Гомановская траектория

Го́мановская траекто́рия — в небесной механике эллиптическая орбита, используемая для перехода между двумя другими орбитами, обычно находящимися в одной плоскости. В простейшем случае она пересекает эти две орбиты в апоцентре и перицентре. Орбитальный манёвр для перехода включает в себя 2 импульса работы двигателя на разгон — для входа на гомановскую траекторию и для схода с неё. Названа в честь немецкого учёного Вальтера Гомана, в 1925 году описавшего её в своей книге. На Гомана оказал большое влияние писатель-фантаст Курд Лассвиц своей книгой 1897 года «Две планеты». Эту же траекторию предложили независимо советские учёные Владимир Ветчинкин и Фридрих Цандер.

Гомановская траектория теоретически рассчитывается для двух импульсных (условно мгновенных) приращений скорости. Однако, поскольку время работы двигателя (нужное для набора соответствующего приращения скорости) отличается от нуля, то импульс должен быть как можно более коротким; соответственно, требуется применять двигатели с большой тягой. Если же космический аппарат оснащён только двигателями малой тяги, то выполнение перехода по гомановской траектории потребует нескольких включений двигателя, что резко снизит энергетическую выгоду перехода по такой траектории (нужное приращение скорости составит до 141 % от двухимпульсного манёвра).

Для гомановской траектории угловая дальность (угол между лучами, проведёнными из точки O в начальную и конечную точки траектории) равна 180 градусов. Если она меньше 180 градусов, траектория называется траекторией первого полувитка, или типа 1, а если больше — траекторией второго полувитка, или типа 2.

Гомановские орбиты являются наиболее экономичными двухимпульсными маневрами по затратам топлива, но при этом не обеспечивают минимального времени перелёта. Меньшее время возможно при совершении энергозатратного гиперболического перелёта (англ.).

При некоторых соотношениях параметров между начальной и конечной орбитами (большие полуоси различаются в 12 или более раз) существует слегка более экономичный по затратам топлива (на доли процентов бюджета Δv), трёхимпульсный орбитальный манёвр, в ходе которого последовательно используется две эллиптические переходные орбиты (англ.). Однако данный манёвр является значительно более длительным и для получения значимой экономии требует на два порядка больше времени, чем гомановская траектория (например, несколько тысяч лет при полетах от Земли к внешним планетам, по сравнению с десятками лет для гомановской орбиты).

Расчёт

Расчёт необходимых приращений скорости можно произвести двумя путями: задавшись отношением высот конечной и исходной орбит или задавшись орбитальными скоростями исходной и конечной орбит. Второй путь проще, если заведомо известны орбитальные скорости орбит.

Если известно соотношение высот орбит <math>\bar r = \frac{r_2}{r_1}</math> и орбитальная скорость исходной орбиты <math>V_1</math>, то приращения скоростей равны:

<math> \Delta V = V_1 \left( \sqrt{\frac{2\bar r}{\bar r+1}} - 1 \right)</math>

<math> \Delta V' = V_1 \frac{1}{\sqrt{\bar r}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2}{\bar r+1}} \right)</math>

Если известны орбитальные скорости исходной <math>V_1</math> и конечной <math>V_2</math> орбит, то приращения скоростей высчитываются следующим образом:

<math> \bar V_p = \sqrt{\frac{V_1^2+V_2^2}{2}}</math>

<math> \Delta V = V_1 \left( \frac{V_1}{\bar V_p} - 1 \right)</math>

<math> \Delta V' = V_2 \left( 1 - \frac{V_2}{\bar V_p} \right)</math>

Приведённые зависимости справедливы только для круговых исходных и конечных орбит и верны как при переходе с низкой орбиты на высокую, так и при переходе с высокой на низкую. Во втором случае приращения получаются отрицательные, что означает, что аппарат необходимо затормозить на полученную величину.

