Гладкая функция

Гладкая функция или непрерывно дифференцируемая функция — это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения.

Основные сведения

Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости <math>r</math> имеет непрерывную производную порядка <math>r</math>. Множество таких функций, определённых в области <math>\Omega</math> обозначается <math>C^r(\Omega)</math>. <math>f\in C^\infty(\Omega)</math> означает, что <math>f\in C^r(\Omega)</math> для любого <math>r</math>, а <math>f\in C^\omega(\Omega)=C^a(\Omega)</math> означает, что <math>f</math> — аналитическая.

Например, <math>C^0(\Omega)</math> - множество непрерывных на <math>\Omega</math> функций, а <math>C^1(\Omega)</math> - множество непрерывно-дифференцируемых на <math>\Omega</math> функций, т.е. функций имеющих в каждой точке этой области непрерывную производную.

Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.

Функция <math>f</math> принадлежит классу <math>C^{r,\;\alpha}</math>, где <math>r</math> — целое неотрицательное число и <math>0<\alpha\leqslant 1</math>, если имеет производные до порядка <math>r</math> включительно и <math>f^{(r)}</math> является гёльдеровской с показателем <math>\alpha</math>.

В переводной литературе, наравне с термином «показатель Гёльдера», используется термин «показатель Липшица».

Приближение непрерывно-дифференцируемых функций аналитическими

Пусть <math>\Omega</math> открыто в <math>\R^n</math> и <math>f\in C^k(\Omega)</math>, <math>0\leqslant k\leqslant\infty</math>. Пусть <math>\{K_p\}</math> — последовательность компактных подмножеств <math>\Omega</math> такая, что <math>K_0=\varnothing</math>, <math>K_p\subset K_{p+1}</math> и <math>\bigcup K_p=\Omega</math>. Пусть <math>\{n_p\}</math> — произвольная последовательность положительных целых чисел и <math>m_p=\min(k,\;n_p)</math>. Наконец, пусть <math>\{\varepsilon_p\}</math> — произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует <math>\R</math>-аналитическая функция <math>g</math> в <math>\Omega</math> такая, что для всякого <math>p\geqslant 0</math>:

<math>||f-g||^{K_{p+1}\backslash K_p}_{m_p}<\varepsilon_p.</math>

См. также

• Кусочно-гладкая функция

Отрывок, характеризующий Гладкая функция

Когда Николушку уводили, княжна Марья подошла еще раз к брату, поцеловала его и, не в силах удерживаться более, заплакала.
Он пристально посмотрел на нее.
– Ты об Николушке? – сказал он.
Княжна Марья, плача, утвердительно нагнула голову.
– Мари, ты знаешь Еван… – но он вдруг замолчал.
– Что ты говоришь?
– Ничего. Не надо плакать здесь, – сказал он, тем же холодным взглядом глядя на нее.

Когда княжна Марья заплакала, он понял, что она плакала о том, что Николушка останется без отца. С большим усилием над собой он постарался вернуться назад в жизнь и перенесся на их точку зрения.
«Да, им это должно казаться жалко! – подумал он. – А как это просто!»
«Птицы небесные ни сеют, ни жнут, но отец ваш питает их», – сказал он сам себе и хотел то же сказать княжне. «Но нет, они поймут это по своему, они не поймут! Этого они не могут понимать, что все эти чувства, которыми они дорожат, все наши, все эти мысли, которые кажутся нам так важны, что они – не нужны. Мы не можем понимать друг друга». – И он замолчал.

Маленькому сыну князя Андрея было семь лет. Он едва умел читать, он ничего не знал. Он многое пережил после этого дня, приобретая знания, наблюдательность, опытность; но ежели бы он владел тогда всеми этими после приобретенными способностями, он не мог бы лучше, глубже понять все значение той сцены, которую он видел между отцом, княжной Марьей и Наташей, чем он ее понял теперь. Он все понял и, не плача, вышел из комнаты, молча подошел к Наташе, вышедшей за ним, застенчиво взглянул на нее задумчивыми прекрасными глазами; приподнятая румяная верхняя губа его дрогнула, он прислонился к ней головой и заплакал.
С этого дня он избегал Десаля, избегал ласкавшую его графиню и либо сидел один, либо робко подходил к княжне Марье и к Наташе, которую он, казалось, полюбил еще больше своей тетки, и тихо и застенчиво ласкался к ним.
Княжна Марья, выйдя от князя Андрея, поняла вполне все то, что сказало ей лицо Наташи. Она не говорила больше с Наташей о надежде на спасение его жизни. Она чередовалась с нею у его дивана и не плакала больше, но беспрестанно молилась, обращаясь душою к тому вечному, непостижимому, которого присутствие так ощутительно было теперь над умиравшим человеком.


Князь Андрей не только знал, что он умрет, но он чувствовал, что он умирает, что он уже умер наполовину. Он испытывал сознание отчужденности от всего земного и радостной и странной легкости бытия. Он, не торопясь и не тревожась, ожидал того, что предстояло ему. То грозное, вечное, неведомое и далекое, присутствие которого он не переставал ощущать в продолжение всей своей жизни, теперь для него было близкое и – по той странной легкости бытия, которую он испытывал, – почти понятное и ощущаемое.