Липшицево отображение

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Гёльдера условие»)
Перейти к: навигация, поиск

Липшицево отображение (названо в честь Рудольфа Липшица) — отображение <math>f\colon X\to Y</math> между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А именно, отображение <math>f</math> метрического пространства <math>(X,\;\rho_X)</math> в метрическое пространство <math>(Y,\;\rho_Y)</math> называется липшицевым, если найдётся некоторая константа <math>L</math> (константа Липшица этого отображения), такая, что

<math>\rho_Y(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;y)</math>

при любых <math>x,\;y\in X</math>. Это условие называют условием Липшица.





Связанные определения

  • Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также <math>L</math>-липшицевым.
  • Нижняя грань чисел <math>L</math>, удовлетворяющих вышеприведённому неравенству, называется константой Липшица отображения <math>f</math>.
  • Отображение <math>f\colon X\to Y</math> называется билипшицевым, если у него существует обратное <math>f^{-1}\colon Y\to X</math> и оба <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> являются липшицевыми.
  • Отображение <math>f\colon X\to Y</math> называется колипшицевым, если существует константа <math>L</math>, такая, что для любых <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math> найдётся <math>x'\in f^{-1}(y)</math> такое, что
    <math>\rho_Y(f(x),\;y)\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;x').</math>

Свойства

  • Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
  • Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
  • Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

Вариации и обобщения

  • Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так:
<math>\omega(f,\;\delta)\leqslant L{\cdot}\delta.</math>

История

Отображения со свойством

<math>|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot}|x-y|^\alpha,\quad\alpha\leqslant 1</math>

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при <math>\alpha=1</math>, а при <math>\alpha<1</math> — условием Гёльдера.

См. также

Напишите отзыв о статье "Липшицево отображение"

Ссылки

  • [ahiin.livejournal.com/12469.html Условие Липшица и его геометрический смысл.]


Отрывок, характеризующий Липшицево отображение

– Ну что, это глупо. А? – сказал Анатоль, ощупывая оторванную с сукном пуговицу воротника.
– Вы негодяй и мерзавец, и не знаю, что меня воздерживает от удовольствия разможжить вам голову вот этим, – говорил Пьер, – выражаясь так искусственно потому, что он говорил по французски. Он взял в руку тяжелое пресспапье и угрожающе поднял и тотчас же торопливо положил его на место.
– Обещали вы ей жениться?
– Я, я, я не думал; впрочем я никогда не обещался, потому что…
Пьер перебил его. – Есть у вас письма ее? Есть у вас письма? – повторял Пьер, подвигаясь к Анатолю.
Анатоль взглянул на него и тотчас же, засунув руку в карман, достал бумажник.
Пьер взял подаваемое ему письмо и оттолкнув стоявший на дороге стол повалился на диван.
– Je ne serai pas violent, ne craignez rien, [Не бойтесь, я насилия не употреблю,] – сказал Пьер, отвечая на испуганный жест Анатоля. – Письма – раз, – сказал Пьер, как будто повторяя урок для самого себя. – Второе, – после минутного молчания продолжал он, опять вставая и начиная ходить, – вы завтра должны уехать из Москвы.
– Но как же я могу…
– Третье, – не слушая его, продолжал Пьер, – вы никогда ни слова не должны говорить о том, что было между вами и графиней. Этого, я знаю, я не могу запретить вам, но ежели в вас есть искра совести… – Пьер несколько раз молча прошел по комнате. Анатоль сидел у стола и нахмурившись кусал себе губы.
– Вы не можете не понять наконец, что кроме вашего удовольствия есть счастье, спокойствие других людей, что вы губите целую жизнь из того, что вам хочется веселиться. Забавляйтесь с женщинами подобными моей супруге – с этими вы в своем праве, они знают, чего вы хотите от них. Они вооружены против вас тем же опытом разврата; но обещать девушке жениться на ней… обмануть, украсть… Как вы не понимаете, что это так же подло, как прибить старика или ребенка!…
Пьер замолчал и взглянул на Анатоля уже не гневным, но вопросительным взглядом.
– Этого я не знаю. А? – сказал Анатоль, ободряясь по мере того, как Пьер преодолевал свой гнев. – Этого я не знаю и знать не хочу, – сказал он, не глядя на Пьера и с легким дрожанием нижней челюсти, – но вы сказали мне такие слова: подло и тому подобное, которые я comme un homme d'honneur [как честный человек] никому не позволю.
Пьер с удивлением посмотрел на него, не в силах понять, чего ему было нужно.
– Хотя это и было с глазу на глаз, – продолжал Анатоль, – но я не могу…
– Что ж, вам нужно удовлетворение? – насмешливо сказал Пьер.