Гравитационный потенциал

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Гравитацио́нный потенциа́л — скалярная функция координат и времени, достаточная для полного описания гравитационного поля в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой <math>\varphi</math>. Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии материальной точки, помещённой в рассматриваемую точку гравитационного поля, к массе этой точки. Впервые понятие гравитационного потенциала ввёл в науку Адриен Мари Лежандр в конце XVIII века.

  • В современных теориях гравитации роль гравитационного потенциала играют обычно тензорные поля. Так, в стандартной в наше время теории гравитации — общей теории относительности — роль гравитационного потенциала играет метрический тензор.




Гравитационный потенциал и уравнения движения

Движение частицы в гравитационном поле в классической механике определяется функцией Лагранжа, имеющей в инерциальной системе отсчета вид:

<math>L=\frac{m\dot q^2}{2}-m\varphi</math>, где: <math>m</math> — масса частицы, <math>q</math> — координата частицы, <math>\varphi</math> — потенциал гравитационного поля.

Подставляя выражение для лагранжиана L в уравнения Лагранжа:

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0</math>,

получаем уравнения движения

<math>\ddot q= - grad (\varphi)</math>.

Гравитационный потенциал и принцип эквивалентности

Уравнения движения частицы в гравитационном поле в классической механике не содержат массы или другой величины, характеризующей частицу. Это является выражением основного свойства гравитационного поля — принципа эквивалентности.

Гравитационный потенциал точечной частицы и произвольного тела

Гравитационный потенциал точечной частицы равен: <math>\varphi=-\frac{Gm}{R}</math>, где <math>G</math> — гравитационная постоянная, <math>m</math> — масса частицы, <math>R</math> — расстояние от частицы. Эта же формула справедлива и для гравитационного потенциала любого тела со сферически-симметричным распределением плотности массы внутри него.

Для тела с произвольным распределением плотности массы <math>\rho</math> гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона: <math>\Delta \varphi=-4 \pi G \rho</math>, где <math>\Delta</math> — оператор Лапласа, <math>\rho</math> — объёмная плотность распределения массы в рассматриваемой точке. Общее решение этого уравнения имеет вид: <math>\varphi=-G\int_{V}\frac{\rho dV}{r},</math> где r — расстояние от элемента объёма dV до рассматриваемой точки поля, а интегрирование производится по всему объёму тел, создающих поле. Гравитационный потенциал симметричного тела симметричен.

Гравитационный потенциал и потенциальная энергия

Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле равна её массе, умноженной на потенциал поля. Для потенциальной энергии любого распределения масс справедливо выражение:

<math>U=\frac{1}{2}\int{\mu \varphi dV}, \qquad\qquad (1)</math>

где <math>\mu</math> — плотность массы тела, <math>\varphi</math> — гравитационный потенциал, <math>V</math> — объём тела.

Гравитационный потенциал постоянного гравитационного поля

Формула для гравитационного потенциала произвольного тела имеет вид:

<math>\varphi=-G\left(\frac{M}{R_0}+\frac{1}{6}D_{\alpha\beta}\frac{\partial^2}{\partial{X_\alpha}\partial{X_\beta}}\frac{1}{R_0}+...\right)\qquad\qquad (2),</math>

где <math>M = \int \mu dV</math> — полная масса системы, а величины:

<math>D_{\alpha\beta}=\int \mu (3x_{\alpha}x_{\beta}-r^2\delta_{\alpha\beta}) dV</math>

можно назвать тензором квадрупольного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции

<math>J_{\alpha\beta}=\int \mu (r^2\delta_{\alpha\beta}-x_{\alpha}x_{\beta}) dV</math>

очевидными соотношениями

<math>D_{\alpha\beta}=J_{\gamma\gamma}\delta_{\alpha\beta}-3J_{\alpha\beta}.</math>

Гравитационный потенциал планет

В общем случае гравитационный потенциал любого космического тела может быть разложен по сферическим функциям:

<math>U=\frac{GM}{r}\left(1-\sum_{n=2}^{\infty}J_n\left(\frac{R}{r}\right)^nP_n(\sin\theta)+\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^n \left(\frac{R}{r}\right)^n(C_{nm}\cos(m\lambda)+S_{nm} \sin(m\lambda)) P_n^k(\sin\theta)\right).</math>

Здесь <math>r, \theta, \lambda</math> - сферические координаты в точке наблюдений, <math>P_{n}</math> - полином Лежандра n-го порядка, <math>P_{n}^{k}</math> - присоединенные полиномы Лежандра, <math>J_{n}, C_{nm}, S_{nm}</math> - гравитационные моменты[1].

