Гравитационный парадокс

Гравитацио́нный парадо́кс, или парадокс Неймана — Зелигера — историческая космологическая проблема, вытекающая из классической теории тяготения и формулирующаяся следующим образом:

В бесконечной Вселенной с евклидовой геометрией и ненулевой средней плотностью вещества гравитационный потенциал всюду принимает бесконечное значение.

Парадокс назван по именам впервые опубликовавших его немецких учёных К. Неймана и Г. Зелигера. Гравитационный парадокс оказался самым серьёзным затруднением теории тяготения Ньютона, и обсуждение этой темы сыграло значительную роль в осознании научным сообществом того факта, что классическая теория тяготения непригодна для решения космологических проблем. Многочисленные попытки улучшить теорию тяготения увенчались успехом в 1915 году, когда А. Эйнштейн завершил разработку общей теории относительности, в которой данный парадокс не имеет места.

История появления

Если плотность вещества ρ произвольно распределена в пространстве, то создаваемое им гравитационное поле в классической теории определяется гравитационным потенциалом φ. Для нахождения этого потенциала надо решить уравнение Пуассона:

<math>\Delta \varphi = -4 \pi G \rho, </math>

Здесь <math>G</math> — гравитационная постоянная. Общее решение этого уравнения записывается в виде:

{{{2}}}

+ C, </math> |ref=1 }}

где r — расстояние между элементом объёма dV и точкой, в которой определяется потенциал φ, С — произвольная постоянная.

В 1894—1896 годах немецкие учёные К. Нейман и Г. Зелигер, независимо друг от друга, проанализировали поведение интеграла в формуле (1) для всей бесконечной Вселенной. Выяснилось, что если средняя плотность вещества во Вселенной ненулевая, то интеграл расходится. Более того, чтобы потенциал принимал конечное значение, необходимо, чтобы средняя плотность вещества во Вселенной с ростом <math>r</math> убывала быстрее, чем <math>\frac{1}{r^2}.</math> Если указанное условие нарушено, то, как показал Зелигер, в зависимости от способа перехода к пределу в интеграле действующая на произвольное тело сила тяготения может принимать любое значение, включая бесконечное.

Зелигер заключил, что с ростом масштаба во Вселенной средняя плотность вещества должна быстро убывать и в пределе стремиться к нулю. Этот вывод противоречил традиционным представлениям о бесконечности и однородности Вселенной и порождал сомнение в том, пригодна ли ньютоновская теория для исследования космологических проблем.

Предложения по решению проблемы

На рубеже XIX—XX веков были предложены несколько вариантов решения проблемы.

Конечная масса вещества

Проще всего предположить, что во Вселенной существует лишь конечное количество вещества. Эту гипотезу рассматривал ещё Исаак Ньютон в письме Ричарду Бентли. Анализ показал, что подобный «звёздный остров» со временем, под действием взаимовлияния звёзд, либо соединится в одно тело, либо рассеется в бесконечной пустоте. А. Эйнштейн, рассматривая принцип однородного распределения вещества в бесконечной Вселенной, писал:

Это представление несовместимо с теорией Ньютона. Больше того, последняя требует, чтобы мир имел нечто вроде центра, где плотность числа звёзд была бы максимальной, и чтобы эта плотность убывала с расстоянием от центра так, что на бесконечности мир был бы совсем пустым. Звёздный мир должен представлять собой конечный остров в бесконечном океане пространства.

Это представление не очень удовлетворительно само по себе. Оно неудовлетворительно ещё и потому, что приводит к следствию, что свет, излучаемый звёздами, а также отдельные звёзды звёздной системы должны непрерывно удаляться в бесконечность, никогда не возвращаясь и не вступая во взаимодействие с другими объектами природы. Такой мир, материя которого сконцентрирована в конечном пространстве, должен был бы медленно, но систематически опустошаться.

