Дебаевская длина

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Деба́евская длина (дебаевский радиус) — расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в квазинейтральной среде, содержащей свободные положительно и отрицательно заряженных частиц (плазма, электролиты). Вне сферы радиуса дебаевской длины электрическое поле экранируется в результате поляризации окружающей среды (поэтому это явление еще называют экранировкой Дебая).

Дебаевская длина определяется формулой (СГС):

<math>d = \left\{ \sum_j {4\pi q^2_j n_j \over kT_j} \right\}^{-1/2}</math>

(СИ) :

<math> d= \left\{ \sum_j {q^2_j n_j \over \varepsilon_0 kT_j} \right\}^{-1/2}</math>

где: <math>q_j</math>, <math>n_j</math>, <math>T_j</math> — электрический заряд, концентрация частиц и температура частиц типа <math>j</math>; <math>k</math>, <math> \varepsilon_0 </math> — постоянная Больцмана и диэлектрическая проницаемость вакуума. Суммирование идет по всем сортам частиц, при этом должно выполняться условие нейтральности: <math>\sum{q_j n_j}=0</math>. Важным параметром среды является число частиц в сфере радиуса дебаевской длины:

<math>n_D={4\pi\over 3}d^3\sum_j n_j</math>

Оно характеризует отношение средней кинетической энергии частиц к средней энергии их кулоновского взаимодействия:

<math>n_D\thicksim (E_{\rm kinetic}/E_{\rm coulomb})^{3/2}</math>

Для электролитов это число мало: <math>n_D\thicksim 10^{-4}</math>; для плазмы, находящейся в самых различных физических условиях, — велико. Это позволяет использовать методы кинетической теории для описания плазмы.

Понятие дебаевской длины введено Петером Дебаем в связи с изучением явлений электролиза.





Физический смысл

В системе из <math>N</math> различных типов частиц, частицы <math>j</math>-й разновидности переносит заряд <math>q_j</math> и имеют концентрацию <math>n_j(\mathbf{r})</math> в точке <math>\mathbf{r}</math>. В первом приближении эти заряды можно рассматривать как непрерывную среду, характеризующуюся только своей диэлектрической проницаемостью <math>\varepsilon_r</math>. Распределение зарядов в такой среде создают электрическое поле с потенциалом <math>\Phi(\mathbf{r})</math>, удовлетворяющим уравнению Пуассона:

<math> \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r})</math>,

где <math>\varepsilon_0</math> это диэлектрическая постоянная.

Подвижные заряды не только создают потенциал <math>\Phi(\mathbf{r})</math>, но также движутся под действием кулоновской силы, <math>- q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r})</math>. В дальнейшем будем считать, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом с температурой <math>T</math>, тогда концентрации зарядов, <math>n_j(\mathbf{r})</math>, могут быть рассмотрены как термодинамические величины, а соответствующий электрический потенциал, как соответствующий самосопряженному полю. В этих допущениях, концентрация <math>j</math>-й разновидности частица описывается Больцмановским распределением,

<math> n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right)</math>,

где <math>k_B</math> есть постоянная Больцмана, а <math>n_j^0</math> средняя концентрация зарядов типа <math>j</math>. Взяв в уравнении Пуассона вместо мгновенных значений концентрации и поля их усреднённые значения получаем уравнение Пуассона-Больцмана:

<math> \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j n_j^0 \, \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right)</math>.

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Более общее решение может быть получено в пределе слабой связи, <math>q_j \, \Phi(\mathbf{r}) \ll k_B T</math>, разложением экспоненты в ряд Тейлора:

<math> \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right) \approx

1 - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T}</math>.

В результате чего получается линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана

<math> \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) =

\left(\sum_{j = 1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T} \right)\, \Phi(\mathbf{r}) - \frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N n_j^0 q_j </math> также известное как уравнение Дебая — Хюккеля.[1][2][3][4][5] Второе слагаемое в правой части уравнения исчезает в случае электронейтральности системы. Слагаемое в скобках имеет размерность обратного квадрата длины, что естественным образом приводит нас к определению характерной длины:

<math> \lambda_D =

\left(\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T}{\sum_{j = 1}^N n_j^0 \, q_j^2}\right)^{1/2}</math>

обычно называемой Дебаевским радиусом (или Дебаевской длиной). Стоит отметить, что все типы зарядов вносят положительный вклад в Дебаевскую длину вне зависимости от их знака.