Гравитационный потенциал и гравитационная энергия тела

Гравитационная энергия тела получается интегрированием выражения (1) по объёму тела с использованием выражения для потенциала (2). Для шара массы m, радиусом a, с равномерным распределением плотности масс, получается значение U гравитационной энергии тела:

<math>U=\frac{-3Gm^2}{5a}.</math>

Гравитационный потенциал и общая теория относительности

Основной источник: [2]

В общей теории относительности уравнения движения материальной точки в гравитационном поле имеют вид:

<math>\frac{d^{2}x^{i}}{ds^2} + \Gamma^{i}_{rs}\frac{dx^r}{ds}\frac{dx^s}{ds} = 0</math>,

где <math>\Gamma^{i}_{rs} = \frac{g^{ik}}{2}(\frac{dg_{kr}}{dx^{s}} + \frac{dg_{ks}}{dx^{r}} - \frac{dg_{rs}}{dx^{k}})</math> — символы Кристоффеля. Здесь <math>g_{ik}</math> — метрический тензор, характеризующий гравитационное поле в общей теории относительности.

Из сравнения этих уравнений движения с уравнениями движения ньютоновской механики <math>\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}} = -\frac{d\varphi}{dx^{i}}</math> видно, что в общей теории относительности роль гравитационного потенциала <math>\varphi</math> играет метрический тензор.

В случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света, и слабых постоянных гравитационных полей уравнения движения принимают вид

<math>\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}} = -c^{2} \Gamma^{i}_{44}</math>

для пространственных координат <math>i=1,2,3</math> и <math>x^{4}=ct</math> для временной координаты. Пренебрегая производными по времени, вместо <math>\Gamma^{i}_{44}</math> можно подставить <math>-\frac{1}{2}\frac{dg_{44}}{dx^{i}}</math> и таким образом получить ньютоновские уравнения движения <math>\frac{d^2x^i}{dt^2}=-\frac{d\varphi}{dx^{i}}</math>. Здесь гравитационный потенциал <math>\varphi</math> и компонента метрического тензора <math>g_{44}</math> связаны соотношениями

<math>\varphi = -\frac{1}{2}c^{2}(g_{44}+1)</math>, <math>g_{44}=-\left(1+\frac{2\varphi}{c^2}\right)</math>.

В силу того, что элемент мировой линии покоящихся часов равен <math>ds^{2} = g_{44}(dx^4)^2</math>, а время <math>t=\frac{x^4}{c}</math>, замедление хода часов в гравитационном поле будет

<math>t_g = \frac{t}{\sqrt{-g_{44}}} = \frac{t}{\sqrt{1+\frac{2\varphi}{c^2}}} \approx t(1-\frac{\varphi}{c^2})</math>.

Относительное замедление хода времени в точке с меньшим значением гравитационного потенциала по сравнению с временем в точке с большим значением гравитационного потенциала равно разности гравитационных потенциалов в этих точках, делённой на квадрат скорости света.

См. также

Напишите отзыв о статье "Гравитационный потенциал"

Примечания

  1. Внутреннее строение Земли и планет, 1978, с. 46.
  2. В. Паули Теория относительности, М., ОГИЗ, 1947, тир. 16000 экз., 300 стр.

Литература

  1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2002, 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
  2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2001, 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
  3. С. Вейнберг «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
  4. К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008. — 72 с., ББК 22.6.
  5. Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.

Отрывок, характеризующий Гравитационный потенциал

На родиму сторону…
Жерков тронул шпорами лошадь, которая раза три, горячась, перебила ногами, не зная, с какой начать, справилась и поскакала, обгоняя роту и догоняя коляску, тоже в такт песни.


