Гравитационное поле Земли

Гравитационное поле Земли — поле силы тяжести, обусловленное тяготением Земли и центробежной силой, вызванной её суточным вращением. Характеризуется пространственным распределением силы тяжести и гравитационного потенциала.

Для решения практических задач потенциал земного притяжения (без учёта центробежной силы и влияния других небесных тел) выражается в виде рядаК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

<math>V(r,\phi,\lambda)= \frac{GM}{r} \left[ 1 + \sum^\infty_{n=1} \left( \frac{a}{r} \right)^n \sum^n_{m=0} P_{nm} \sin \phi

\left( C_{nm} \cos m\lambda + S_{nm} \sin m \lambda \right) \right], </math> где

<math>r, \phi, \lambda</math> — полярные координаты, <math>G</math> — гравитационная постоянная, <math>M</math> — масса Земли, <math>GM</math> = 398 603⋅10⁹ м³·с⁻², <math>a</math> — большая полуось Земли.

Ускорение свободного падения

В неинерциальных системах отсчёта ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80665 м/с². Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81; 9,8 или 10 м/с².

В СМИ и научно-популярной литературе g нередко используется как внесистемная единица силы тяжести, применяемая, например, для оценки величины перегрузок при тренировках лётчиков и космонавтов, а также силы тяготения на других небесных телах (см. раздел Сравнение силы тяготения на Земле с другими небесными телами).

Получение значения g из закона всемирного тяготения

Согласно закону всемирного тяготения, сила земной гравитации, действующая на тело, определяется формулой

<math>F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}=\left(G \frac{m_1}{r^2}\right) m_2</math>,

где r — расстояние между центром Земли и телом (см. ниже), m₁ — масса Земли и m₂ — масса тела.

Кроме того, согласно второму закону Ньютона, F = ma, где m — масса и a — ускорение,

<math>F = m_2g</math>

Из сопоставления двух формул видно, что

<math>g=G \frac {m_1}{r^2}</math>

Таким образом, чтобы найти получить значение ускорения силы тяжести g на уровне моря, необходимо в формулу подставить значения гравитационной постоянной G, массы Земли (в килограммах) m₁ и радиуса Земли (в метрах) r :

<math>g=G \frac {m_1}{r^2}=(6.67384 \times 10^{-11}) \frac{5.9722 \times 10^{24}}{(6.371 \times 10^6)^2}=9.8196 \mbox{m} \cdot \mbox{s}^{-2}</math>

Следует отметить, что эта формула правомерна для сферического тела при допущении, что вся его масса сосредоточена в его центре. Это позволяет нам использовать величину радиуса Земли для r.

Существуют значительные неопределенности значений r и m₁, а также значения гравитационной постоянной G, которую трудно точно измерить.

Если G,g и r известны, то решение обратной задачи позволит получить величину массы Земли.

Гравитационные аномалии

Гравитационные аномалии применительно к геофизике — отклонения величины гравитационного поля от расчётной, вычисленной на основе той или иной математической модели. Гравитационный потенциал земной поверхности, или геоида, обычно описывается на основании математических теорий с использованием гармонических функций. Эти отклонения могут быть вызваны различными факторами, в том числе:

• Земля не является однородной, её плотность различна на разных участках;
• Земля не является идеальной сферой, и в формуле используется среднее значение величины её радиуса;
• Расчётное значение g учитывает только силу тяжести и не учитывает центробежную силу, возникающую за счёт вращения Земли;
• При подъёме тела над поверхностью Земли значение g уменьшается («высотная поправка» (см. ниже), аномалия Бугера);
• На Землю воздействуют гравитационные поля других космических тел, в частности, приливные силы Солнца и Луны.

Высотная поправка

Первая поправка для стандартных математических моделей, так называемая высотная аномалия, позволяет учесть изменение величины g в зависимости от высоты над уровнем моря. Используем значения массы и радиуса Земли:

<math>r_\mathrm{Earth}= 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m} </math>

<math>m_\mathrm{Earth}= 5.9722 \times 10^{24}\,\mathrm{kg} </math>

Поправочный коэффициент (Δg) может быть получены из соотношения между ускорением силы тяжести g и гравитационной постоянной G:

<math>g_0 = G \, m_\mathrm{Earth} / r_\mathrm{Earth}^2 = 9.8196\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math>, где:

<math>G = 6.67384 \times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^2}.</math>.

