Действие (физическая величина)

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
Действие
<math>S = \int L(q,\dot q,t) ~ \mathrm d t</math>
Размерность

L2MT−1

Единицы измерения
СИ

Дж·с

СГС

эрг·с

Примечания

скалярная величина

Действие в физике — скалярная физическая величина, являющаяся мерой движения физической системы. Действие является математическим функционалом, который берёт в качестве аргумента траекторию движения физической системы и возвращает в качестве результата вещественное число.

Действие — одна из наиболее фундаментальных физических величин, входящая в современную формулировку большинства основных физических теорий во всех фундаментальных разделах физики, имеющая при этом и огромное техническое значение в теоретической физике. Несколько меньшее значение может иметь в сравнительно более прикладных областях, хотя и там нередко бывает употребительна. Употребляется равно и в квантовой, и в классической, и в релятивистской физике.

В классической механике Принцип наименьшего действия постулирует, что физическая система всегда следует траектории с наименьшим действием.

В квантовой механике, в формулировке интегралов по траекториям, физическая система одновременно следует всем возможным траекториям, причём амплитуда вероятности следования определённой траектории определяется действием этой траектории. Если характерное действие намного больше постоянной Планка, то амплитуда классической траектории с наименьшим действием является преобладающей — таким образом квантовая механика переходит в классическую.
Имеет физическую размерность энергия · время = импульс · расстояние, совпадающую с размерностью момента импульса. По физическому смыслу действие — фаза квантовой «волны вероятности», точнее — из-за другой размерности в традиционных системах физических единиц (в том числе СИ) — пропорциональна этой фазе: <math>S = \hbar \phi</math> — с постоянным размерным коэффициентом — константой Планка.

Если для какой-то системы написано действие, то это в принципе определяет и её классическое поведение (то есть поведение системы в классическом приближении), и её квантовое поведение. Первое — через принцип стационарного (наименьшего) действия, второе — через фейнмановский интеграл по траекториям. При этом само действие записывается одинаково, в одной и той же форме, и для классического и для квантового случая, что делает его очень удобным инструментом (для квантования через фейнмановский интеграл в принципе надо знать только действие, определенное для обычных классических траекторий, то есть, записанное так же, как и для классического применения).





Терминология

Исторически терминология довольно сильно колебалась, но в настоящее время принято называть действием величину

<math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t)dt</math>

или

<math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - H(q,p,t) \bigg) dt</math>,

где:

  • <math>t</math> — время,
  • <math>q = \{q_1,q_2,\dots,q_N\}</math> — полный набор координат, характеризующих динамическую систему (её конфигурационное пространство),
  • <math>\dot q = \{\dot q_1,\dot q_2,\dots,\dot q_N\}</math> — набор скоростей (производных <math>q</math> по времени),
  • <math>L</math> — функция Лагранжа, зависящая от N координат, N скоростей, и иногда ещё явно от времени, в классической механике совпадающая с разностью кинетической и потенциальной энергий;
  • <math>H</math> — функция Гамильтона, представляющая собой полную энергию системы, выраженную через N координат, N сопряженных им импульсов и иногда ещё явно через время.

Обе величины <math>S</math> в принципе совпадают, но по-разному выражены — первая в соответствии с лагранжевым формализмом, вторая в соответствии с гамильтоновым.

Укороченным действием принято называть

<math>S_0 = \int\limits_{A}^{B} \sum_i p_i d q_i = \int\limits_{t_1}^{t_2} \sum_i p_i \dot q_i dt = \int\limits_{t_1}^{t_2} \vec p \cdot \vec v d t</math>,

где обозначения совпадают с использованными выше, а выражение в последнем интеграле — скалярное произведение векторов импульса и скорости, которое в случае одной частицы можно рассматривать в обычном ньютоновском смысле.

Вообще в этом разделе под <math>q_i, \dot q_i</math> и <math>p_i</math> имеются в виду обобщённые координаты (не обязательно совпадающие с декартовыми), соответствующие этим координатам обобщённые скорости и канонически сопряженные этим координатам импульсы. В частном случае они могут быть выбраны в виде декартовых координат, тогда (в механике) соответствующие импульсы представляют собой обычные компоненты векторных импульсов материальных точек системы.

Для распределённых систем (например, для полей или упругих сплошных сред) действие обычно может быть записано так:

<math>S = \int \mathcal L(q,\dot q,x,t) dV dt</math>

или

<math>S = \int \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - \mathcal H(q,p,x,t) \bigg) dV dt</math>,

где:

  • <math>\mathcal L, \mathcal H</math> — плотности функции Лагранжа и Гамильтона соответственно,
  • <math>x</math> — точка пространства, занятого средой или полем (часто — обычного трёхмерного пространства),
  • <math>dV</math> — элемент объёма этого пространства,
  • <math>q_i, p_i</math> — значения обобщённых координат (например, смещений упругой среды или — для поля — полевой переменной, такой, как, например, электромагнитный потенциал) и обобщённых импульсов для данной точки <math>x</math> распределённой системы (среды или поля).

Интегрирование производится и по пространству и по времени. Общее количество координат и импульсов <math>q_i, p_i</math>, описывающих систему, как видим, в этом случае бесконечно, так как конечно их количество лишь для одного <math>x</math>, а множество самих <math>x</math> бесконечно.

Общий обзор

С современной точки зрения действие имеет смысл фазы волновой функции (правда, выраженной традиционно — для более прямой связи с классической механикой — в других единицах, а конкретно <math>S = \hbar \phi</math>, где <math>S</math> — действие, <math>\phi</math> — фаза в радианах, а <math>\hbar</math> — универсальная постоянная Планка).