Иерархическая Вселенная

Иерархическая, или «фрактальная» космология, восходящая ещё к учёному XVIII века Иоганну Ламберту, явилась более изощрённой попыткой решить проблему. Ламберт в 1761 году опубликовал «Космологические письма о строении Вселенной», где предположил, что Вселенная устроена иерархично: каждая звезда с планетами образует систему первого уровня, далее эти звёзды объединяются в систему второго уровня и т. д. В 1908 году шведский астроном Карл Шарлье показал, что в иерархической модели Ламберта для устранения гравитационного парадокса достаточно предположить для каждых двух соседних уровней иерархии следующее соотношение между размерами <math>R_k</math> систем и средним числом <math>N_k</math> систем нижнего уровня в системе следующего уровня:

<math>\frac{R_{k}}{R_{k-1}} > \sqrt{N_{k}},</math>

то есть размеры систем должны расти достаточно быстро. В XXI веке идеи Шарлье почти не имеют последователей, так как модель Ламберта (и фрактальная космология вообще) противоречит ряду современных наблюдательных данных, в особенности различным косвенным свидетельствам малости колебаний гравитационного потенциала в видимой вселенной.

Модификация закона всемирного тяготения

Третья группа гипотез содержала различные модификации закона всемирного тяготения. Немецкий физик Август Фёппль предположил (1897), что во Вселенной существует вещество с отрицательной массой, компенсирующее избыток тяготения. Гипотезу о существовании вещества с отрицательной массой ещё в 1885 году выдвинул английский математик и статистик Карл Пирсон, он считал, что «минус-вещество», отталкиваясь от обычного, переместилось в отдалённые районы Вселенной, но некоторые известные звёзды с быстрым собственным движением, возможно, состоят из такого вещества. Уильям Томсон (лорд Кельвин) (1884 год) аналогичную гасящую роль отводил эфиру, который, по его мнению, притягивает только сам себя, создавая дополнительное давление.

Ряд учёных пытались исходить из необъяснимого в рамках ньютоновской теории аномального смещения перигелия Меркурия. Простейшим вариантом была «гипотеза Холла», согласно которой квадрат расстояния в формуле закона всемирного тяготения следует заменить на немного бо́льшую степень. Такая корректировка достигала сразу двух целей — гравитационный парадокс исчезал (интегралы становились конечными), а смещение перигелия Меркурия можно было объяснить, подобрав подходящий показатель степени для расстояния. Однако, как вскоре выяснилось, движение Луны не согласуется с новым законом.

Зелигер и Нейман предложили ещё одну модификацию закона всемирного тяготения:

<math>F = G \cdot {m_1 \cdot m_2\over R^2} e^{-\lambda R}</math>

В ней дополнительный множитель <math>e^{-\lambda R}</math> обеспечивает более быстрое, чем у Ньютона, убывание тяготения с расстоянием. Подбор коэффициента затухания <math>\lambda</math> позволял также объяснить смещение перигелия Меркурия, однако движение Венеры, Земли и Марса переставало соответствовать наблюдениям.

Были и другие попытки улучшить теорию гравитации, но до работ А. Эйнштейна все они были безуспешны — новые теории либо не объясняли в полной мере смещение перигелия Меркурия, либо давали ошибочные результаты для других планет.

Неевклидова геометрия пространства

С 1870-х годов начали появляться первые гипотезы о том, что для решения парадокса следует предположить у Вселенной неевклидову геометрию (Шеринг, Киллинг, позднее Шварцшильд и Пуанкаре). Немецкий астроном Пауль Харцер склонялся к мнению, что кривизна пространства положительна, поскольку тогда объём Вселенной конечен, и наряду с гравитационным отпадает также фотометрический парадокс. Однако объяснить смещение перигелия Меркурия с помощью этой гипотезы не удалось — расчёты показали, что получается неправдоподобно большая кривизна пространства.

