Ударная адиабата

Уда́рная адиабата, или адиаба́та Гюгонио́, адиабата Рáнкина — Гюгонио́ — математическое соотношение, связывающее термодинамические величины до ударной волны и после. Названо в честь шотландского физика Уильяма Джона Ранкина и французского Пьера-Анри Гюгонио, которые независимо получили это соотношение (опубликовано соответственно в 1870 и 1887—1889 годах). Ударная адиабата представляет геометрическое место точек конечных состояний за фронтом ударной волны при заданных начальных условиях. Рассмотрим законы сохранения на стационарной ударной волне в такой системе отсчёта, в которой ударный фронт покоится:

<math>\rho_1u_1=\rho_2u_2=j,</math>

<math>p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,</math>

<math>h_1+\frac{1}{2}u_{1}^2=h_2+\frac{1}{2}u_{2}^2.</math>

Здесь <math>\rho</math> — плотность газа, <math>u</math> — скорость газа относительно ударной волны, <math>h</math> — удельная энтальпия газа, <math>j</math> — поток массы через разрыв, индексами «1» и «2» обозначены состояния до и после ударной волны. Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы <math>u=j/\rho</math>, получим уравнение:

<math>h_2-h_1+\frac{j^2}{2}\left(\frac{1}{\rho_2^2}-\frac{1}{\rho_1^2}\right)=0.</math>

Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости <math>(p,V)</math>, где <math>V=1/\rho</math> — удельный объём):

<math>j^2=-\frac{p_2-p_1}{V_2-V_1},</math>

— приходим к соотношению Ранкина-Гюгонио:

<math>h_2-h_1-\frac{\left(p_2-p_1\right)}{2}\left(V_1+V_2\right)=0.</math>

Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию <math>\varepsilon</math> как <math>h=\varepsilon+pV</math>, то соотношение Ранкина — Гюгонио переходит в

<math>\varepsilon_2-\varepsilon_1

-\frac{\left(p_2+p_1\right)}{2}\left(V_1-V_2\right)=0.</math>

Переход газа через ударную волну является необратимым процессом, поэтому на ударной волне удельная энтропия увеличивается (для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления <math>(p_2-p_1)/p_1</math>). Увеличение энтропии означает наличие диссипации (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность). Это, в частности, приводит к тому, что тело, движущееся в идеальной жидкости с возникновением ударных волн, испытывает силу сопротивления, то есть для такого движения парадокс Д'Аламбера не имеет места.

Часто ударной адиабатой Гюгонио называют кривую в плоскости <math>(p,V)</math> или <math>(p,\rho)</math>, определяющую зависимость <math>p_2</math> от <math>\rho_2</math> при заданных начальных значениях <math>p_1</math> и <math>\rho_1</math>. При заданных <math>p_1</math> и <math>\rho_1</math> ударная волна, перпендикулярная потоку, определяется всего одним параметром (наклонная ударная волна характеризуется дополнительно значением касательной к её поверхности составляющей скорости): например, если задать <math>p_2</math>, то по адиабате Гюгонио можно найти <math>\rho_2</math>, а отсюда с использованием вышеприведённых формул — плотность потока <math>j</math> и скорости <math>u_1</math> и <math>u_2</math>, а из уравнения состояния — температуру и т. д.

Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона, описывающей процесс с постоянной энтропией <math>s</math>. В отличие от адиабат Пуассона, для которых <math>s(\rho,p)=\mathrm{const}</math>, уравнение ударной адиабаты нельзя написать в виде <math>f(\rho,p)=\mathrm{const}</math>, где <math>f</math> — однозначная функция двух аргументов: адиабаты Гюгонио для заданного вещества составляют двухпараметрическое семейство кривых (каждая кривая определяется заданием как <math>p_1</math>, так и <math>\rho_1</math>), тогда как адиабаты Пуассона — однопараметрическое.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI). — С. 456—459 (§ 85).
• Крайко А.Н. Краткий курс теоретической газовой динамики. — М.: МФТИ, 2007. — С. 300. — ISBN 978-5-7417-0229-1.

