Группа Лоренца

Для термина «Лоренц» см. также другие значения.

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Конечные группы Классификация простых конечных групп Циклическая группа Cp Симметрическая группа Sn Диэдрическая группа Dn Знакопеременная группа An Группы Матьё M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Группы Конвея Co1 • Co2 • Co3 Группы Янко J1 • J2 • J3 • J4 Группы Фишера F22 • F23 • F24 Монстр (М) Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Гру́ппа Ло́ренца является группой преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами). В математике обозначается <math>O(1,\;3)</math>.

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени: <math>x_{\nu}^{'} =\sum_{\mu} L_{\nu \mu} x_{\mu} </math>, <math>x_{0}=ct, x_{1}=x, x_{2}=y, x_{3}=z</math>   которые оставляют инвариатной квадратичную форму, которая является математическим выражением четырёхмерного интервала, <math>s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}</math> и не меняют направления времени. Группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях <math>xy, yz, zx</math>, лоренцевы преобразования <math>xt, yt, zt</math>, отражения пространственных осей <math>x, y, z</math> <math>x \to -x, y \to -y, z \to -z</math> и все их произведения.

Специальная группа Лоренца <math>SO(1,\;3)</math> — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен <math>\pm 1</math>).

Ортохронная группа Лоренца <math>O_\uparrow(1,\;3)</math>, специальная ортохронная группа Лоренца <math>SO_\uparrow(1,\;3)</math> — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты <math>x^0</math>). Группа <math>SO_\uparrow(1,\;3)</math>, единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Представления группы Лоренца

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	…4-импульса
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат <math>U_{\alpha}(x)</math>. При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой, компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: <math>u_{\beta}^{'} =\sum_{\alpha} \Lambda_{\beta \alpha} u_{\alpha}(x) </math>. При этом матрица <math>\Lambda</math> имеет ранг <math>\nu</math>, равный числу компонент величины <math>u_{\alpha}</math>. Каждому элементу группы Лоренца <math>P</math> соответствует линейное преобразование <math>\Lambda(P)</math>, единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование <math>\Lambda = 1</math>, а произведению двух элементов группы Лоренца <math>P_{1}</math> и <math>P_{2}</math> соответствует произведение двух преобразований <math>\Lambda(P_{1}P_{2}) = \Lambda(P_{1})\Lambda(P_{2})</math>. Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца. Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца <math>SO_\uparrow(1,\;3)</math> можно построить при помощи спиноров.

Литература

• Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я.  Представления группы вращений и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 367 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
• Любарский Г. Я.  Теория групп и её применение в физике. — М.: Физматгиз, 1958. — 355 с.
• Наймарк М. А.  Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 376 с.
• Фёдоров Ф. И.  Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.  (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)
• Artin, Emil. Geometric Algebra. — New York: Wiley, 1957. — ISBN 0-471-60839-4.. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
• Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field. — McGraw-Hill, New York, 1977. — ISBN 0-07-009986-3.. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — ISBN 0-521-53927-7.. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course. — New York: Springer-Verlag, 1991. — ISBN 0-387-97495-4.. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
• Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity. — Singapore: World Scientific, 2004. — ISBN 981-02-1051-5.. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Hatcher, Allen. Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-79540-0.. See also the [www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html online version]. Проверено 3 июля 2005. [www.webcitation.org/65a3b1JDI Архивировано из первоисточника 20 февраля 2012]. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime. — New York: Springer-Verlag, 1992. — ISBN 0-486-43235-1 (Dover reprint edition).. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Needham, Tristam. Visual Complex Analysis. — Oxford: Oxford University Press, 1997. — ISBN 0-19-853446-9.. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
• Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.