Современная трактовка

Ньютоновская теория тяготения, как выяснилось в начале XX века, неприменима для расчёта сильных полей тяготения. В современной физике она заменена на общую теорию относительности А. Эйнштейна (ОТО). Новая теория тяготения привела к созданию науки космологии, включающей ряд разнообразных моделей устройства мироздания. В этих моделях гравитационный парадокс не возникает, поскольку сила тяготения в ОТО есть локальное следствие неевклидовой метрики пространства-времени, и поэтому сила всегда однозначно определена и конечна.

Первую статью по релятивистской космологии опубликовал сам Эйнштейн в 1917 году, она называлась «Вопросы космологии и общая теория относительности» (нем. Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie). В этой статье Эйнштейн сослался на гравитационный парадокс как доказательство неприменимости ньютоновской теории в космологии, и заключил: «Эти трудности, по-видимому, нельзя преодолеть, оставаясь в рамках теории Ньютона».

См. также

• Космологические парадоксы
• Фотометрический парадокс

Литература

• Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения. Истоки и формирование. 1900—1915 гг. — М.: Наука, 1981. — С. 34—37, 55—56. — 352 с.
• Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. — М.: Прогресс, 1967. — С. 134—135.
  • Переиздание: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00363-6.
• Зельманов А. Л. Нерелятивистский гравитационный парадокс и общая теория относительности // Научные доклады высшей школы. Физико-математические науки. — 1958. — № 2. — С. 124.
• Киппер Α. Я. [erb.nlib.ee/?kid=18078461&oid=91fafb02 О гравитационном парадоксе] // Сб.: Вопросы космогонии. — 1962. — Т. 8. — С. 58—96.
• Климишин И. А. Релятивистская астрономия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1989. — С. 41—46. — ISBN 5-02-014074-0.
• Новиков И. Д. Гравитационный парадокс // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад. А. М. Прохорова. — М.: Советская Энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 531—532. — ISBN 5-85270-034-7.
• Новиков И. Д. [physiclib.ru/books/item/f00/s00/z0000022/st014.shtml § 12. Гравитационный парадокс] // Эволюция Вселенной. — 2-е изд. — М.: Наука, 1983.
• Эйнштейн А. О специальной и общей теории относительности (общедоступное изложение) // Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1965. — Т. I. — С. 530—600. — 700 с.
• Norton, John D. The Cosmological Woes of Newtonian Gravitation Theory // H. Goenner, J. Renn, J. Ritter, T. Sauer, eds. The Expanding Worlds of General Relativity: Einstein Studies. — Boston: Birkhauser, 1999. — Vol. 7. — P. 271—322.

Ссылки

• Павленко А. Н. [iph.ras.ru/uplfile/onsc/Princip_nabludaemosti.pdf Принцип наблюдаемости]. Институт философии РАН. Проверено 8 мая 2014.