Отрывок, характеризующий Ударная адиабата

В конце января Пьер приехал в Москву и поселился в уцелевшем флигеле. Он съездил к графу Растопчину, к некоторым знакомым, вернувшимся в Москву, и собирался на третий день ехать в Петербург. Все торжествовали победу; все кипело жизнью в разоренной и оживающей столице. Пьеру все были рады; все желали видеть его, и все расспрашивали его про то, что он видел. Пьер чувствовал себя особенно дружелюбно расположенным ко всем людям, которых он встречал; но невольно теперь он держал себя со всеми людьми настороже, так, чтобы не связать себя чем нибудь. Он на все вопросы, которые ему делали, – важные или самые ничтожные, – отвечал одинаково неопределенно; спрашивали ли у него: где он будет жить? будет ли он строиться? когда он едет в Петербург и возьмется ли свезти ящичек? – он отвечал: да, может быть, я думаю, и т. д.
О Ростовых он слышал, что они в Костроме, и мысль о Наташе редко приходила ему. Ежели она и приходила, то только как приятное воспоминание давно прошедшего. Он чувствовал себя не только свободным от житейских условий, но и от этого чувства, которое он, как ему казалось, умышленно напустил на себя.
На третий день своего приезда в Москву он узнал от Друбецких, что княжна Марья в Москве. Смерть, страдания, последние дни князя Андрея часто занимали Пьера и теперь с новой живостью пришли ему в голову. Узнав за обедом, что княжна Марья в Москве и живет в своем не сгоревшем доме на Вздвиженке, он в тот же вечер поехал к ней.
Дорогой к княжне Марье Пьер не переставая думал о князе Андрее, о своей дружбе с ним, о различных с ним встречах и в особенности о последней в Бородине.
«Неужели он умер в том злобном настроении, в котором он был тогда? Неужели не открылось ему перед смертью объяснение жизни?» – думал Пьер. Он вспомнил о Каратаеве, о его смерти и невольно стал сравнивать этих двух людей, столь различных и вместе с тем столь похожих по любви, которую он имел к обоим, и потому, что оба жили и оба умерли.
В самом серьезном расположении духа Пьер подъехал к дому старого князя. Дом этот уцелел. В нем видны были следы разрушения, но характер дома был тот же. Встретивший Пьера старый официант с строгим лицом, как будто желая дать почувствовать гостю, что отсутствие князя не нарушает порядка дома, сказал, что княжна изволили пройти в свои комнаты и принимают по воскресеньям.
– Доложи; может быть, примут, – сказал Пьер.
– Слушаю с, – отвечал официант, – пожалуйте в портретную.
Через несколько минут к Пьеру вышли официант и Десаль. Десаль от имени княжны передал Пьеру, что она очень рада видеть его и просит, если он извинит ее за бесцеремонность, войти наверх, в ее комнаты.
В невысокой комнатке, освещенной одной свечой, сидела княжна и еще кто то с нею, в черном платье. Пьер помнил, что при княжне всегда были компаньонки. Кто такие и какие они, эти компаньонки, Пьер не знал и не помнил. «Это одна из компаньонок», – подумал он, взглянув на даму в черном платье.
Княжна быстро встала ему навстречу и протянула руку.
– Да, – сказала она, всматриваясь в его изменившееся лицо, после того как он поцеловал ее руку, – вот как мы с вами встречаемся. Он и последнее время часто говорил про вас, – сказала она, переводя свои глаза с Пьера на компаньонку с застенчивостью, которая на мгновение поразила Пьера.
– Я так была рада, узнав о вашем спасенье. Это было единственное радостное известие, которое мы получили с давнего времени. – Опять еще беспокойнее княжна оглянулась на компаньонку и хотела что то сказать; но Пьер перебил ее.
– Вы можете себе представить, что я ничего не знал про него, – сказал он. – Я считал его убитым. Все, что я узнал, я узнал от других, через третьи руки. Я знаю только, что он попал к Ростовым… Какая судьба!