См. также

• Прецессия Томаса
• Группа Пуанкаре

Отрывок, характеризующий Группа Лоренца

В недостроенном доме на Варварке, внизу которого был питейный дом, слышались пьяные крики и песни. На лавках у столов в небольшой грязной комнате сидело человек десять фабричных. Все они, пьяные, потные, с мутными глазами, напруживаясь и широко разевая рты, пели какую то песню. Они пели врозь, с трудом, с усилием, очевидно, не для того, что им хотелось петь, но для того только, чтобы доказать, что они пьяны и гуляют. Один из них, высокий белокурый малый в чистой синей чуйке, стоял над ними. Лицо его с тонким прямым носом было бы красиво, ежели бы не тонкие, поджатые, беспрестанно двигающиеся губы и мутные и нахмуренные, неподвижные глаза. Он стоял над теми, которые пели, и, видимо воображая себе что то, торжественно и угловато размахивал над их головами засученной по локоть белой рукой, грязные пальцы которой он неестественно старался растопыривать. Рукав его чуйки беспрестанно спускался, и малый старательно левой рукой опять засучивал его, как будто что то было особенно важное в том, чтобы эта белая жилистая махавшая рука была непременно голая. В середине песни в сенях и на крыльце послышались крики драки и удары. Высокий малый махнул рукой.
– Шабаш! – крикнул он повелительно. – Драка, ребята! – И он, не переставая засучивать рукав, вышел на крыльцо.
Фабричные пошли за ним. Фабричные, пившие в кабаке в это утро под предводительством высокого малого, принесли целовальнику кожи с фабрики, и за это им было дано вино. Кузнецы из соседних кузень, услыхав гульбу в кабаке и полагая, что кабак разбит, силой хотели ворваться в него. На крыльце завязалась драка.
Целовальник в дверях дрался с кузнецом, и в то время как выходили фабричные, кузнец оторвался от целовальника и упал лицом на мостовую.
Другой кузнец рвался в дверь, грудью наваливаясь на целовальника.
Малый с засученным рукавом на ходу еще ударил в лицо рвавшегося в дверь кузнеца и дико закричал:
– Ребята! наших бьют!
В это время первый кузнец поднялся с земли и, расцарапывая кровь на разбитом лице, закричал плачущим голосом:
– Караул! Убили!.. Человека убили! Братцы!..
– Ой, батюшки, убили до смерти, убили человека! – завизжала баба, вышедшая из соседних ворот. Толпа народа собралась около окровавленного кузнеца.
– Мало ты народ то грабил, рубахи снимал, – сказал чей то голос, обращаясь к целовальнику, – что ж ты человека убил? Разбойник!
Высокий малый, стоя на крыльце, мутными глазами водил то на целовальника, то на кузнецов, как бы соображая, с кем теперь следует драться.
– Душегуб! – вдруг крикнул он на целовальника. – Вяжи его, ребята!
– Как же, связал одного такого то! – крикнул целовальник, отмахнувшись от набросившихся на него людей, и, сорвав с себя шапку, он бросил ее на землю. Как будто действие это имело какое то таинственно угрожающее значение, фабричные, обступившие целовальника, остановились в нерешительности.
– Порядок то я, брат, знаю очень прекрасно. Я до частного дойду. Ты думаешь, не дойду? Разбойничать то нонче никому не велят! – прокричал целовальник, поднимая шапку.
– И пойдем, ишь ты! И пойдем… ишь ты! – повторяли друг за другом целовальник и высокий малый, и оба вместе двинулись вперед по улице. Окровавленный кузнец шел рядом с ними. Фабричные и посторонний народ с говором и криком шли за ними.
У угла Маросейки, против большого с запертыми ставнями дома, на котором была вывеска сапожного мастера, стояли с унылыми лицами человек двадцать сапожников, худых, истомленных людей в халатах и оборванных чуйках.
– Он народ разочти как следует! – говорил худой мастеровой с жидкой бородйой и нахмуренными бровями. – А что ж, он нашу кровь сосал – да и квит. Он нас водил, водил – всю неделю. А теперь довел до последнего конца, а сам уехал.
Увидав народ и окровавленного человека, говоривший мастеровой замолчал, и все сапожники с поспешным любопытством присоединились к двигавшейся толпе.
– Куда идет народ то?
– Известно куда, к начальству идет.
– Что ж, али взаправду наша не взяла сила?
– А ты думал как! Гляди ко, что народ говорит.
Слышались вопросы и ответы. Целовальник, воспользовавшись увеличением толпы, отстал от народа и вернулся к своему кабаку.
Высокий малый, не замечая исчезновения своего врага целовальника, размахивая оголенной рукой, не переставал говорить, обращая тем на себя общее внимание. На него то преимущественно жался народ, предполагая от него получить разрешение занимавших всех вопросов.
– Он покажи порядок, закон покажи, на то начальство поставлено! Так ли я говорю, православные? – говорил высокий малый, чуть заметно улыбаясь.
– Он думает, и начальства нет? Разве без начальства можно? А то грабить то мало ли их.
– Что пустое говорить! – отзывалось в толпе. – Как же, так и бросят Москву то! Тебе на смех сказали, а ты и поверил. Мало ли войсков наших идет. Так его и пустили! На то начальство. Вон послушай, что народ то бает, – говорили, указывая на высокого малого.
У стены Китай города другая небольшая кучка людей окружала человека в фризовой шинели, держащего в руках бумагу.
– Указ, указ читают! Указ читают! – послышалось в толпе, и народ хлынул к чтецу.
Человек в фризовой шинели читал афишку от 31 го августа. Когда толпа окружила его, он как бы смутился, но на требование высокого малого, протеснившегося до него, он с легким дрожанием в голосе начал читать афишку сначала.
«Я завтра рано еду к светлейшему князю, – читал он (светлеющему! – торжественно, улыбаясь ртом и хмуря брови, повторил высокий малый), – чтобы с ним переговорить, действовать и помогать войскам истреблять злодеев; станем и мы из них дух… – продолжал чтец и остановился („Видал?“ – победоносно прокричал малый. – Он тебе всю дистанцию развяжет…»)… – искоренять и этих гостей к черту отправлять; я приеду назад к обеду, и примемся за дело, сделаем, доделаем и злодеев отделаем».
Последние слова были прочтены чтецом в совершенном молчании. Высокий малый грустно опустил голову. Очевидно было, что никто не понял этих последних слов. В особенности слова: «я приеду завтра к обеду», видимо, даже огорчили и чтеца и слушателей. Понимание народа было настроено на высокий лад, а это было слишком просто и ненужно понятно; это было то самое, что каждый из них мог бы сказать и что поэтому не мог говорить указ, исходящий от высшей власти.