Отрывок, характеризующий Гравитационный парадокс

Возвращаясь домой из Воронцова и проезжая по Болотной площади, Пьер увидал толпу у Лобного места, остановился и слез с дрожек. Это была экзекуция французского повара, обвиненного в шпионстве. Экзекуция только что кончилась, и палач отвязывал от кобылы жалостно стонавшего толстого человека с рыжими бакенбардами, в синих чулках и зеленом камзоле. Другой преступник, худенький и бледный, стоял тут же. Оба, судя по лицам, были французы. С испуганно болезненным видом, подобным тому, который имел худой француз, Пьер протолкался сквозь толпу.
– Что это? Кто? За что? – спрашивал он. Но вниманье толпы – чиновников, мещан, купцов, мужиков, женщин в салопах и шубках – так было жадно сосредоточено на то, что происходило на Лобном месте, что никто не отвечал ему. Толстый человек поднялся, нахмурившись, пожал плечами и, очевидно, желая выразить твердость, стал, не глядя вокруг себя, надевать камзол; но вдруг губы его задрожали, и он заплакал, сам сердясь на себя, как плачут взрослые сангвинические люди. Толпа громко заговорила, как показалось Пьеру, – для того, чтобы заглушить в самой себе чувство жалости.
– Повар чей то княжеский…
– Что, мусью, видно, русский соус кисел французу пришелся… оскомину набил, – сказал сморщенный приказный, стоявший подле Пьера, в то время как француз заплакал. Приказный оглянулся вокруг себя, видимо, ожидая оценки своей шутки. Некоторые засмеялись, некоторые испуганно продолжали смотреть на палача, который раздевал другого.
Пьер засопел носом, сморщился и, быстро повернувшись, пошел назад к дрожкам, не переставая что то бормотать про себя в то время, как он шел и садился. В продолжение дороги он несколько раз вздрагивал и вскрикивал так громко, что кучер спрашивал его:
– Что прикажете?
– Куда ж ты едешь? – крикнул Пьер на кучера, выезжавшего на Лубянку.
– К главнокомандующему приказали, – отвечал кучер.
– Дурак! скотина! – закричал Пьер, что редко с ним случалось, ругая своего кучера. – Домой я велел; и скорее ступай, болван. Еще нынче надо выехать, – про себя проговорил Пьер.
Пьер при виде наказанного француза и толпы, окружавшей Лобное место, так окончательно решил, что не может долее оставаться в Москве и едет нынче же в армию, что ему казалось, что он или сказал об этом кучеру, или что кучер сам должен был знать это.
Приехав домой, Пьер отдал приказание своему все знающему, все умеющему, известному всей Москве кучеру Евстафьевичу о том, что он в ночь едет в Можайск к войску и чтобы туда были высланы его верховые лошади. Все это не могло быть сделано в тот же день, и потому, по представлению Евстафьевича, Пьер должен был отложить свой отъезд до другого дня, с тем чтобы дать время подставам выехать на дорогу.
24 го числа прояснело после дурной погоды, и в этот день после обеда Пьер выехал из Москвы. Ночью, переменя лошадей в Перхушкове, Пьер узнал, что в этот вечер было большое сражение. Рассказывали, что здесь, в Перхушкове, земля дрожала от выстрелов. На вопросы Пьера о том, кто победил, никто не мог дать ему ответа. (Это было сражение 24 го числа при Шевардине.) На рассвете Пьер подъезжал к Можайску.
Все дома Можайска были заняты постоем войск, и на постоялом дворе, на котором Пьера встретили его берейтор и кучер, в горницах не было места: все было полно офицерами.
В Можайске и за Можайском везде стояли и шли войска. Казаки, пешие, конные солдаты, фуры, ящики, пушки виднелись со всех сторон. Пьер торопился скорее ехать вперед, и чем дальше он отъезжал от Москвы и чем глубже погружался в это море войск, тем больше им овладевала тревога беспокойства и не испытанное еще им новое радостное чувство. Это было чувство, подобное тому, которое он испытывал и в Слободском дворце во время приезда государя, – чувство необходимости предпринять что то и пожертвовать чем то. Он испытывал теперь приятное чувство сознания того, что все то, что составляет счастье людей, удобства жизни, богатство, даже самая жизнь, есть вздор, который приятно откинуть в сравнении с чем то… С чем, Пьер не мог себе дать отчета, да и ее старался уяснить себе, для кого и для чего он находит особенную прелесть пожертвовать всем. Его не занимало то, для чего он хочет жертвовать, но самое жертвование составляло для него новое радостное чувство.


