на значение функций <math>x, y, z\ </math> и их производных в точке <math>t_0\ </math>.

Для плоской кривой уравнение касательной в точке <math>(x_0,\ y_0)</math> имеет следующий вид.

• Параметрическое задание: <math>Y = y_0 + \frac{y_0'}{x_0'} (X-x_0)</math>
• Явное задание: <math>Y = y_0 + f_0'(X-x_0)\ </math>
• Неявное задание: <math>Y = y_0 -\frac{(F_x')_0}{(F_y')_0} (X-x_0)</math>

Соприкасающаяся плоскость и нормали

Если взять в качестве <math>m</math> плоскость, проходящую через точку <math>O</math> кривой <math>M</math>, то условие соприкосновения при <math>\alpha \geqslant 2 </math> определяет соприкасающуюся плоскость кривой (рис. 1). Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке имеет соприкасающуюся плоскость. Она либо единственная, либо любая плоскость, проходящая через касательную кривой, является соприкасающейся.

Пусть <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)</math> — уравнение кривой. Тогда уравнение <math>\mathbf{R} = \mathbf{R}(X, Y, Z)</math> её соприкасающейся плоскости определяется из соотношения:

<math>(\mathbf{R} - \mathbf{r}, \mathbf{r}', \mathbf{r}) = 0</math>

В координатах оно имеет вид:

<math>\begin{vmatrix} X-x & Y-y & Z-z \\ x' & y' & z' \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0 </math>

Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Плоскость, перпендикулярная касательной в данной точке кривой, называется нормальной плоскостью; все нормали для данной точки лежат в нормальной плоскости. Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Также нормалью и бинормалью для краткости могут называть единичные векторы вдоль этих прямых (при этом направление вектора главной нормали обычно выбирают совпадающим с направлением вектора кривизны кривой).

Векторное уравнение бинормали в точке, отвечающей значению <math>t_0</math> параметра <math>t</math>, имеет вид:

<math>\boldsymbol{r}(\lambda)=\boldsymbol{r}(t_0)+\lambda [\boldsymbol{r}'(t_0),~\boldsymbol{r}(t_0)].</math>

Направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: <math>[\mathbf{r}', \ [\mathbf{r}', \ \mathbf{r}]]</math>.

Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке <math>(x_0,\ y_0)</math> имеет следующий вид.

• Параметрическое задание: <math>Y = y_0 - \frac{x_0'}{y_0'} (X-x_0)</math>
• Явное задание: <math>Y = y_0 - \frac{X-x_0}{f_0'}</math>
• Неявное задание: <math>Y = y_0 + \frac{(F_y')_0}{(F_x')_0} (X-x_0)</math>

Соприкасающаяся окружность

Окружность, соприкасающаяся с кривой в заданной точке <math>P</math>, имеет с кривой соприкосновение порядка <math>\alpha \geqslant 2</math> (рис. 2). Она существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной (см. ниже) и является также пределом окружности, проходящей через <math>P</math> и две близкие к ней точки <math>P_1,\ P_2</math>, когда <math>P_1,\ P_2</math> стремятся к <math>P</math>.

Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус — радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне (см. ниже). Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой. Кривая, ортогонально пересекающая касательные кривой, называется эвольвентой. Построение эволюты и эвольвенты — взаимно обратные операции, то есть для эвольвенты данной кривой эволютой является сама кривая.

Длина дуги кривой

Для измерения длины участка (дуги) произвольной кривой эта кривая заменяется ломаной, содержащей точки кривой как точки излома, и максимум суммы длин всех таких ломаных принимается за длину кривой (рис. 3). В инвариантном виде формула для вычисления длины дуги (спрямления кривой) имеет вид:

<math>s=\int\limits_{t_1}^{t_2}|\mathbf{r'}(t)|\, dt</math>

То же в декартовых координатах:

<math>s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt { (x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2 }\, dt. </math>

В полярных координатах для плоской кривой:

<math>s = \int\limits_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta.</math>

Параметризация

Кривая допускает бесчисленное множество различных способов параметрического задания уравнениями вида (1). Среди них особое значение имеет так называемая естественная параметризация, когда параметром служит длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки.

