Гравитационные волны (гидродинамика)

Не следует путать с гравитационными волнами в астрофизике — колебаниями интенсивности гравитационного поля.

Гравитацио́нные во́лны на воде́ — разновидность волн на поверхности жидкости, при которых сила, возвращающая деформированную поверхность жидкости к состоянию равновесия, есть просто сила тяжести, связанная с перепадом высот гребня и впадины в гравитационном поле.

Общие свойства

Гравитационные волны на воде — это нелинейные волны. Точный математический анализ возможен лишь в линеаризованном приближении и в отсутствие турбулентности. Кроме того, обычно речь идёт про волны на поверхности идеальной жидкости. Результаты точного решения в этом случае описаны ниже.

Гравитационные волны на воде не поперечны и не продольны. При колебании частицы жидкости описывают некоторые кривые, то есть перемещаются как в направлении движения, так и поперёк него. В линеаризованном приближении эти траектории имеют вид окружностей. Это приводит к тому, что профиль волн не синусоидальный, а имеет характерные заострённые гребни и более пологие провалы.

Нелинейные эффекты сказываются, когда амплитуда волны становится сравнимой с её длиной. Одним из характерных эффектов в этом режиме является появление изломов на вершинах волн. Кроме того, появляется возможность опрокидывания волны. Эти эффекты пока не поддаются точному аналитическому расчёту.

Закон дисперсии для слабых волн

Поведение волн малой амплитуды можно с хорошей точностью описать линеаризованными уравнениями движения жидкости. Для справедливости этого приближения необходимо, чтобы амплитуда волны была существенно меньше как длины волны, так и глубины водоёма.

Имеется две предельные ситуации, для которых решение задачи имеет наиболее простой вид — это гравитационные волны на мелкой воде и на глубокой воде.

Гравитационные волны на мелкой воде

Приближение волн на мелкой воде справедливо в тех случаях, когда длина волны существенно превышает глубину водоёма. Классический пример таких волн — это цунами в океане: до тех пор, пока цунами не вышла на берег, она представляет собой волну амплитудой порядка нескольких метров и длиной в десятки и сотни километров, что, конечно же, существенно больше глубины океана.

Закон дисперсии и скорости волны в этом случае имеет вид:

<math>\omega = \sqrt{gH}\cdot k\,;\quad v_{ph} = v_{gr} = \sqrt{gH},</math>

где <math>H</math> — глубина водоёма (расcтояние до дна от поверхности),

<math>g</math> — напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения).

<math>\omega</math> — угловая частота колебания в волне,

<math>k</math> — волновое число (величина, обратная длине волны),

<math>v_{ph}, v_{gr}</math> — фазовая и групповая скорости соответственно.

Такой закон дисперсии приводит к некоторым явлениям, которые можно легко заметить на морском берегу.

• Даже если волна в открытом море шла под углом к берегу, то при выходе на берег гребни волны имеют тенденцию разворачиваться параллельно берегу. Это связано с тем, что вблизи берега, когда глубина начинает постепенно уменьшаться, скорость волны падает. Поэтому косая волна притормаживает на подходе к берегу, разворачиваясь при этом.
• За счёт аналогичного механизма при подходе к берегу уменьшается продольный размер цунами, при этом высота волны возрастает.

Гравитационные волны на глубокой воде

Приближение волны на глубокой воде справедливо, когда глубина водоёма значительно превышает длину волны. В этом случае для простоты рассматривают бесконечно глубокий водоём. Это обоснованно, поскольку при колебаниях поверхности реально движется не вся толща воды, а лишь приповерхностный слой глубиной порядка длины волны.

Закон дисперсии и скорости волны в этом случае имеет вид:

<math> \omega = \sqrt{gk}\,;\quad v_{ph} = 2 v_{gr} = \sqrtШаблон:G\over k. </math>

Из выписанного закона следует, что и фазовая, и групповая скорость гравитационных волн в этом случае оказывается пропорциональной длине волны. Другими словами, длинноволновые колебания будут распространяться по воде быстрее коротковолновых, что приводит к ряду интересных явлений:

• Бросив камень в воду и глядя на круги, образуемые им, можно заметить, что граница волн расширяется не равномерно, а примерно равноускоренно. При этом чем больше граница, тем более длинноволновыми колебаниями она формируется.
• Красивым следствием выписанного закона дисперсии являются корабельные волны.

Гравитационные волны в общем случае

Если длина волны сравнима с глубиной бассейна H, то закон дисперсии в этом случае имеет вид:

<math> \omega = \sqrt{gk\cdot th(kH)}\,. </math>

Некоторые проблемы теории гравитационных волн на воде

• До сих пор не понят механизм формирования и устойчивости так называемых волн-убийц — внезапных волн экстремальной амплитуды.