На высоте h над поверхностью Земли g_h рассчитывается по формуле:

<math>g_h = G \, m_\mathrm{Earth} / \left( r_\mathrm{Earth} + h \right) ^2</math>

Так, высотная поправка для высоты h может быть выражена:

<math>\Delta g_h = \left [ G \, m_\mathrm{Earth} / \left( r_\mathrm{Earth} + h \right) ^2 \right ] - \left[G \, m_\mathrm{Earth} / r_\mathrm{Earth}^2 \right]</math>.

Это выражение может быть легко использовано для программирования или включения в таблицу. Упрощая и пренебрегая малыми величинами (h<<r_Earth), получаем хорошее приближение:

<math>\Delta g_h \approx - \, \dfrac{ G \, m_\mathrm{Earth}}{ r_\mathrm{Earth} ^2} \times \dfrac{ 2 \,h}{r_\mathrm{Earth}}</math>.

Используя приведённые выше численные значения выше, и высоту h в метрах, получим:

<math>\Delta g_h \approx - 3.083 \times 10^{-6}\, h</math>

Учитывая широту местности и высотную поправку, получаем:

<math>g_{\phi, h}=9.780 327 \left( 1+0.0053024\sin^2 \phi-0.0000058\sin^2 2\phi \right) - 3.086 \times 10^{-6}h</math>,

где <math> \ g_{\phi, h}</math> — ускорение свободного падения на широте <math>\ \phi</math> и высоте h. Это выражение можно также представить в следующем виде:

<math>g_{\phi, h}=9.780327 \left[ \left( 1+0.0053024\sin^2 \phi-0.0000058\sin^2 2\phi \right) - 3.155 \times 10^{-7}h \right] \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} </math>.

Сравнение силы тяготения на Земле с другими небесными телами

В таблице приведены значения величин ускорения свободного падения на поверхности Земли, Солнца, Луны, планет Солнечной системы, ряда спутников и астероидов. Для планет — гигантов под «поверхностью» понимается видимая поверхность, а для Солнца — верхняя граница фотосферы. Данные в таблице не учитывают эффекта центробежной силы от вращения планет и фактически означают значения искомых величин вблизи полюсов планет. Справочно указано время падения объекта на данное небесное тело со 100-метровой высоты и максимальная скорость, достигаемая при этом (сопротивление воздуха не учтено).

Небесное тело	Сила тяжести по сравнению с земной	Ускорение свободного падения на поверхности, м/с2	Примечания	Время падения со 100-метровой высоты/Достигаемая при этом скорость
Солнце	27,90	274,1		0,85 сек	843 км/ч
Меркурий	0,3770	3,703		7,4 сек	98 км/ч
Венера	0,9032	8,872		4,8 сек	152 км/ч
Земля	1	9,8067		4,5 сек	159 км/ч
Луна	0,1655	1,625		11,1 сек	65 км/ч
Марс	0,3895	3,728		7,3 сек	98 км/ч
Церера	0,029	0,028		26,7 сек	27 км/ч
Юпитер	2,640	25,93		2,8 сек	259 км/ч
Ио	0,182	1,789		10,6 сек	68 км/ч
Европа	0,134	1,314		12,3 сек	58 км/ч
Ганимед	0,145	1.426		11,8 сек	61 км/ч
Каллисто	0,126	1,24		12,7 сек	57 км/ч
Сатурн	1,139	11,19		4,2 сек	170 км/ч
Титан	0,138	1,3455		12,2 сек	59 км/ч
Уран	0,917	9,01		4,7 сек	153 км/ч
Титания	0,039	0,379		23,0 сек	31 км/ч
Оберон	0,035	0,347		24,0 сек	30 км/ч
Нептун	1,148	11,28		4,2 сек	171 км/ч
Тритон	0,079	0,779		16,0 сек	45 км/ч
Плутон	0,0621	0,610		18,1 сек	40 км/ч
Эрида	0,0814	0,8	(приблизит.)	15,8 сек	46 км/ч

См. также

• Аномалия Бугера
• Гравиметрия (геодезия)
• Гравитационная аномалия
• Гравитация
• Закон всемирного тяготения
• Ускорение свободного падения
• GOCE
• GRACE

Ссылки

• [hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/orbv.html Altitude gravity calculator]
• [www.csr.utexas.edu/grace/ GRACE — Gravity Recovery and Climate Experiment]
• [geodesy.curtin.edu.au/research/models/GGMplus/ GGMplus high resolution data (2013)]