Среди преимуществ такой параметризации:

1. <math>\mathbf{r}'</math> имеет единичную длину и поэтому совпадает с ортом касательной.
2. <math>\mathbf{r}</math> по длине совпадает с кривизной, а по направлению — с главной нормалью.

Кривизна

При движении вдоль кривой её касательная меняет направление. Скорость этого вращения (отношение угла поворота касательной за бесконечно малый промежуток времени к этому промежутку) при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой называется кривизной кривой. Производная же по времени положительного единичного вектора касательной называется в этом случае вектором кривизны кривой. То и другое - функции точки кривой. Кривизна есть абсолютная величина вектора кривизны.

В случае произвольного параметрического задания кривой кривизна кривой в трехмерном пространстве определяется по формуле

<math>k_1 = \frac{\left| [\mathbf{r}'(t),\ \mathbf{r} (t)] \right|}{\left| \mathbf{r}' (t) \right|^3}</math>,

где <math>\mathbf{r}(t)</math> — вектор-функция с координатами <math>x(t),\ y(t),\ z(t)</math>.

В координатах:

<math>k_1=\frac{\sqrt{(zy'-yz')^2+(xz'-zx')^2+(yx'-xy')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}</math>

Для кривой в более многомерном пространстве можно заменить векторное произведение, обозначенное здесь квадратными скобками, на внешнее произведение.

Также для кривой в пространстве любой размерности можно воспользоваться формулой вектора кривизны:

<math>\mathbf k = \frac{d\mathbf \tau}{dl} </math>

и фактом, что кривизна есть его модуль, а также выражением для единичного вектора касательной

<math>\mathbf \tau = \frac{d\mathbf r}{dl} = \frac{r'}{|r'|} </math>

и

<math> dl = |\mathbf r'| dt, </math>

и получить для кривизны формулу:

<math> k = \left|\frac{1}{|\mathbf r'|} \left(\frac{\mathbf r'}{|\mathbf r'|}\right)'\right|,</math>

или, раскрыв скобки:

<math> k = \left|\frac{\mathbf r}{(\mathbf r')^2} - \mathbf r' \frac{(\mathbf r,\mathbf r')}{(\mathbf r')^4}\right|.</math>

Прямые и только прямые имеют всюду равную нулю кривизну. Поэтому кривизна наглядно показывает, насколько (в данной точке) кривая отличается от прямой линии: чем ближе кривизна к нулю, тем это отличие меньше. Кривизна окружности радиуса R равна 1/R.

Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет единственную соприкасающуюся плоскость.

Для плоских кривых можно различать направление вращения касательной при движении вдоль кривой, поэтому кривизне можно приписывать знак в зависимости от направления этого вращения. Кривизна плоской кривой, задаваемой уравнениями <math>x=x(t),\ y=y(t)</math>, определяется по формуле

<math>k= \pm \frac{yx'-xy'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}</math>.

Знак <math>+</math> или <math>-</math> берётся по соглашению, но сохраняется вдоль всей кривой.

Кручение

При движении вдоль кривой в окрестности заданной точки соприкасающаяся плоскость вращается, причём касательная к кривой является мгновенной осью этого вращения. Скорость вращения соприкасающейся плоскости при равномерном, с единичной скоростью, движении называется кручением. Направление вращения определяет знак кручения.

Трижды дифференцируемая кривая в каждой точке с отличной от нуля кривизной имеет определённое кручение. В случае параметрического задания кривой уравнениями (1) кручение кривой определяется по формуле

<math>k_2 = \frac{( \mathbf{r}', \mathbf{r}, \mathbf{r} )}{ \left| [\mathbf{r}', \ \mathbf{r}] \right|^2},</math>

здесь <math>(*,*,*)</math> обозначает смешанное произведение. В координатах для натуральной параметризации:

<math>k_2 = \frac{x(y'z-yz') + y(xz'-x'z) + z(x'y-xy')}{(y'z-yz')^2 + (xz'-x'z)^2 + (x'y-xy')^2}.</math>

Для прямой кручение не определено, поскольку неоднозначно определяется соприкасающаяся плоскость. Плоская кривая в каждой точке имеет кручение, равное нулю. Обратно, кривая с тождественно равным нулю кручением — плоская.

