Гладкий инфинитезимальный анализ

Гладкий инфинитезимальный анализ — это математически строгое переформулирование анализа в терминах инфинитезималей. Будучи основанным на идеях Уильяма Ловера и используя методы теории категорий, он рассматривает все функции как непрерывные и невыражаемые через дискретные элементы. Как теория это раздел синтетической дифференциальной геометрии.

Нильпотентными инфинитезималями называют числа <math>\varepsilon</math>, удовлетворяющие условию <math>\varepsilon^2 = 0</math>; при этом совсем не обязательно <math>\varepsilon = 0.</math>

Этот подход отходит от классической логики, используемой в обычной математике, отказываясь от закона исключённого третьего, утверждающего, что из <math>\neg (a \neq b)</math> следует <math>a = b.</math> В частности, для некоторых инфинитезималей <math>\varepsilon</math> нельзя доказать ни <math>\varepsilon = 0</math>, ни <math>\neg (\varepsilon = 0)</math>. То, что закон исключённого третьего не может выполняться, видно из следующей основной теоремы:

В гладком инфинтезимальном анализе любая функция, домен которой — <math>\mathbb{R}</math> (вещественные числа, дополненные инфинитезималями), непрерывна и бесконечно дифференцируема.

Несмотря на это, можно попробовать определить разрывную функцию, например, как

<math>f(x) = \begin{cases}1, & x = 0,\\ 0, & x \neq 0.\end{cases}</math>

Если бы закон исключённого третьего выполнялся, это было бы полностью определённой, разрывной функцией. Однако существует множество значений <math>x</math> — инфинитезималей, — для которых не выполняется ни <math>x = 0</math>, ни <math>x \neq 0</math>, так что эта функция определена не на всём <math>\mathbb{R}</math>.

В типичных моделях гладкого инфинитезимального анализа инфинитезимали не являются обратимыми, и следовательно, эти модели не содержат бесконечных чисел. Однако также существуют модели с обратимыми инфинитезималями.

Существуют также другие системы, включающие инфинитезимали, например нестандартный анализ и сюрреальные числа. Гладкий инфинитезимальный анализ похож на нестандартный анализ в том, что он разработан как основание анализа, и инфинитезимали не имеют конкретных величин (в противоположность сюрреальным числам, в которых типичный пример инфинитезималя — <math>1/\omega</math>, где <math>\omega</math> — ординал фон Неймана). Однако гладкий инфинитезимальный анализ отличен от нестандартного анализа в том, что он использует неклассическую логику, и в том, что для него нарушается принцип переноса. Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа ложны в гладком инфинитезимальном анализе, примерами служат теорема Больцано — Коши и парадокс Банаха — Тарского (последний доказуем в классической математике в рамках ZFC, но недоказуем в ZF). Утверждения на языке нестандартного анализа могут быть переведены в утверждения о пределах, но то же самое не всегда верно в гладком инфинитезимальном анализе.

Интуитивно гладкий инфинитезимальный анализ можно интерпретировать как описывающий мир, в котором линии состоят из бесконечно малых отрезков, а не из точек. Эти отрезки можно считать достаточно длинными, чтобы иметь определённое направление, но недостаточно длинными, чтобы искривляться. Конструирование разрывных функций не удаётся потому, что функция отождествляется с кривой, а кривую нельзя сконструировать поточечно. Можно представить, что теорема Больцано — Коши не выполняется из-за способности инфинитезимального отрезка «перекидываться» через разрыв. Аналогично, парадокс Банаха — Тарского не выполняется потому, что область нельзя разделить на точки.

См. также

• Бесконечно малая
• Теория категорий
• Неклассический анализ
• Синтетическая дифференциальная геометрия

Для дальнейшего чтения

• John Lane Bell, [publish.uwo.ca/~jbell/invitation%20to%20SIA.pdf Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis] (PDF file)
• Bell, John L., A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. Second edition, 2008.
• Ieke Moerdijk and Reyes, G.E., Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer-Verlag, 1991.