Некоторые значения дебаевских длин

Плазма Плотность, ne−3) Температура электронов, T(K) Магнитное поле, B(T) Дебаевская длина, λD(м)
Газовый разряд (пинчи) 1016 104 -- 10−4
Токамак 1020 108 10 10−4
Ионосфера 1012 103 10−5 10−3
Магнитосфера 107 107 10−8 102
Солнечное ядро 1032 107 -- 10−11
Солнечный ветер 106 105 10−9 10
Межзвездное пространство 105 104 10−10 10
Межгалактическое пространство 1 106 -- 105
Источник: [www.pma.caltech.edu/Courses/ph136/yr2004/ Глава 19: The Particle Kinetics of Plasma]

См. также

Напишите отзыв о статье "Дебаевская длина"

Ссылки

  1. Kirby BJ. [www.kirbyresearch.com/textbook Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices].
  2. Li D. Electrokinetics in Microfluidics. — 2004.
  3. PC Clemmow & JP Dougherty. [books.google.com/books?id=SBNNzUrTjecC&pg=PP1&dq=particles+plasmas+inauthor:Clemmow&lr=&as_brr=0&sig=KL7sGh0qenwAXLrLTlus5QLiZCU#PPA236,M1 Electrodynamics of particles and plasmas]. — Redwood City CA: Addison-Wesley, 1969. — P. §7.6.7, p. 236 ff.. — ISBN 0201479869.
  4. RA Robinson &RH Stokes. [books.google.com/books?hl=en&lr=&id=6ZVkqm-J9GkC&oi=fnd&pg=PR3&ots=lGOuInat3R&sig=sSBIRyy4aIMT3trxUQrLGDrnPj4#PPA76,M1 Electrolyte solutions]. — Mineola NY: Dover Publications, 2002. — P. 76. — ISBN 0486422259.
  5. See [www.springerlink.com/content/q2g78x6g72h21736/ DC Brydges & Ph A Martin Coulomb Systems at Low Density: A Review]

Литература

Отрывок, характеризующий Дебаевская длина

– Как здоровье…
Он замялся, не зная, прилично ли назвать умирающего графом; назвать же отцом ему было совестно.
– Il a eu encore un coup, il y a une demi heure. Еще был удар. Courage, mon аmi… [Полчаса назад у него был еще удар. Не унывать, мой друг…]
Пьер был в таком состоянии неясности мысли, что при слове «удар» ему представился удар какого нибудь тела. Он, недоумевая, посмотрел на князя Василия и уже потом сообразил, что ударом называется болезнь. Князь Василий на ходу сказал несколько слов Лоррену и прошел в дверь на цыпочках. Он не умел ходить на цыпочках и неловко подпрыгивал всем телом. Вслед за ним прошла старшая княжна, потом прошли духовные лица и причетники, люди (прислуга) тоже прошли в дверь. За этою дверью послышалось передвиженье, и наконец, всё с тем же бледным, но твердым в исполнении долга лицом, выбежала Анна Михайловна и, дотронувшись до руки Пьера, сказала:
– La bonte divine est inepuisable. C'est la ceremonie de l'extreme onction qui va commencer. Venez. [Милосердие Божие неисчерпаемо. Соборование сейчас начнется. Пойдемте.]
Пьер прошел в дверь, ступая по мягкому ковру, и заметил, что и адъютант, и незнакомая дама, и еще кто то из прислуги – все прошли за ним, как будто теперь уж не надо было спрашивать разрешения входить в эту комнату.