Литература

• Грац Ю. В. Лекции по гидродинамике.-М., Ленанд, 2014

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Гравитационные волны (гидродинамика)

Бледный, с трясущейся губой, Пьер рванул лист. – Вы… вы… негодяй!.. я вас вызываю, – проговорил он, и двинув стул, встал из за стола. В ту самую секунду, как Пьер сделал это и произнес эти слова, он почувствовал, что вопрос о виновности его жены, мучивший его эти последние сутки, был окончательно и несомненно решен утвердительно. Он ненавидел ее и навсегда был разорван с нею. Несмотря на просьбы Денисова, чтобы Ростов не вмешивался в это дело, Ростов согласился быть секундантом Долохова, и после стола переговорил с Несвицким, секундантом Безухова, об условиях дуэли. Пьер уехал домой, а Ростов с Долоховым и Денисовым до позднего вечера просидели в клубе, слушая цыган и песенников.
– Так до завтра, в Сокольниках, – сказал Долохов, прощаясь с Ростовым на крыльце клуба.
– И ты спокоен? – спросил Ростов…
Долохов остановился. – Вот видишь ли, я тебе в двух словах открою всю тайну дуэли. Ежели ты идешь на дуэль и пишешь завещания да нежные письма родителям, ежели ты думаешь о том, что тебя могут убить, ты – дурак и наверно пропал; а ты иди с твердым намерением его убить, как можно поскорее и повернее, тогда всё исправно. Как мне говаривал наш костромской медвежатник: медведя то, говорит, как не бояться? да как увидишь его, и страх прошел, как бы только не ушел! Ну так то и я. A demain, mon cher! [До завтра, мой милый!]
На другой день, в 8 часов утра, Пьер с Несвицким приехали в Сокольницкий лес и нашли там уже Долохова, Денисова и Ростова. Пьер имел вид человека, занятого какими то соображениями, вовсе не касающимися до предстоящего дела. Осунувшееся лицо его было желто. Он видимо не спал ту ночь. Он рассеянно оглядывался вокруг себя и морщился, как будто от яркого солнца. Два соображения исключительно занимали его: виновность его жены, в которой после бессонной ночи уже не оставалось ни малейшего сомнения, и невинность Долохова, не имевшего никакой причины беречь честь чужого для него человека. «Может быть, я бы то же самое сделал бы на его месте, думал Пьер. Даже наверное я бы сделал то же самое; к чему же эта дуэль, это убийство? Или я убью его, или он попадет мне в голову, в локоть, в коленку. Уйти отсюда, бежать, зарыться куда нибудь», приходило ему в голову. Но именно в те минуты, когда ему приходили такие мысли. он с особенно спокойным и рассеянным видом, внушавшим уважение смотревшим на него, спрашивал: «Скоро ли, и готово ли?»
Когда всё было готово, сабли воткнуты в снег, означая барьер, до которого следовало сходиться, и пистолеты заряжены, Несвицкий подошел к Пьеру.
– Я бы не исполнил своей обязанности, граф, – сказал он робким голосом, – и не оправдал бы того доверия и чести, которые вы мне сделали, выбрав меня своим секундантом, ежели бы я в эту важную минуту, очень важную минуту, не сказал вам всю правду. Я полагаю, что дело это не имеет достаточно причин, и что не стоит того, чтобы за него проливать кровь… Вы были неправы, не совсем правы, вы погорячились…
– Ах да, ужасно глупо… – сказал Пьер.
– Так позвольте мне передать ваше сожаление, и я уверен, что наши противники согласятся принять ваше извинение, – сказал Несвицкий (так же как и другие участники дела и как и все в подобных делах, не веря еще, чтобы дело дошло до действительной дуэли). – Вы знаете, граф, гораздо благороднее сознать свою ошибку, чем довести дело до непоправимого. Обиды ни с одной стороны не было. Позвольте мне переговорить…
– Нет, об чем же говорить! – сказал Пьер, – всё равно… Так готово? – прибавил он. – Вы мне скажите только, как куда ходить, и стрелять куда? – сказал он, неестественно кротко улыбаясь. – Он взял в руки пистолет, стал расспрашивать о способе спуска, так как он до сих пор не держал в руках пистолета, в чем он не хотел сознаваться. – Ах да, вот так, я знаю, я забыл только, – говорил он.
– Никаких извинений, ничего решительно, – говорил Долохов Денисову, который с своей стороны тоже сделал попытку примирения, и тоже подошел к назначенному месту.
Место для поединка было выбрано шагах в 80 ти от дороги, на которой остались сани, на небольшой полянке соснового леса, покрытой истаявшим от стоявших последние дни оттепелей снегом. Противники стояли шагах в 40 ка друг от друга, у краев поляны. Секунданты, размеряя шаги, проложили, отпечатавшиеся по мокрому, глубокому снегу, следы от того места, где они стояли, до сабель Несвицкого и Денисова, означавших барьер и воткнутых в 10 ти шагах друг от друга. Оттепель и туман продолжались; за 40 шагов ничего не было видно. Минуты три всё было уже готово, и всё таки медлили начинать, все молчали.


– Ну, начинать! – сказал Долохов.
– Что же, – сказал Пьер, всё так же улыбаясь. – Становилось страшно. Очевидно было, что дело, начавшееся так легко, уже ничем не могло быть предотвращено, что оно шло само собою, уже независимо от воли людей, и должно было совершиться. Денисов первый вышел вперед до барьера и провозгласил:
– Так как п'отивники отказались от п'ими'ения, то не угодно ли начинать: взять пистолеты и по слову т'и начинать сходиться.