Формулы Френе

Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником (трёхгранником Френе, см. рис. 4). Соприкасающаяся и нормальная плоскости уже упоминались; третья плоскость, содержащая касательную и бинормаль, называется спрямляющей.

Если рёбра естественного трёхгранника в данной точке кривой принять за оси прямоугольной декартовой системы координат, то уравнение кривой в естественной параметризации раскладывается в окрестности этой точки в ряд по координате вдоль кривой:

<math>x=s + \dots, y=\frac{k_1}{2} s^2 + \dots, z = - \frac{k_1 k_2}{6} s^3 + \dots ...,</math>

где <math>k_1\ </math> и <math>k_2\ </math> — кривизна и кручение кривой в указанной точке.

Единичные векторы <math>\boldsymbol{\vec t},\ \boldsymbol{\vec n},\ \boldsymbol{\vec b}</math>, соответственно для касательной, главной нормали и бинормали кривой, при движении вдоль кривой изменяются. При соответствующем выборе направления этих векторов из определения кривизны и кручения получаются формулы:

<math>\frac{d\boldsymbol{\vec t

{ds} = k_1 \boldsymbol{\vec n}</math>|(2)}}

<math>\frac{d\boldsymbol{\vec n

{ds} = - k_1 \boldsymbol{\vec t} + k_2 \boldsymbol{\vec b} \qquad </math>}}

<math>\frac{d\boldsymbol{\vec b

{ds} = - k_2 \boldsymbol{\vec n}</math>}}

где дифференцирование идёт по дуге кривой. Формулы (2) называют формулами Френе́, или Френе-Серре.

Кинематическое истолкование

Будем рассматривать длину дуги заданной кривой как время, а трёхгранник Френе — как твёрдое тело, движущееся вдоль кривой. Тогда это движение в каждый момент времени состоит из поступательного (вдоль касательной) и мгновенного вращения с угловой скоростью <math>\boldsymbol{\vec \omega}</math> (вектор Дарбу). Из формул Френе вытекает:

<math>\boldsymbol{\vec \omega} = k_1\ \boldsymbol{\vec b} + k_2\ \boldsymbol{\vec t}</math>

Это означает, что вектор мгновенного вращения лежит в спрямляющей плоскости и распадается на 2 составляющие: вращение вокруг бинормали со скоростью <math>k_1\ </math> (поворот) и вращение вокруг касательной со скоростью <math>k_2\ </math> (кручение).

Натуральные уравнения кривой

Кривая с отличной от нуля кривизной полностью определяется (с точностью до положения в пространстве) заданием её кривизны и кручения как функций дуги <math>s</math> кривой. В связи с этим систему уравнения

<math>k_1 = k_1 (s), ~~ k_2 = k_2 (s)</math>

называют натуральными уравнениями кривой.

Пример

Рассмотрим винтовую линию (рис. 4), заданную уравнениями:

<math>x(t) = a\ \cos t</math>

<math>y(t) = a\ \sin t</math>

<math>z(t) = b\ t</math>

По вышеприведенным формулам получаем:

<math>k_1 = \frac{a}{a^2+b^2}</math>

<math>k_2 = \frac{b}{a^2+b^2}</math>

Таким образом, кривизна и кручение винтовой линии постоянны. Поскольку натуральные уравнения однозначно определяют форму кривой, других кривых с постоянными кривизной и кручением не существует. Предельными случаями винтовой линии являются окружность (она получается при <math>b=0\ </math> ) и прямая ( <math>a=0\ </math> ).