Суммарное приращение, необходимое для перехода с орбиту на орбиту, можно представить в виде:

<math> \Delta V_\Sigma = \Delta V + \Delta V' = V_1 f(\bar r)</math>

где функция <math>f(\bar r)</math> представляет собой коэффициент суммарного приращения, которая зависит от соотношения высот орбит. Анализ её показывает следующие интересные вещи. Во-первых, суммарное приращение всегда меньше разности орбитальных скоростей конечной и исходной орбит. При этом разница в данных величинах увеличивается с ростом коэффициента <math>\bar r</math>. Во-вторых, данная функция имеет максимум при <math>\bar r \approx 15.582</math>. Значение функции в этой точке равно <math>f(15.582)=0.536258</math>. Это означает, что самым энергозатратным переходом будет переход с низкой орбиты на высокую, высота которой в 15.582 раза больше низкой орбиты. Переход же на ещё более высокую орбиту (как и на более низкую) будет менее затратным. При устремлении же <math>\bar r</math> к бесконечности, то есть при наборе второй космической скорости в данной точке, значение функции равно <math>\lim_{\bar r \to \infty} f(\bar r) = \sqrt{2}-1 \approx 0.41421</math>. Связанно это с тем, что первый импульс <math>\Delta V</math> хотя и монотонно увеличивается до значения <math>V_1(\sqrt{2}-1)</math> с возрастанием высоты конечной орбиты, но с некоторого момента начинает падать до нуля необходимый уровень второго импульса <math>\Delta V'</math>, что в свою очередь связанно с уменьшением до нуля орбитальной скорости конечной орбиты. При переходе же с высокой орбиты на низкую такой эффект не наблюдается. В этом случае функция монотонно убывает до бесконечности. Однако, если взять некие две орбиты, суммарные приращения скоростей равны как при ускорении и переходе с низкой орбиты на высокую, так и при торможении и переходе с высокой орбиты на низкую.

Отрывок, характеризующий Гомановская траектория

– Какую это ты молитву читал? – спросил Пьер.
– Ась? – проговорил Платон (он уже было заснул). – Читал что? Богу молился. А ты рази не молишься?
– Нет, и я молюсь, – сказал Пьер. – Но что ты говорил: Фрола и Лавра?
– А как же, – быстро отвечал Платон, – лошадиный праздник. И скота жалеть надо, – сказал Каратаев. – Вишь, шельма, свернулась. Угрелась, сукина дочь, – сказал он, ощупав собаку у своих ног, и, повернувшись опять, тотчас же заснул.
Наружи слышались где то вдалеке плач и крики, и сквозь щели балагана виднелся огонь; но в балагане было тихо и темно. Пьер долго не спал и с открытыми глазами лежал в темноте на своем месте, прислушиваясь к мерному храпенью Платона, лежавшего подле него, и чувствовал, что прежде разрушенный мир теперь с новой красотой, на каких то новых и незыблемых основах, воздвигался в его душе.