Возвратившись со смотра, Кутузов, сопутствуемый австрийским генералом, прошел в свой кабинет и, кликнув адъютанта, приказал подать себе некоторые бумаги, относившиеся до состояния приходивших войск, и письма, полученные от эрцгерцога Фердинанда, начальствовавшего передовою армией. Князь Андрей Болконский с требуемыми бумагами вошел в кабинет главнокомандующего. Перед разложенным на столе планом сидели Кутузов и австрийский член гофкригсрата.
– А… – сказал Кутузов, оглядываясь на Болконского, как будто этим словом приглашая адъютанта подождать, и продолжал по французски начатый разговор.
– Я только говорю одно, генерал, – говорил Кутузов с приятным изяществом выражений и интонации, заставлявшим вслушиваться в каждое неторопливо сказанное слово. Видно было, что Кутузов и сам с удовольствием слушал себя. – Я только одно говорю, генерал, что ежели бы дело зависело от моего личного желания, то воля его величества императора Франца давно была бы исполнена. Я давно уже присоединился бы к эрцгерцогу. И верьте моей чести, что для меня лично передать высшее начальство армией более меня сведущему и искусному генералу, какими так обильна Австрия, и сложить с себя всю эту тяжкую ответственность для меня лично было бы отрадой. Но обстоятельства бывают сильнее нас, генерал.
И Кутузов улыбнулся с таким выражением, как будто он говорил: «Вы имеете полное право не верить мне, и даже мне совершенно всё равно, верите ли вы мне или нет, но вы не имеете повода сказать мне это. И в этом то всё дело».
Австрийский генерал имел недовольный вид, но не мог не в том же тоне отвечать Кутузову.
– Напротив, – сказал он ворчливым и сердитым тоном, так противоречившим лестному значению произносимых слов, – напротив, участие вашего превосходительства в общем деле высоко ценится его величеством; но мы полагаем, что настоящее замедление лишает славные русские войска и их главнокомандующих тех лавров, которые они привыкли пожинать в битвах, – закончил он видимо приготовленную фразу.
Кутузов поклонился, не изменяя улыбки.
– А я так убежден и, основываясь на последнем письме, которым почтил меня его высочество эрцгерцог Фердинанд, предполагаю, что австрийские войска, под начальством столь искусного помощника, каков генерал Мак, теперь уже одержали решительную победу и не нуждаются более в нашей помощи, – сказал Кутузов.
Генерал нахмурился. Хотя и не было положительных известий о поражении австрийцев, но было слишком много обстоятельств, подтверждавших общие невыгодные слухи; и потому предположение Кутузова о победе австрийцев было весьма похоже на насмешку. Но Кутузов кротко улыбался, всё с тем же выражением, которое говорило, что он имеет право предполагать это. Действительно, последнее письмо, полученное им из армии Мака, извещало его о победе и о самом выгодном стратегическом положении армии.
– Дай ка сюда это письмо, – сказал Кутузов, обращаясь к князю Андрею. – Вот изволите видеть. – И Кутузов, с насмешливою улыбкой на концах губ, прочел по немецки австрийскому генералу следующее место из письма эрцгерцога Фердинанда: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient». [Мы имеем вполне сосредоточенные силы, около 70 000 человек, так что мы можем атаковать и разбить неприятеля в случае переправы его через Лех. Так как мы уже владеем Ульмом, то мы можем удерживать за собою выгоду командования обоими берегами Дуная, стало быть, ежеминутно, в случае если неприятель не перейдет через Лех, переправиться через Дунай, броситься на его коммуникационную линию, ниже перейти обратно Дунай и неприятелю, если он вздумает обратить всю свою силу на наших верных союзников, не дать исполнить его намерение. Таким образом мы будем бодро ожидать времени, когда императорская российская армия совсем изготовится, и затем вместе легко найдем возможность уготовить неприятелю участь, коей он заслуживает».]
Кутузов тяжело вздохнул, окончив этот период, и внимательно и ласково посмотрел на члена гофкригсрата.
– Но вы знаете, ваше превосходительство, мудрое правило, предписывающее предполагать худшее, – сказал австрийский генерал, видимо желая покончить с шутками и приступить к делу.
Он невольно оглянулся на адъютанта.
– Извините, генерал, – перебил его Кутузов и тоже поворотился к князю Андрею. – Вот что, мой любезный, возьми ты все донесения от наших лазутчиков у Козловского. Вот два письма от графа Ностица, вот письмо от его высочества эрцгерцога Фердинанда, вот еще, – сказал он, подавая ему несколько бумаг. – И из всего этого чистенько, на французском языке, составь mеmorandum, записочку, для видимости всех тех известий, которые мы о действиях австрийской армии имели. Ну, так то, и представь его превосходительству.
Князь Андрей наклонил голову в знак того, что понял с первых слов не только то, что было сказано, но и то, что желал бы сказать ему Кутузов. Он собрал бумаги, и, отдав общий поклон, тихо шагая по ковру, вышел в приемную.
Несмотря на то, что еще не много времени прошло с тех пор, как князь Андрей оставил Россию, он много изменился за это время. В выражении его лица, в движениях, в походке почти не было заметно прежнего притворства, усталости и лени; он имел вид человека, не имеющего времени думать о впечатлении, какое он производит на других, и занятого делом приятным и интересным. Лицо его выражало больше довольства собой и окружающими; улыбка и взгляд его были веселее и привлекательнее.
Кутузов, которого он догнал еще в Польше, принял его очень ласково, обещал ему не забывать его, отличал от других адъютантов, брал с собою в Вену и давал более серьезные поручения. Из Вены Кутузов писал своему старому товарищу, отцу князя Андрея:
«Ваш сын, – писал он, – надежду подает быть офицером, из ряду выходящим по своим занятиям, твердости и исполнительности. Я считаю себя счастливым, имея под рукой такого подчиненного».
В штабе Кутузова, между товарищами сослуживцами и вообще в армии князь Андрей, так же как и в петербургском обществе, имел две совершенно противоположные репутации.
Одни, меньшая часть, признавали князя Андрея чем то особенным от себя и от всех других людей, ожидали от него больших успехов, слушали его, восхищались им и подражали ему; и с этими людьми князь Андрей был прост и приятен. Другие, большинство, не любили князя Андрея, считали его надутым, холодным и неприятным человеком. Но с этими людьми князь Андрей умел поставить себя так, что его уважали и даже боялись.
Выйдя в приемную из кабинета Кутузова, князь Андрей с бумагами подошел к товарищу,дежурному адъютанту Козловскому, который с книгой сидел у окна.
– Ну, что, князь? – спросил Козловский.
– Приказано составить записку, почему нейдем вперед.
– А почему?
Князь Андрей пожал плечами.
– Нет известия от Мака? – спросил Козловский.
– Нет.
– Ежели бы правда, что он разбит, так пришло бы известие.