См. также

• Асимптота
• Огибающая

Литература

• Погорелов А. И. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Pogorelov1974ru.djvu Дифференциальная геометрия (6-е издание).] М.: Наука, 1974.
• Рашевский П. К. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Rashevskij1950ru.djvu Курс дифференциальной геометрии (3-е издание).] М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

Отрывок, характеризующий Дифференциальная геометрия кривых

Весною между солдатами открылась новая болезнь, опухоль рук, ног и лица, причину которой медики полагали в употреблении этого корня. Но несмотря на запрещение, павлоградские солдаты эскадрона Денисова ели преимущественно машкин сладкий корень, потому что уже вторую неделю растягивали последние сухари, выдавали только по полфунта на человека, а картофель в последнюю посылку привезли мерзлый и проросший. Лошади питались тоже вторую неделю соломенными крышами с домов, были безобразно худы и покрыты еще зимнею, клоками сбившеюся шерстью.
Несмотря на такое бедствие, солдаты и офицеры жили точно так же, как и всегда; так же и теперь, хотя и с бледными и опухлыми лицами и в оборванных мундирах, гусары строились к расчетам, ходили на уборку, чистили лошадей, амуницию, таскали вместо корма солому с крыш и ходили обедать к котлам, от которых вставали голодные, подшучивая над своею гадкой пищей и своим голодом. Также как и всегда, в свободное от службы время солдаты жгли костры, парились голые у огней, курили, отбирали и пекли проросший, прелый картофель и рассказывали и слушали рассказы или о Потемкинских и Суворовских походах, или сказки об Алеше пройдохе, и о поповом батраке Миколке.
Офицеры так же, как и обыкновенно, жили по двое, по трое, в раскрытых полуразоренных домах. Старшие заботились о приобретении соломы и картофеля, вообще о средствах пропитания людей, младшие занимались, как всегда, кто картами (денег было много, хотя провианта и не было), кто невинными играми – в свайку и городки. Об общем ходе дел говорили мало, частью оттого, что ничего положительного не знали, частью оттого, что смутно чувствовали, что общее дело войны шло плохо.
Ростов жил, попрежнему, с Денисовым, и дружеская связь их, со времени их отпуска, стала еще теснее. Денисов никогда не говорил про домашних Ростова, но по нежной дружбе, которую командир оказывал своему офицеру, Ростов чувствовал, что несчастная любовь старого гусара к Наташе участвовала в этом усилении дружбы. Денисов видимо старался как можно реже подвергать Ростова опасностям, берег его и после дела особенно радостно встречал его целым и невредимым. На одной из своих командировок Ростов нашел в заброшенной разоренной деревне, куда он приехал за провиантом, семейство старика поляка и его дочери, с грудным ребенком. Они были раздеты, голодны, и не могли уйти, и не имели средств выехать. Ростов привез их в свою стоянку, поместил в своей квартире, и несколько недель, пока старик оправлялся, содержал их. Товарищ Ростова, разговорившись о женщинах, стал смеяться Ростову, говоря, что он всех хитрее, и что ему бы не грех познакомить товарищей с спасенной им хорошенькой полькой. Ростов принял шутку за оскорбление и, вспыхнув, наговорил офицеру таких неприятных вещей, что Денисов с трудом мог удержать обоих от дуэли. Когда офицер ушел и Денисов, сам не знавший отношений Ростова к польке, стал упрекать его за вспыльчивость, Ростов сказал ему:
– Как же ты хочешь… Она мне, как сестра, и я не могу тебе описать, как это обидно мне было… потому что… ну, оттого…
Денисов ударил его по плечу, и быстро стал ходить по комнате, не глядя на Ростова, что он делывал в минуты душевного волнения.
– Экая дуг'ацкая ваша пог'ода Г'остовская, – проговорил он, и Ростов заметил слезы на глазах Денисова.