В балагане, в который поступил Пьер и в котором он пробыл четыре недели, было двадцать три человека пленных солдат, три офицера и два чиновника.
Все они потом как в тумане представлялись Пьеру, но Платон Каратаев остался навсегда в душе Пьера самым сильным и дорогим воспоминанием и олицетворением всего русского, доброго и круглого. Когда на другой день, на рассвете, Пьер увидал своего соседа, первое впечатление чего то круглого подтвердилось вполне: вся фигура Платона в его подпоясанной веревкою французской шинели, в фуражке и лаптях, была круглая, голова была совершенно круглая, спина, грудь, плечи, даже руки, которые он носил, как бы всегда собираясь обнять что то, были круглые; приятная улыбка и большие карие нежные глаза были круглые.
Платону Каратаеву должно было быть за пятьдесят лет, судя по его рассказам о походах, в которых он участвовал давнишним солдатом. Он сам не знал и никак не мог определить, сколько ему было лет; но зубы его, ярко белые и крепкие, которые все выкатывались своими двумя полукругами, когда он смеялся (что он часто делал), были все хороши и целы; ни одного седого волоса не было в его бороде и волосах, и все тело его имело вид гибкости и в особенности твердости и сносливости.
Лицо его, несмотря на мелкие круглые морщинки, имело выражение невинности и юности; голос у него был приятный и певучий. Но главная особенность его речи состояла в непосредственности и спорости. Он, видимо, никогда не думал о том, что он сказал и что он скажет; и от этого в быстроте и верности его интонаций была особенная неотразимая убедительность.
Физические силы его и поворотливость были таковы первое время плена, что, казалось, он не понимал, что такое усталость и болезнь. Каждый день утром а вечером он, ложась, говорил: «Положи, господи, камушком, подними калачиком»; поутру, вставая, всегда одинаково пожимая плечами, говорил: «Лег – свернулся, встал – встряхнулся». И действительно, стоило ему лечь, чтобы тотчас же заснуть камнем, и стоило встряхнуться, чтобы тотчас же, без секунды промедления, взяться за какое нибудь дело, как дети, вставши, берутся за игрушки. Он все умел делать, не очень хорошо, но и не дурно. Он пек, парил, шил, строгал, тачал сапоги. Он всегда был занят и только по ночам позволял себе разговоры, которые он любил, и песни. Он пел песни, не так, как поют песенники, знающие, что их слушают, но пел, как поют птицы, очевидно, потому, что звуки эти ему было так же необходимо издавать, как необходимо бывает потянуться или расходиться; и звуки эти всегда бывали тонкие, нежные, почти женские, заунывные, и лицо его при этом бывало очень серьезно.
Попав в плен и обросши бородою, он, видимо, отбросил от себя все напущенное на него, чуждое, солдатское и невольно возвратился к прежнему, крестьянскому, народному складу.
– Солдат в отпуску – рубаха из порток, – говаривал он. Он неохотно говорил про свое солдатское время, хотя не жаловался, и часто повторял, что он всю службу ни разу бит не был. Когда он рассказывал, то преимущественно рассказывал из своих старых и, видимо, дорогих ему воспоминаний «христианского», как он выговаривал, крестьянского быта. Поговорки, которые наполняли его речь, не были те, большей частью неприличные и бойкие поговорки, которые говорят солдаты, но это были те народные изречения, которые кажутся столь незначительными, взятые отдельно, и которые получают вдруг значение глубокой мудрости, когда они сказаны кстати.
Часто он говорил совершенно противоположное тому, что он говорил прежде, но и то и другое было справедливо. Он любил говорить и говорил хорошо, украшая свою речь ласкательными и пословицами, которые, Пьеру казалось, он сам выдумывал; но главная прелесть его рассказов состояла в том, что в его речи события самые простые, иногда те самые, которые, не замечая их, видел Пьер, получали характер торжественного благообразия. Он любил слушать сказки, которые рассказывал по вечерам (всё одни и те же) один солдат, но больше всего он любил слушать рассказы о настоящей жизни. Он радостно улыбался, слушая такие рассказы, вставляя слова и делая вопросы, клонившиеся к тому, чтобы уяснить себе благообразие того, что ему рассказывали. Привязанностей, дружбы, любви, как понимал их Пьер, Каратаев не имел никаких; но он любил и любовно жил со всем, с чем его сводила жизнь, и в особенности с человеком – не с известным каким нибудь человеком, а с теми людьми, которые были перед его глазами. Он любил свою шавку, любил товарищей, французов, любил Пьера, который был его соседом; но Пьер чувствовал, что Каратаев, несмотря на всю свою ласковую нежность к нему (которою он невольно отдавал должное духовной жизни Пьера), ни на минуту не огорчился бы разлукой с ним. И Пьер то же чувство начинал испытывать к Каратаеву.
Платон Каратаев был для всех остальных пленных самым обыкновенным солдатом; его звали соколик или Платоша, добродушно трунили над ним, посылали его за посылками. Но для Пьера, каким он представился в первую ночь, непостижимым, круглым и вечным олицетворением духа простоты и правды, таким он и остался навсегда.
Платон Каратаев ничего не знал наизусть, кроме своей молитвы. Когда он говорил свои речи, он, начиная их, казалось, не знал, чем он их кончит.
Когда Пьер, иногда пораженный смыслом его речи, просил повторить сказанное, Платон не мог вспомнить того, что он сказал минуту тому назад, – так же, как он никак не мог словами сказать Пьеру свою любимую песню. Там было: «родимая, березанька и тошненько мне», но на словах не выходило никакого смысла. Он не понимал и не мог понять значения слов, отдельно взятых из речи. Каждое слово его и каждое действие было проявлением неизвестной ему деятельности, которая была его жизнь. Но жизнь его, как он сам смотрел на нее, не имела смысла как отдельная жизнь. Она имела смысл только как частица целого, которое он постоянно чувствовал. Его слова и действия выливались из него так же равномерно, необходимо и непосредственно, как запах отделяется от цветка. Он не мог понять ни цены, ни значения отдельно взятого действия или слова.