24 го было сражение при Шевардинском редуте, 25 го не было пущено ни одного выстрела ни с той, ни с другой стороны, 26 го произошло Бородинское сражение.
Для чего и как были даны и приняты сражения при Шевардине и при Бородине? Для чего было дано Бородинское сражение? Ни для французов, ни для русских оно не имело ни малейшего смысла. Результатом ближайшим было и должно было быть – для русских то, что мы приблизились к погибели Москвы (чего мы боялись больше всего в мире), а для французов то, что они приблизились к погибели всей армии (чего они тоже боялись больше всего в мире). Результат этот был тогда же совершении очевиден, а между тем Наполеон дал, а Кутузов принял это сражение.
Ежели бы полководцы руководились разумными причинами, казалось, как ясно должно было быть для Наполеона, что, зайдя за две тысячи верст и принимая сражение с вероятной случайностью потери четверти армии, он шел на верную погибель; и столь же ясно бы должно было казаться Кутузову, что, принимая сражение и тоже рискуя потерять четверть армии, он наверное теряет Москву. Для Кутузова это было математически ясно, как ясно то, что ежели в шашках у меня меньше одной шашкой и я буду меняться, я наверное проиграю и потому не должен меняться.
Когда у противника шестнадцать шашек, а у меня четырнадцать, то я только на одну восьмую слабее его; а когда я поменяюсь тринадцатью шашками, то он будет втрое сильнее меня.
До Бородинского сражения наши силы приблизительно относились к французским как пять к шести, а после сражения как один к двум, то есть до сражения сто тысяч; ста двадцати, а после сражения пятьдесят к ста. А вместе с тем умный и опытный Кутузов принял сражение. Наполеон же, гениальный полководец, как его называют, дал сражение, теряя четверть армии и еще более растягивая свою линию. Ежели скажут, что, заняв Москву, он думал, как занятием Вены, кончить кампанию, то против этого есть много доказательств. Сами историки Наполеона рассказывают, что еще от Смоленска он хотел остановиться, знал опасность своего растянутого положения знал, что занятие Москвы не будет концом кампании, потому что от Смоленска он видел, в каком положении оставлялись ему русские города, и не получал ни одного ответа на свои неоднократные заявления о желании вести переговоры.
Давая и принимая Бородинское сражение, Кутузов и Наполеон поступили непроизвольно и бессмысленно. А историки под совершившиеся факты уже потом подвели хитросплетенные доказательства предвидения и гениальности полководцев, которые из всех непроизвольных орудий мировых событий были самыми рабскими и непроизвольными деятелями.
Древние оставили нам образцы героических поэм, в которых герои составляют весь интерес истории, и мы все еще не можем привыкнуть к тому, что для нашего человеческого времени история такого рода не имеет смысла.
На другой вопрос: как даны были Бородинское и предшествующее ему Шевардинское сражения – существует точно так же весьма определенное и всем известное, совершенно ложное представление. Все историки описывают дело следующим образом:
Русская армия будто бы в отступлении своем от Смоленска отыскивала себе наилучшую позицию для генерального сражения, и таковая позиция была найдена будто бы у Бородина.
Русские будто бы укрепили вперед эту позицию, влево от дороги (из Москвы в Смоленск), под прямым почти углом к ней, от Бородина к Утице, на том самом месте, где произошло сражение.
Впереди этой позиции будто бы был выставлен для наблюдения за неприятелем укрепленный передовой пост на Шевардинском кургане. 24 го будто бы Наполеон атаковал передовой пост и взял его; 26 го же атаковал всю русскую армию, стоявшую на позиции на Бородинском поле.
Так говорится в историях, и все это совершенно несправедливо, в чем легко убедится всякий, кто захочет вникнуть в сущность дела.
Русские не отыскивали лучшей позиции; а, напротив, в отступлении своем прошли много позиций, которые были лучше Бородинской. Они не остановились ни на одной из этих позиций: и потому, что Кутузов не хотел принять позицию, избранную не им, и потому, что требованье народного сражения еще недостаточно сильно высказалось, и потому, что не подошел еще Милорадович с ополчением, и еще по другим причинам, которые неисчислимы. Факт тот – что прежние позиции были сильнее и что Бородинская позиция (та, на которой дано сражение) не только не сильна, но вовсе не есть почему нибудь позиция более, чем всякое другое место в Российской империи, на которое, гадая, указать бы булавкой на карте.
