Двойные числа

О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа

Двойны́е чи́сла или паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па — гиперкомплексные числа вида «a + j · b», где a и b — вещественные числа и <math>j^2 = 1,</math> причём j ≠ ±1.

Определение

Алгебраическое определение

Любое двойное число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел <math>(x, y).</math> Сложение и умножение определяются по правилам:

<math>(x,y) + (x',y') = (x + x',y + y'),</math>

<math>(x,y) \cdot (x',y') = (x x' + y y',x y' + y x').</math>

Числа вида <math>(a,0)</math> отождествляются с вещественными числами, а <math>j = (0,1).</math> Тогда соответствующие тождества принимают вид:

<math>(x + j y) + (x' + j y') = (x + x') + j(y + y'),</math>

<math>(x + j y) \cdot (x' + j y') = (x x' + y y') + j(x y' + y x').</math>

Матричное представление

Двойные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению двойных чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

<math> j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},</math>

<math>x + j y = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}.</math>

Арифметические операции

• Сложение:

  <math>(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.</math>

• Вычитание:

  <math>(a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j.</math>

• Умножение:

  <math>(a+bj)\cdot(c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.</math>

• Деление на число, не являющееся делителем нуля:

  <math>\frac{a+bj}{c+dj} = \frac{ac-bd}{c^2-d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-d^2} j.</math>

Свойства

<math> \mathrm{e}^{j x} = \operatorname{ch} x + j \operatorname{sh} x,</math> где sh и ch — гиперболические синус и косинус.

<math> \sin j x = j \sin x.</math>

<math> \cos j x = \cos x.</math>

Двойные числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра двойных чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид <math>a \cdot (1\pm j).</math>

Если взять <math>\alpha=(1+j)/2</math> и <math>\beta=(1-j)/2,</math> то

<math>\alpha \beta=0,</math> <math>\alpha^2=\alpha</math> и <math>\beta^2=\beta.</math>

Любое двойное число может быть представлено как сумма <math>\alpha x + \beta y,</math> где <math>x</math> и <math>y</math> — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Применение

Двойные числа иногда применяются в релятивистской кинематике.

Ссылки

</math>) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |заголовок2=Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные

|заголовок3=Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица

|заголовок4=Иерархия чисел |список4=<center>

<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа <math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа <math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа <math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа <math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа <math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы <math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы

<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math>

Седенионы

</center> |заголовок5=Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа

|заголовок6=См. также

|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион

}}

Отрывок, характеризующий Двойные числа

L'Europe n'eut bientot fait de la sorte veritablement qu'un meme peuple, et chacun, en voyageant partout, se fut trouve toujours dans la patrie commune. Il eut demande toutes les rivieres navigables pour tous, la communaute des mers, et que les grandes armees permanentes fussent reduites desormais a la seule garde des souverains.
De retour en France, au sein de la patrie, grande, forte, magnifique, tranquille, glorieuse, j'eusse proclame ses limites immuables; toute guerre future, purement defensive; tout agrandissement nouveau antinational. J'eusse associe mon fils a l'Empire; ma dictature eut fini, et son regne constitutionnel eut commence…
Paris eut ete la capitale du monde, et les Francais l'envie des nations!..
Mes loisirs ensuite et mes vieux jours eussent ete consacres, en compagnie de l'imperatrice et durant l'apprentissage royal de mon fils, a visiter lentement et en vrai couple campagnard, avec nos propres chevaux, tous les recoins de l'Empire, recevant les plaintes, redressant les torts, semant de toutes parts et partout les monuments et les bienfaits.
Русская война должна бы была быть самая популярная в новейшие времена: это была война здравого смысла и настоящих выгод, война спокойствия и безопасности всех; она была чисто миролюбивая и консервативная.
Это было для великой цели, для конца случайностей и для начала спокойствия. Новый горизонт, новые труды открывались бы, полные благосостояния и благоденствия всех. Система европейская была бы основана, вопрос заключался бы уже только в ее учреждении.
Удовлетворенный в этих великих вопросах и везде спокойный, я бы тоже имел свой конгресс и свой священный союз. Это мысли, которые у меня украли. В этом собрании великих государей мы обсуживали бы наши интересы семейно и считались бы с народами, как писец с хозяином.
Европа действительно скоро составила бы таким образом один и тот же народ, и всякий, путешествуя где бы то ни было, находился бы всегда в общей родине.
Я бы выговорил, чтобы все реки были судоходны для всех, чтобы море было общее, чтобы постоянные, большие армии были уменьшены единственно до гвардии государей и т.д.
Возвратясь во Францию, на родину, великую, сильную, великолепную, спокойную, славную, я провозгласил бы границы ее неизменными; всякую будущую войну защитительной; всякое новое распространение – антинациональным; я присоединил бы своего сына к правлению империей; мое диктаторство кончилось бы, в началось бы его конституционное правление…