В апреле месяце войска оживились известием о приезде государя к армии. Ростову не удалось попасть на смотр который делал государь в Бартенштейне: павлоградцы стояли на аванпостах, далеко впереди Бартенштейна.
Они стояли биваками. Денисов с Ростовым жили в вырытой для них солдатами землянке, покрытой сучьями и дерном. Землянка была устроена следующим, вошедшим тогда в моду, способом: прорывалась канава в полтора аршина ширины, два – глубины и три с половиной длины. С одного конца канавы делались ступеньки, и это был сход, крыльцо; сама канава была комната, в которой у счастливых, как у эскадронного командира, в дальней, противуположной ступеням стороне, лежала на кольях, доска – это был стол. С обеих сторон вдоль канавы была снята на аршин земля, и это были две кровати и диваны. Крыша устраивалась так, что в середине можно было стоять, а на кровати даже можно было сидеть, ежели подвинуться ближе к столу. У Денисова, жившего роскошно, потому что солдаты его эскадрона любили его, была еще доска в фронтоне крыши, и в этой доске было разбитое, но склеенное стекло. Когда было очень холодно, то к ступеням (в приемную, как называл Денисов эту часть балагана), приносили на железном загнутом листе жар из солдатских костров, и делалось так тепло, что офицеры, которых много всегда бывало у Денисова и Ростова, сидели в одних рубашках.
В апреле месяце Ростов был дежурным. В 8 м часу утра, вернувшись домой, после бессонной ночи, он велел принести жару, переменил измокшее от дождя белье, помолился Богу, напился чаю, согрелся, убрал в порядок вещи в своем уголке и на столе, и с обветрившимся, горевшим лицом, в одной рубашке, лег на спину, заложив руки под голову. Он приятно размышлял о том, что на днях должен выйти ему следующий чин за последнюю рекогносцировку, и ожидал куда то вышедшего Денисова. Ростову хотелось поговорить с ним.
За шалашом послышался перекатывающийся крик Денисова, очевидно разгорячившегося. Ростов подвинулся к окну посмотреть, с кем он имел дело, и увидал вахмистра Топчеенко.
– Я тебе пг'иказывал не пускать их жг'ать этот ког'ень, машкин какой то! – кричал Денисов. – Ведь я сам видел, Лазаг'чук с поля тащил.
– Я приказывал, ваше высокоблагородие, не слушают, – отвечал вахмистр.
Ростов опять лег на свою кровать и с удовольствием подумал: «пускай его теперь возится, хлопочет, я свое дело отделал и лежу – отлично!» Из за стенки он слышал, что, кроме вахмистра, еще говорил Лаврушка, этот бойкий плутоватый лакей Денисова. Лаврушка что то рассказывал о каких то подводах, сухарях и быках, которых он видел, ездивши за провизией.
За балаганом послышался опять удаляющийся крик Денисова и слова: «Седлай! Второй взвод!»
«Куда это собрались?» подумал Ростов.
Через пять минут Денисов вошел в балаган, влез с грязными ногами на кровать, сердито выкурил трубку, раскидал все свои вещи, надел нагайку и саблю и стал выходить из землянки. На вопрос Ростова, куда? он сердито и неопределенно отвечал, что есть дело.
– Суди меня там Бог и великий государь! – сказал Денисов, выходя; и Ростов услыхал, как за балаганом зашлепали по грязи ноги нескольких лошадей. Ростов не позаботился даже узнать, куда поехал Денисов. Угревшись в своем угле, он заснул и перед вечером только вышел из балагана. Денисов еще не возвращался. Вечер разгулялся; около соседней землянки два офицера с юнкером играли в свайку, с смехом засаживая редьки в рыхлую грязную землю. Ростов присоединился к ним. В середине игры офицеры увидали подъезжавшие к ним повозки: человек 15 гусар на худых лошадях следовали за ними. Повозки, конвоируемые гусарами, подъехали к коновязям, и толпа гусар окружила их.
– Ну вот Денисов всё тужил, – сказал Ростов, – вот и провиант прибыл.
– И то! – сказали офицеры. – То то радешеньки солдаты! – Немного позади гусар ехал Денисов, сопутствуемый двумя пехотными офицерами, с которыми он о чем то разговаривал. Ростов пошел к нему навстречу.
– Я вас предупреждаю, ротмистр, – говорил один из офицеров, худой, маленький ростом и видимо озлобленный.
– Ведь сказал, что не отдам, – отвечал Денисов.
– Вы будете отвечать, ротмистр, это буйство, – у своих транспорты отбивать! Наши два дня не ели.
– А мои две недели не ели, – отвечал Денисов.
– Это разбой, ответите, милостивый государь! – возвышая голос, повторил пехотный офицер.
– Да вы что ко мне пристали? А? – крикнул Денисов, вдруг разгорячась, – отвечать буду я, а не вы, а вы тут не жужжите, пока целы. Марш! – крикнул он на офицеров.
– Хорошо же! – не робея и не отъезжая, кричал маленький офицер, – разбойничать, так я вам…
– К чог'ту марш скорым шагом, пока цел. – И Денисов повернул лошадь к офицеру.
– Хорошо, хорошо, – проговорил офицер с угрозой, и, повернув лошадь, поехал прочь рысью, трясясь на седле.