Русские не только не укрепляли позицию Бородинского поля влево под прямым углом от дороги (то есть места, на котором произошло сражение), но и никогда до 25 го августа 1812 года не думали о том, чтобы сражение могло произойти на этом месте. Этому служит доказательством, во первых, то, что не только 25 го не было на этом месте укреплений, но что, начатые 25 го числа, они не были кончены и 26 го; во вторых, доказательством служит положение Шевардинского редута: Шевардинский редут, впереди той позиции, на которой принято сражение, не имеет никакого смысла. Для чего был сильнее всех других пунктов укреплен этот редут? И для чего, защищая его 24 го числа до поздней ночи, были истощены все усилия и потеряно шесть тысяч человек? Для наблюдения за неприятелем достаточно было казачьего разъезда. В третьих, доказательством того, что позиция, на которой произошло сражение, не была предвидена и что Шевардинский редут не был передовым пунктом этой позиции, служит то, что Барклай де Толли и Багратион до 25 го числа находились в убеждении, что Шевардинский редут есть левый фланг позиции и что сам Кутузов в донесении своем, писанном сгоряча после сражения, называет Шевардинский редут левым флангом позиции. Уже гораздо после, когда писались на просторе донесения о Бородинском сражении, было (вероятно, для оправдания ошибок главнокомандующего, имеющего быть непогрешимым) выдумано то несправедливое и странное показание, будто Шевардинский редут служил передовым постом (тогда как это был только укрепленный пункт левого фланга) и будто Бородинское сражение было принято нами на укрепленной и наперед избранной позиции, тогда как оно произошло на совершенно неожиданном и почти не укрепленном месте.
Дело же, очевидно, было так: позиция была избрана по реке Колоче, пересекающей большую дорогу не под прямым, а под острым углом, так что левый фланг был в Шевардине, правый около селения Нового и центр в Бородине, при слиянии рек Колочи и Во йны. Позиция эта, под прикрытием реки Колочи, для армии, имеющей целью остановить неприятеля, движущегося по Смоленской дороге к Москве, очевидна для всякого, кто посмотрит на Бородинское поле, забыв о том, как произошло сражение.
Наполеон, выехав 24 го к Валуеву, не увидал (как говорится в историях) позицию русских от Утицы к Бородину (он не мог увидать эту позицию, потому что ее не было) и не увидал передового поста русской армии, а наткнулся в преследовании русского арьергарда на левый фланг позиции русских, на Шевардинский редут, и неожиданно для русских перевел войска через Колочу. И русские, не успев вступить в генеральное сражение, отступили своим левым крылом из позиции, которую они намеревались занять, и заняли новую позицию, которая была не предвидена и не укреплена. Перейдя на левую сторону Колочи, влево от дороги, Наполеон передвинул все будущее сражение справа налево (со стороны русских) и перенес его в поле между Утицей, Семеновским и Бородиным (в это поле, не имеющее в себе ничего более выгодного для позиции, чем всякое другое поле в России), и на этом поле произошло все сражение 26 го числа. В грубой форме план предполагаемого сражения и происшедшего сражения будет следующий:

Ежели бы Наполеон не выехал вечером 24 го числа на Колочу и не велел бы тотчас же вечером атаковать редут, а начал бы атаку на другой день утром, то никто бы не усомнился в том, что Шевардинский редут был левый фланг нашей позиции; и сражение произошло бы так, как мы его ожидали. В таком случае мы, вероятно, еще упорнее бы защищали Шевардинский редут, наш левый фланг; атаковали бы Наполеона в центре или справа, и 24 го произошло бы генеральное сражение на той позиции, которая была укреплена и предвидена. Но так как атака на наш левый фланг произошла вечером, вслед за отступлением нашего арьергарда, то есть непосредственно после сражения при Гридневой, и так как русские военачальники не хотели или не успели начать тогда же 24 го вечером генерального сражения, то первое и главное действие Бородинского сражения было проиграно еще 24 го числа и, очевидно, вело к проигрышу и того, которое было дано 26 го числа.