Двойное векторное произведение
Двойно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: тройное векторное произведение) <math> \left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right] </math> векторов <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> — векторное произведение вектора <math>\vec{a}</math> на векторное произведение векторов <math>\vec{b}</math> и <math>\vec{c}:</math>
- <math>\left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\right] = \left[\vec{a}, \left[\vec{b}, \vec{c}\right]\right].</math>
В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным[1] (по числу векторов), так и двойным[2] (по числу операций умножения).
Свойства
Формула Лагранжа
Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа,
- <math> \left[ \vec{a},[ \vec{b}, \vec{c} ]\right ] = \vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \vec{b}\left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) - \vec{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right),</math>
которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».
Выберем правый ортонормированный базис <math>\vec{e_1},~ \vec{e_2},~ \vec{e_3}</math> так, чтобы
- <math>\vec{a} = \alpha_1 \vec{e_1} + \alpha_2 \vec{e_2} + \alpha_3 \vec{e_3},</math>
- <math>\vec{b} = \beta_1 \vec{e_1} + \beta_2 \vec{e_2},</math>
- <math>\vec{c} = \gamma_1 \vec{e_1}.</math>
Тогда
- <math>\left[ \vec{b}, \vec{c} \right] = \left( 0, 0, -\beta_2\gamma_1 \right),</math>
- <math>\left[ \vec{a}, \left[ \vec{b}, \vec{c} \right] \right] = \left( - \alpha_2\beta_2\gamma_1, \alpha_1\beta_2\gamma_1, 0 \right)</math>
и
- <math>\vec{b} \left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) - \vec{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right) = \alpha_1\gamma_1\vec{b} - \left( \alpha_1\beta_1 + \alpha_2\beta_2 \right) \vec{c} = \left( - \alpha_2\beta_2\gamma_1, \alpha_1\beta_2\gamma_1, 0 \right).</math>
Таким образом,
- <math> \left[ \vec{a}, \left[ \vec{b}, \vec{c} \right] \right] = \vec{b} \left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) - \vec{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right).</math>
Тождество Якоби
Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби
- <math> \left[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right]+\left[ \vec{b}, \vec{c}, \vec{a} \right]+\left[ \vec{c}, \vec{a}, \vec{b} \right] = \vec 0,</math>
которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа
- <math>\vec 0 = \vec{b} \left( \vec{a} \cdot \vec{c} \right) - \vec{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right) + \vec{c} \left( \vec{b} \cdot \vec{a} \right) - \vec{a} \left( \vec{b} \cdot \vec{c} \right) + \vec{a} \left( \vec{c} \cdot \vec{b} \right) - \vec{b} \left( \vec{c} \cdot \vec{a} \right).</math>
Напишите отзыв о статье "Двойное векторное произведение"
Примечания
- ↑ См., например, Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/VectorTripleProduct.html Vector Triple Product] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld..
- ↑ См., например, М. Я. Выгодский, Справочник по высшей математике, М., 1977, стр. 156.
См. также
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Двойное векторное произведение
– Что главнокомандующий здесь делает? – спросил он.– Ничего не понимаю, – сказал Несвицкий.
– Я одно понимаю, что всё мерзко, мерзко и мерзко, – сказал князь Андрей и пошел в дом, где стоял главнокомандующий.
Пройдя мимо экипажа Кутузова, верховых замученных лошадей свиты и казаков, громко говоривших между собою, князь Андрей вошел в сени. Сам Кутузов, как сказали князю Андрею, находился в избе с князем Багратионом и Вейротером. Вейротер был австрийский генерал, заменивший убитого Шмита. В сенях маленький Козловский сидел на корточках перед писарем. Писарь на перевернутой кадушке, заворотив обшлага мундира, поспешно писал. Лицо Козловского было измученное – он, видно, тоже не спал ночь. Он взглянул на князя Андрея и даже не кивнул ему головой.
– Вторая линия… Написал? – продолжал он, диктуя писарю, – Киевский гренадерский, Подольский…
– Не поспеешь, ваше высокоблагородие, – отвечал писарь непочтительно и сердито, оглядываясь на Козловского.
Из за двери слышен был в это время оживленно недовольный голос Кутузова, перебиваемый другим, незнакомым голосом. По звуку этих голосов, по невниманию, с которым взглянул на него Козловский, по непочтительности измученного писаря, по тому, что писарь и Козловский сидели так близко от главнокомандующего на полу около кадушки,и по тому, что казаки, державшие лошадей, смеялись громко под окном дома, – по всему этому князь Андрей чувствовал, что должно было случиться что нибудь важное и несчастливое.
Князь Андрей настоятельно обратился к Козловскому с вопросами.
– Сейчас, князь, – сказал Козловский. – Диспозиция Багратиону.
– А капитуляция?
– Никакой нет; сделаны распоряжения к сражению.
Князь Андрей направился к двери, из за которой слышны были голоса. Но в то время, как он хотел отворить дверь, голоса в комнате замолкли, дверь сама отворилась, и Кутузов, с своим орлиным носом на пухлом лице, показался на пороге.
Князь Андрей стоял прямо против Кутузова; но по выражению единственного зрячего глаза главнокомандующего видно было, что мысль и забота так сильно занимали его, что как будто застилали ему зрение. Он прямо смотрел на лицо своего адъютанта и не узнавал его.