– Собака на забог'е, живая собака на забог'е, – сказал Денисов ему вслед – высшую насмешку кавалериста над верховым пехотным, и, подъехав к Ростову, расхохотался.
– Отбил у пехоты, отбил силой транспорт! – сказал он. – Что ж, не с голоду же издыхать людям?
Повозки, которые подъехали к гусарам были назначены в пехотный полк, но, известившись через Лаврушку, что этот транспорт идет один, Денисов с гусарами силой отбил его. Солдатам раздали сухарей в волю, поделились даже с другими эскадронами.
На другой день, полковой командир позвал к себе Денисова и сказал ему, закрыв раскрытыми пальцами глаза: «Я на это смотрю вот так, я ничего не знаю и дела не начну; но советую съездить в штаб и там, в провиантском ведомстве уладить это дело, и, если возможно, расписаться, что получили столько то провианту; в противном случае, требованье записано на пехотный полк: дело поднимется и может кончиться дурно».
Денисов прямо от полкового командира поехал в штаб, с искренним желанием исполнить его совет. Вечером он возвратился в свою землянку в таком положении, в котором Ростов еще никогда не видал своего друга. Денисов не мог говорить и задыхался. Когда Ростов спрашивал его, что с ним, он только хриплым и слабым голосом произносил непонятные ругательства и угрозы…
Испуганный положением Денисова, Ростов предлагал ему раздеться, выпить воды и послал за лекарем.
– Меня за г'азбой судить – ох! Дай еще воды – пускай судят, а буду, всегда буду подлецов бить, и госудаг'ю скажу. Льду дайте, – приговаривал он.
Пришедший полковой лекарь сказал, что необходимо пустить кровь. Глубокая тарелка черной крови вышла из мохнатой руки Денисова, и тогда только он был в состоянии рассказать все, что с ним было.
– Приезжаю, – рассказывал Денисов. – «Ну, где у вас тут начальник?» Показали. Подождать не угодно ли. «У меня служба, я зa 30 верст приехал, мне ждать некогда, доложи». Хорошо, выходит этот обер вор: тоже вздумал учить меня: Это разбой! – «Разбой, говорю, не тот делает, кто берет провиант, чтоб кормить своих солдат, а тот кто берет его, чтоб класть в карман!» Так не угодно ли молчать. «Хорошо». Распишитесь, говорит, у комиссионера, а дело ваше передастся по команде. Прихожу к комиссионеру. Вхожу – за столом… Кто же?! Нет, ты подумай!…Кто же нас голодом морит, – закричал Денисов, ударяя кулаком больной руки по столу, так крепко, что стол чуть не упал и стаканы поскакали на нем, – Телянин!! «Как, ты нас с голоду моришь?!» Раз, раз по морде, ловко так пришлось… «А… распротакой сякой и… начал катать. Зато натешился, могу сказать, – кричал Денисов, радостно и злобно из под черных усов оскаливая свои белые зубы. – Я бы убил его, кабы не отняли.
– Да что ж ты кричишь, успокойся, – говорил Ростов: – вот опять кровь пошла. Постой же, перебинтовать надо. Денисова перебинтовали и уложили спать. На другой день он проснулся веселый и спокойный. Но в полдень адъютант полка с серьезным и печальным лицом пришел в общую землянку Денисова и Ростова и с прискорбием показал форменную бумагу к майору Денисову от полкового командира, в которой делались запросы о вчерашнем происшествии. Адъютант сообщил, что дело должно принять весьма дурной оборот, что назначена военно судная комиссия и что при настоящей строгости касательно мародерства и своевольства войск, в счастливом случае, дело может кончиться разжалованьем.
Дело представлялось со стороны обиженных в таком виде, что, после отбития транспорта, майор Денисов, без всякого вызова, в пьяном виде явился к обер провиантмейстеру, назвал его вором, угрожал побоями и когда был выведен вон, то бросился в канцелярию, избил двух чиновников и одному вывихнул руку.
Денисов, на новые вопросы Ростова, смеясь сказал, что, кажется, тут точно другой какой то подвернулся, но что всё это вздор, пустяки, что он и не думает бояться никаких судов, и что ежели эти подлецы осмелятся задрать его, он им ответит так, что они будут помнить.
Денисов говорил пренебрежительно о всем этом деле; но Ростов знал его слишком хорошо, чтобы не заметить, что он в душе (скрывая это от других) боялся суда и мучился этим делом, которое, очевидно, должно было иметь дурные последствия. Каждый день стали приходить бумаги запросы, требования к суду, и первого мая предписано было Денисову сдать старшему по себе эскадрон и явиться в штаб девизии для объяснений по делу о буйстве в провиантской комиссии. Накануне этого дня Платов делал рекогносцировку неприятеля с двумя казачьими полками и двумя эскадронами гусар. Денисов, как всегда, выехал вперед цепи, щеголяя своей храбростью. Одна из пуль, пущенных французскими стрелками, попала ему в мякоть верхней части ноги. Может быть, в другое время Денисов с такой легкой раной не уехал бы от полка, но теперь он воспользовался этим случаем, отказался от явки в дивизию и уехал в госпиталь.


В июне месяце произошло Фридландское сражение, в котором не участвовали павлоградцы, и вслед за ним объявлено было перемирие. Ростов, тяжело чувствовавший отсутствие своего друга, не имея со времени его отъезда никаких известий о нем и беспокоясь о ходе его дела и раны, воспользовался перемирием и отпросился в госпиталь проведать Денисова.
Госпиталь находился в маленьком прусском местечке, два раза разоренном русскими и французскими войсками. Именно потому, что это было летом, когда в поле было так хорошо, местечко это с своими разломанными крышами и заборами и своими загаженными улицами, оборванными жителями и пьяными и больными солдатами, бродившими по нем, представляло особенно мрачное зрелище.
В каменном доме, на дворе с остатками разобранного забора, выбитыми частью рамами и стеклами, помещался госпиталь. Несколько перевязанных, бледных и опухших солдат ходили и сидели на дворе на солнушке.
Как только Ростов вошел в двери дома, его обхватил запах гниющего тела и больницы. На лестнице он встретил военного русского доктора с сигарою во рту. За доктором шел русский фельдшер.
– Не могу же я разорваться, – говорил доктор; – приходи вечерком к Макару Алексеевичу, я там буду. – Фельдшер что то еще спросил у него.
– Э! делай как знаешь! Разве не всё равно? – Доктор увидал подымающегося на лестницу Ростова.
– Вы зачем, ваше благородие? – сказал доктор. – Вы зачем? Или пуля вас не брала, так вы тифу набраться хотите? Тут, батюшка, дом прокаженных.
– Отчего? – спросил Ростов.
– Тиф, батюшка. Кто ни взойдет – смерть. Только мы двое с Макеевым (он указал на фельдшера) тут трепемся. Тут уж нашего брата докторов человек пять перемерло. Как поступит новенький, через недельку готов, – с видимым удовольствием сказал доктор. – Прусских докторов вызывали, так не любят союзники то наши.
Ростов объяснил ему, что он желал видеть здесь лежащего гусарского майора Денисова.
– Не знаю, не ведаю, батюшка. Ведь вы подумайте, у меня на одного три госпиталя, 400 больных слишком! Еще хорошо, прусские дамы благодетельницы нам кофе и корпию присылают по два фунта в месяц, а то бы пропали. – Он засмеялся. – 400, батюшка; а мне всё новеньких присылают. Ведь 400 есть? А? – обратился он к фельдшеру.
Фельдшер имел измученный вид. Он, видимо, с досадой дожидался, скоро ли уйдет заболтавшийся доктор.