Внешние ссылки

• Michael O'Connor, [arxiv.org/abs/0805.3307 An Introduction to Smooth Infinitesimal Analysis]

Отрывок, характеризующий Гладкий инфинитезимальный анализ

На чем же основывался страх графа Растопчина о народном спокойствии в Москве в 1812 году? Какая причина была предполагать в городе склонность к возмущению? Жители уезжали, войска, отступая, наполняли Москву. Почему должен был вследствие этого бунтовать народ?
Не только в Москве, но во всей России при вступлении неприятеля не произошло ничего похожего на возмущение. 1 го, 2 го сентября более десяти тысяч людей оставалось в Москве, и, кроме толпы, собравшейся на дворе главнокомандующего и привлеченной им самим, – ничего не было. Очевидно, что еще менее надо было ожидать волнения в народе, ежели бы после Бородинского сражения, когда оставление Москвы стало очевидно, или, по крайней мере, вероятно, – ежели бы тогда вместо того, чтобы волновать народ раздачей оружия и афишами, Растопчин принял меры к вывозу всей святыни, пороху, зарядов и денег и прямо объявил бы народу, что город оставляется.
Растопчин, пылкий, сангвинический человек, всегда вращавшийся в высших кругах администрации, хотя в с патриотическим чувством, не имел ни малейшего понятия о том народе, которым он думал управлять. С самого начала вступления неприятеля в Смоленск Растопчин в воображении своем составил для себя роль руководителя народного чувства – сердца России. Ему не только казалось (как это кажется каждому администратору), что он управлял внешними действиями жителей Москвы, но ему казалось, что он руководил их настроением посредством своих воззваний и афиш, писанных тем ёрническим языком, который в своей среде презирает народ и которого он не понимает, когда слышит его сверху. Красивая роль руководителя народного чувства так понравилась Растопчину, он так сжился с нею, что необходимость выйти из этой роли, необходимость оставления Москвы без всякого героического эффекта застала его врасплох, и он вдруг потерял из под ног почву, на которой стоял, в решительно не знал, что ему делать. Он хотя и знал, но не верил всею душою до последней минуты в оставление Москвы и ничего не делал с этой целью. Жители выезжали против его желания. Ежели вывозили присутственные места, то только по требованию чиновников, с которыми неохотно соглашался граф. Сам же он был занят только тою ролью, которую он для себя сделал. Как это часто бывает с людьми, одаренными пылким воображением, он знал уже давно, что Москву оставят, но знал только по рассуждению, но всей душой не верил в это, не перенесся воображением в это новое положение.
Вся деятельность его, старательная и энергическая (насколько она была полезна и отражалась на народ – это другой вопрос), вся деятельность его была направлена только на то, чтобы возбудить в жителях то чувство, которое он сам испытывал, – патриотическую ненависть к французам и уверенность в себе.
Но когда событие принимало свои настоящие, исторические размеры, когда оказалось недостаточным только словами выражать свою ненависть к французам, когда нельзя было даже сражением выразить эту ненависть, когда уверенность в себе оказалась бесполезною по отношению к одному вопросу Москвы, когда все население, как один человек, бросая свои имущества, потекло вон из Москвы, показывая этим отрицательным действием всю силу своего народного чувства, – тогда роль, выбранная Растопчиным, оказалась вдруг бессмысленной. Он почувствовал себя вдруг одиноким, слабым и смешным, без почвы под ногами.
Получив, пробужденный от сна, холодную и повелительную записку от Кутузова, Растопчин почувствовал себя тем более раздраженным, чем более он чувствовал себя виновным. В Москве оставалось все то, что именно было поручено ему, все то казенное, что ему должно было вывезти. Вывезти все не было возможности.
«Кто же виноват в этом, кто допустил до этого? – думал он. – Разумеется, не я. У меня все было готово, я держал Москву вот как! И вот до чего они довели дело! Мерзавцы, изменники!» – думал он, не определяя хорошенько того, кто были эти мерзавцы и изменники, но чувствуя необходимость ненавидеть этих кого то изменников, которые были виноваты в том фальшивом и смешном положении, в котором он находился.