Пьер хорошо знал эту большую, разделенную колоннами и аркой комнату, всю обитую персидскими коврами. Часть комнаты за колоннами, где с одной стороны стояла высокая красного дерева кровать, под шелковыми занавесами, а с другой – огромный киот с образами, была красно и ярко освещена, как бывают освещены церкви во время вечерней службы. Под освещенными ризами киота стояло длинное вольтеровское кресло, и на кресле, обложенном вверху снежно белыми, не смятыми, видимо, только – что перемененными подушками, укрытая до пояса ярко зеленым одеялом, лежала знакомая Пьеру величественная фигура его отца, графа Безухого, с тою же седою гривой волос, напоминавших льва, над широким лбом и с теми же характерно благородными крупными морщинами на красивом красно желтом лице. Он лежал прямо под образами; обе толстые, большие руки его были выпростаны из под одеяла и лежали на нем. В правую руку, лежавшую ладонью книзу, между большим и указательным пальцами вставлена была восковая свеча, которую, нагибаясь из за кресла, придерживал в ней старый слуга. Над креслом стояли духовные лица в своих величественных блестящих одеждах, с выпростанными на них длинными волосами, с зажженными свечами в руках, и медленно торжественно служили. Немного позади их стояли две младшие княжны, с платком в руках и у глаз, и впереди их старшая, Катишь, с злобным и решительным видом, ни на мгновение не спуская глаз с икон, как будто говорила всем, что не отвечает за себя, если оглянется. Анна Михайловна, с кроткою печалью и всепрощением на лице, и неизвестная дама стояли у двери. Князь Василий стоял с другой стороны двери, близко к креслу, за резным бархатным стулом, который он поворотил к себе спинкой, и, облокотив на нее левую руку со свечой, крестился правою, каждый раз поднимая глаза кверху, когда приставлял персты ко лбу. Лицо его выражало спокойную набожность и преданность воле Божией. «Ежели вы не понимаете этих чувств, то тем хуже для вас», казалось, говорило его лицо.
Сзади его стоял адъютант, доктора и мужская прислуга; как бы в церкви, мужчины и женщины разделились. Всё молчало, крестилось, только слышны были церковное чтение, сдержанное, густое басовое пение и в минуты молчания перестановка ног и вздохи. Анна Михайловна, с тем значительным видом, который показывал, что она знает, что делает, перешла через всю комнату к Пьеру и подала ему свечу. Он зажег ее и, развлеченный наблюдениями над окружающими, стал креститься тою же рукой, в которой была свеча.
Младшая, румяная и смешливая княжна Софи, с родинкою, смотрела на него. Она улыбнулась, спрятала свое лицо в платок и долго не открывала его; но, посмотрев на Пьера, опять засмеялась. Она, видимо, чувствовала себя не в силах глядеть на него без смеха, но не могла удержаться, чтобы не смотреть на него, и во избежание искушений тихо перешла за колонну. В середине службы голоса духовенства вдруг замолкли; духовные лица шопотом сказали что то друг другу; старый слуга, державший руку графа, поднялся и обратился к дамам. Анна Михайловна выступила вперед и, нагнувшись над больным, из за спины пальцем поманила к себе Лоррена. Француз доктор, – стоявший без зажженной свечи, прислонившись к колонне, в той почтительной позе иностранца, которая показывает, что, несмотря на различие веры, он понимает всю важность совершающегося обряда и даже одобряет его, – неслышными шагами человека во всей силе возраста подошел к больному, взял своими белыми тонкими пальцами его свободную руку с зеленого одеяла и, отвернувшись, стал щупать пульс и задумался. Больному дали чего то выпить, зашевелились около него, потом опять расступились по местам, и богослужение возобновилось. Во время этого перерыва Пьер заметил, что князь Василий вышел из за своей спинки стула и, с тем же видом, который показывал, что он знает, что делает, и что тем хуже для других, ежели они не понимают его, не подошел к больному, а, пройдя мимо его, присоединился к старшей княжне и с нею вместе направился в глубь спальни, к высокой кровати под шелковыми занавесами. От кровати и князь и княжна оба скрылись в заднюю дверь, но перед концом службы один за другим возвратились на свои места. Пьер обратил на это обстоятельство не более внимания, как и на все другие, раз навсегда решив в своем уме, что всё, что совершалось перед ним нынешний вечер, было так необходимо нужно.
Звуки церковного пения прекратились, и послышался голос духовного лица, которое почтительно поздравляло больного с принятием таинства. Больной лежал всё так же безжизненно и неподвижно. Вокруг него всё зашевелилось, послышались шаги и шопоты, из которых шопот Анны Михайловны выдавался резче всех.
Пьер слышал, как она сказала: