Ряд Лорана

Ряд Лорана — двусторонний бесконечный степенной ряд по целым степеням <math>(z-a)</math> над полем комплексных чисел:

<math>\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n,</math> где <math> z,a_n,a\in\mathbb C </math>

Этот ряд является суммой двух рядов:

1. <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n</math> — неотрицательная часть ряда Лорана, которая иногда называется регулярной или тейлоровской и
2. <math>\sum_{n=-\infty}^{-1}{a_{n}}{(z-a)^n}</math> — отрицательная часть ряда Лорана, которая иногда называется главной.

При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его регулярная и главная части. Термин назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Свойства

• Если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо

<math>D= \{z\in\mathbb C\mid r<|z-a|<R<\infty\}</math>

• Во всех точках своего кольца сходимости <math>D</math> ряд Лорана сходится абсолютно;
• Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
• На любом компактном подмножестве <math>K\subset D</math> ряд сходится равномерно;
• Сумма ряда Лорана в <math>D</math> есть аналитическая функция <math>f(z)</math>;
• Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в <math>D</math> почленно;
• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в <math>D</math>, то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
• Коэффициенты <math>a_n</math> ряда Лорана определяются через его сумму <math>f(z)</math> формулами

<math>a_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma\frac{f(z)\,dz}{(z-a)^{n+1}}</math>

где <math>\gamma(t)=a+\rho e^{it}</math>, <math>t\in [0,2\pi]</math>, <math>r<\rho<R</math> — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая однозначная аналитическая функция <math>f(z)</math> в кольце <math>D= \{z\in\mathbb C\mid r<|z-a|<R<\infty\}</math> представима в <math>D</math> сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

<math>D= \{z\in\mathbb C\mid 0<|z-a|<R<\infty\}</math>

изолированной особой точки <math>a</math> однозначная аналитическая функция <math>f(z)</math> представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.

Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности этой точки:

• Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
• Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
• Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Отрывок, характеризующий Ряд Лорана

– Andre! – умоляюще сказала княжна Марья.
– Il faut que vous sachiez que c'est une femme, [Знай, что это женщина,] – сказал Андрей Пьеру.
– Andre, au nom de Dieu! [Андрей, ради Бога!] – повторила княжна Марья.
Видно было, что насмешливое отношение князя Андрея к странникам и бесполезное заступничество за них княжны Марьи были привычные, установившиеся между ними отношения.
– Mais, ma bonne amie, – сказал князь Андрей, – vous devriez au contraire m'etre reconaissante de ce que j'explique a Pierre votre intimite avec ce jeune homme… [Но, мой друг, ты должна бы быть мне благодарна, что я объясняю Пьеру твою близость к этому молодому человеку.]
– Vraiment? [Правда?] – сказал Пьер любопытно и серьезно (за что особенно ему благодарна была княжна Марья) вглядываясь через очки в лицо Иванушки, который, поняв, что речь шла о нем, хитрыми глазами оглядывал всех.
Княжна Марья совершенно напрасно смутилась за своих. Они нисколько не робели. Старушка, опустив глаза, но искоса поглядывая на вошедших, опрокинув чашку вверх дном на блюдечко и положив подле обкусанный кусочек сахара, спокойно и неподвижно сидела на своем кресле, ожидая, чтобы ей предложили еще чаю. Иванушка, попивая из блюдечка, исподлобья лукавыми, женскими глазами смотрел на молодых людей.
– Где, в Киеве была? – спросил старуху князь Андрей.
– Была, отец, – отвечала словоохотливо старуха, – на самое Рожество удостоилась у угодников сообщиться святых, небесных тайн. А теперь из Колязина, отец, благодать великая открылась…
– Что ж, Иванушка с тобой?
– Я сам по себе иду, кормилец, – стараясь говорить басом, сказал Иванушка. – Только в Юхнове с Пелагеюшкой сошлись…
Пелагеюшка перебила своего товарища; ей видно хотелось рассказать то, что она видела.
– В Колязине, отец, великая благодать открылась.
– Что ж, мощи новые? – спросил князь Андрей.
– Полно, Андрей, – сказала княжна Марья. – Не рассказывай, Пелагеюшка.
– Ни… что ты, мать, отчего не рассказывать? Я его люблю. Он добрый, Богом взысканный, он мне, благодетель, рублей дал, я помню. Как была я в Киеве и говорит мне Кирюша юродивый – истинно Божий человек, зиму и лето босой ходит. Что ходишь, говорит, не по своему месту, в Колязин иди, там икона чудотворная, матушка пресвятая Богородица открылась. Я с тех слов простилась с угодниками и пошла…
Все молчали, одна странница говорила мерным голосом, втягивая в себя воздух.
– Пришла, отец мой, мне народ и говорит: благодать великая открылась, у матушки пресвятой Богородицы миро из щечки каплет…
– Ну хорошо, хорошо, после расскажешь, – краснея сказала княжна Марья.
– Позвольте у нее спросить, – сказал Пьер. – Ты сама видела? – спросил он.
– Как же, отец, сама удостоилась. Сияние такое на лике то, как свет небесный, а из щечки у матушки так и каплет, так и каплет…
– Да ведь это обман, – наивно сказал Пьер, внимательно слушавший странницу.
– Ах, отец, что говоришь! – с ужасом сказала Пелагеюшка, за защитой обращаясь к княжне Марье.
– Это обманывают народ, – повторил он.
– Господи Иисусе Христе! – крестясь сказала странница. – Ох, не говори, отец. Так то один анарал не верил, сказал: «монахи обманывают», да как сказал, так и ослеп. И приснилось ему, что приходит к нему матушка Печерская и говорит: «уверуй мне, я тебя исцелю». Вот и стал проситься: повези да повези меня к ней. Это я тебе истинную правду говорю, сама видела. Привезли его слепого прямо к ней, подошел, упал, говорит: «исцели! отдам тебе, говорит, в чем царь жаловал». Сама видела, отец, звезда в ней так и вделана. Что ж, – прозрел! Грех говорить так. Бог накажет, – поучительно обратилась она к Пьеру.