Отрывок, характеризующий Гравитационное поле Земли

– Только графиня Елена Васильевна, сочтя для себя унизительным общество каких то Бергов, могла иметь жестокость отказаться от такого приглашения. – Берг так ясно объяснил, почему он желает собрать у себя небольшое и хорошее общество, и почему это ему будет приятно, и почему он для карт и для чего нибудь дурного жалеет деньги, но для хорошего общества готов и понести расходы, что Пьер не мог отказаться и обещался быть.
– Только не поздно, граф, ежели смею просить, так без 10 ти минут в восемь, смею просить. Партию составим, генерал наш будет. Он очень добр ко мне. Поужинаем, граф. Так сделайте одолжение.
Противно своей привычке опаздывать, Пьер в этот день вместо восьми без 10 ти минут, приехал к Бергам в восемь часов без четверти.
Берги, припася, что нужно было для вечера, уже готовы были к приему гостей.
В новом, чистом, светлом, убранном бюстиками и картинками и новой мебелью, кабинете сидел Берг с женою. Берг, в новеньком, застегнутом мундире сидел возле жены, объясняя ей, что всегда можно и должно иметь знакомства людей, которые выше себя, потому что тогда только есть приятность от знакомств. – «Переймешь что нибудь, можешь попросить о чем нибудь. Вот посмотри, как я жил с первых чинов (Берг жизнь свою считал не годами, а высочайшими наградами). Мои товарищи теперь еще ничто, а я на ваканции полкового командира, я имею счастье быть вашим мужем (он встал и поцеловал руку Веры, но по пути к ней отогнул угол заворотившегося ковра). И чем я приобрел всё это? Главное умением выбирать свои знакомства. Само собой разумеется, что надо быть добродетельным и аккуратным».
Берг улыбнулся с сознанием своего превосходства над слабой женщиной и замолчал, подумав, что всё таки эта милая жена его есть слабая женщина, которая не может постигнуть всего того, что составляет достоинство мужчины, – ein Mann zu sein [быть мужчиной]. Вера в то же время также улыбнулась с сознанием своего превосходства над добродетельным, хорошим мужем, но который всё таки ошибочно, как и все мужчины, по понятию Веры, понимал жизнь. Берг, судя по своей жене, считал всех женщин слабыми и глупыми. Вера, судя по одному своему мужу и распространяя это замечание, полагала, что все мужчины приписывают только себе разум, а вместе с тем ничего не понимают, горды и эгоисты.
Берг встал и, обняв свою жену осторожно, чтобы не измять кружевную пелеринку, за которую он дорого заплатил, поцеловал ее в середину губ.
– Одно только, чтобы у нас не было так скоро детей, – сказал он по бессознательной для себя филиации идей.
– Да, – отвечала Вера, – я совсем этого не желаю. Надо жить для общества.
– Точно такая была на княгине Юсуповой, – сказал Берг, с счастливой и доброй улыбкой, указывая на пелеринку.
В это время доложили о приезде графа Безухого. Оба супруга переглянулись самодовольной улыбкой, каждый себе приписывая честь этого посещения.
«Вот что значит уметь делать знакомства, подумал Берг, вот что значит уметь держать себя!»
– Только пожалуйста, когда я занимаю гостей, – сказала Вера, – ты не перебивай меня, потому что я знаю чем занять каждого, и в каком обществе что надо говорить.
Берг тоже улыбнулся.
– Нельзя же: иногда с мужчинами мужской разговор должен быть, – сказал он.
Пьер был принят в новенькой гостиной, в которой нигде сесть нельзя было, не нарушив симметрии, чистоты и порядка, и потому весьма понятно было и не странно, что Берг великодушно предлагал разрушить симметрию кресла, или дивана для дорогого гостя, и видимо находясь сам в этом отношении в болезненной нерешительности, предложил решение этого вопроса выбору гостя. Пьер расстроил симметрию, подвинув себе стул, и тотчас же Берг и Вера начали вечер, перебивая один другого и занимая гостя.
Вера, решив в своем уме, что Пьера надо занимать разговором о французском посольстве, тотчас же начала этот разговор. Берг, решив, что надобен и мужской разговор, перебил речь жены, затрогивая вопрос о войне с Австриею и невольно с общего разговора соскочил на личные соображения о тех предложениях, которые ему были деланы для участия в австрийском походе, и о тех причинах, почему он не принял их. Несмотря на то, что разговор был очень нескладный, и что Вера сердилась за вмешательство мужского элемента, оба супруга с удовольствием чувствовали, что, несмотря на то, что был только один гость, вечер был начат очень хорошо, и что вечер был, как две капли воды похож на всякий другой вечер с разговорами, чаем и зажженными свечами.
Вскоре приехал Борис, старый товарищ Берга. Он с некоторым оттенком превосходства и покровительства обращался с Бергом и Верой. За Борисом приехала дама с полковником, потом сам генерал, потом Ростовы, и вечер уже совершенно, несомненно стал похож на все вечера. Берг с Верой не могли удерживать радостной улыбки при виде этого движения по гостиной, при звуке этого бессвязного говора, шуршанья платьев и поклонов. Всё было, как и у всех, особенно похож был генерал, похваливший квартиру, потрепавший по плечу Берга, и с отеческим самоуправством распорядившийся постановкой бостонного стола. Генерал подсел к графу Илье Андреичу, как к самому знатному из гостей после себя. Старички с старичками, молодые с молодыми, хозяйка у чайного стола, на котором были точно такие же печенья в серебряной корзинке, какие были у Паниных на вечере, всё было совершенно так же, как у других.


Пьер, как один из почетнейших гостей, должен был сесть в бостон с Ильей Андреичем, генералом и полковником. Пьеру за бостонным столом пришлось сидеть против Наташи и странная перемена, происшедшая в ней со дня бала, поразила его. Наташа была молчалива, и не только не была так хороша, как она была на бале, но она была бы дурна, ежели бы она не имела такого кроткого и равнодушного ко всему вида.
«Что с ней?» подумал Пьер, взглянув на нее. Она сидела подле сестры у чайного стола и неохотно, не глядя на него, отвечала что то подсевшему к ней Борису. Отходив целую масть и забрав к удовольствию своего партнера пять взяток, Пьер, слышавший говор приветствий и звук чьих то шагов, вошедших в комнату во время сбора взяток, опять взглянул на нее.
«Что с ней сделалось?» еще удивленнее сказал он сам себе.
Князь Андрей с бережливо нежным выражением стоял перед нею и говорил ей что то. Она, подняв голову, разрумянившись и видимо стараясь удержать порывистое дыхание, смотрела на него. И яркий свет какого то внутреннего, прежде потушенного огня, опять горел в ней. Она вся преобразилась. Из дурной опять сделалась такою же, какою она была на бале.
Князь Андрей подошел к Пьеру и Пьер заметил новое, молодое выражение и в лице своего друга.
Пьер несколько раз пересаживался во время игры, то спиной, то лицом к Наташе, и во всё продолжение 6 ти роберов делал наблюдения над ней и своим другом.
«Что то очень важное происходит между ними», думал Пьер, и радостное и вместе горькое чувство заставляло его волноваться и забывать об игре.
После 6 ти роберов генерал встал, сказав, что эдак невозможно играть, и Пьер получил свободу. Наташа в одной стороне говорила с Соней и Борисом, Вера о чем то с тонкой улыбкой говорила с князем Андреем. Пьер подошел к своему другу и спросив не тайна ли то, что говорится, сел подле них. Вера, заметив внимание князя Андрея к Наташе, нашла, что на вечере, на настоящем вечере, необходимо нужно, чтобы были тонкие намеки на чувства, и улучив время, когда князь Андрей был один, начала с ним разговор о чувствах вообще и о своей сестре. Ей нужно было с таким умным (каким она считала князя Андрея) гостем приложить к делу свое дипломатическое искусство.
Когда Пьер подошел к ним, он заметил, что Вера находилась в самодовольном увлечении разговора, князь Андрей (что с ним редко бывало) казался смущен.
– Как вы полагаете? – с тонкой улыбкой говорила Вера. – Вы, князь, так проницательны и так понимаете сразу характер людей. Что вы думаете о Натали, может ли она быть постоянна в своих привязанностях, может ли она так, как другие женщины (Вера разумела себя), один раз полюбить человека и навсегда остаться ему верною? Это я считаю настоящею любовью. Как вы думаете, князь?
– Я слишком мало знаю вашу сестру, – отвечал князь Андрей с насмешливой улыбкой, под которой он хотел скрыть свое смущение, – чтобы решить такой тонкий вопрос; и потом я замечал, что чем менее нравится женщина, тем она бывает постояннее, – прибавил он и посмотрел на Пьера, подошедшего в это время к ним.
– Да это правда, князь; в наше время, – продолжала Вера (упоминая о нашем времени, как вообще любят упоминать ограниченные люди, полагающие, что они нашли и оценили особенности нашего времени и что свойства людей изменяются со временем), в наше время девушка имеет столько свободы, что le plaisir d'etre courtisee [удовольствие иметь поклонников] часто заглушает в ней истинное чувство. Et Nathalie, il faut l'avouer, y est tres sensible. [И Наталья, надо признаться, на это очень чувствительна.] Возвращение к Натали опять заставило неприятно поморщиться князя Андрея; он хотел встать, но Вера продолжала с еще более утонченной улыбкой.