Классическая физика (механика и теория поля) является высокочастотным и коротковолновым приближением квантовой, когда фазы волн очень велики (<math>S/\hbar >> 1</math>), что означает, что при данных («классических») условиях эксперимента (характерные размеры, характерные импульсы и характерные энергии рассматриваемой задачи) квантовые поправки к классической теории будут достаточно малы (на практике чаще всего настолько малы, что экспериментально не обнаружимы). В этом случае квантовая задача в целом сильно упрощается, переходя в классическую, и можно пользоваться принципом наименьшего действия и/или уравнением Гамильтона — Якоби, в которых действие продолжает играть ключевую роль.

В квантовой же физике — при решении той же задачи без условия <math>S/\hbar >> 1</math>, действие играет особенно большую роль в формализме фейнмановского интеграла по траекториям. Кроме того, часть результатов теории классического поля достаточно прямо переносится в определённом смысле на квантовый случай, а поскольку действие является одним из простейших объектов, манипулирование с ним (а прежде всего само написание действия для данной динамической системы — по́ля, частицы, взаимодействующих полей или частиц, или других объектов) часто является одним из эффективнейших инструментов при формулировке квантовой теории различных полей, даже если это не связано с написанием интеграла по траекториям и работы с ним в явном виде.

История

Мопертюи в работах 1740(?),17411746 гг. впервые сформулировал принцип наименьшего действия для механики и высказал мысль о том, что это универсальный закон природы, проинтерпретировав и оптику (принцип Ферма) в терминах действия (он использовал то, что сейчас принято называть укороченным действием). Мопертюи был склонен к теологической интерпретации этого принципа, свидетельствовавшего, по его мнению, об определенном совершенстве сотворённого Богом мира.

Ещё при жизни Мопертюи эти его работы были поддержаны и развиты Эйлером, к тому же разработавшим вариационное исчисление, позволявшее наиболее эффективно реализовать преимущества принципа.

Затем Лагранж (в «Аналитической механике» («Mécanique analytique»), опубликованной в 1788 г.) развил применение принципа наименьшего действия в механике, использовав вариационное исчисление и введя обобщённые координаты. Также он изложил в 1795 г. метод неопределенных множителей, позволяющий значительно улучшить использование принципа наименьшего действия в задачах со связями.

Действие для быстро движущейся («релятивистской») частицы было исправлено (по сравнению со старым ньютоново—лагранжевым вариантом, область применимости которого — движения, медленные по сравнению со скоростью света) в начале XX века, впервые это сделано явно, по-видимому, Планком в 1907 году[1], также в связи с этим можно упомянуть работы Минковского (1907) и Борна (1909)[2]. Оно приняло для свободной точечной частицы вид интервала (длины — собственного времени — в пространстве-времени Минковского) вдоль мировой линии (пространственно-временной траектории) частицы с обратным знаком, заменив обычное ньютоновское выражение в механике быстрых частиц. Поэтому принцип наименьшего действия для релятивистских частиц приводит к максимально возможому собственному времени вдоль траектории.

В 1915 Гильберт, использовав вариационный метод по отношению к действию Эйнштейна-Гильберта, получил верные уравнения гравитационного поля в общей теории относительности. При этом, пожалуй, впервые было в такой полноте использовано преимущество простоты подхода, исходящего из написания из общих соображений скалярного (инвариантного) действия (явный вид которого заранее не известен), а затем — получения уравнений движения для поля (уравнений поля) варьированием этого функционала.

В начале XX века Планк, Бор, Зоммерфельд, Шварцшильд и другие использовали действие (обычно укороченное действие) для ранней формулировки квантовой теории, являющейся с современной точки зрения неким вариантом квазиклассического приближения, оказавшейся довольно хорошо подходящей для описания таких ключевых задач, как гармонический осциллятор и атом с круговыми и эллиптическими орбитами электрона (по крайней мере, это касается простейшего случая — атома водорода). Правило квантования, широко использовавшееся на данном этапе развития квантовой теории, сводилось к квантованию укороченного действия на замкнутых орбитах в соответствии с условием

<math>\oint \sum p_i d q_i = n \hbar</math> или (в декартовых координатах для одной частицы): <math>\oint \vec p \cdot \vec{dr} = n \hbar</math>.

Луи де Бройль (19231924 гг.) использовал такой формализм для формулировки своих утверждений о волновой природе электрона и вообще материальных частиц.

Заметную роль в обосновании современной формы квантовой механики (в смысле выяснения её соотношения с классической) сыграло имеющее дело с действием как функцией координат и времени уравнение Гамильтона — Якоби, уже имеющее форму, близкую к форме основного уравнения квантовой механики — уравнения Шрёдингера — и являющегося при этом по сути его классическим пределом.

Фейнман разработал в квантовой механике метод интегрирования по траекториям (1938 год), переформулировавший квантовую механику так, что в ней органически использовался классический функционал действия, а отличие полного квантового описания от классического сводилось к необходимости суммировать величину <math>e^{iS}</math> по всем мыслимым траекториям (а не только по одной классической траектории или по близким к ней). Этот формализм является одним из наиболее популярных в современной теоретической физике высоких энергий, находя приложения (вместе с техникой диаграмм Фейнмана) и в других областях физики, а также в чистой математике. Впоследствии (1949 год) Фейнман разработал тесно связанный с интегрированием по траекториям, хотя и допускающий переформулировку, не использующую явно этого подхода, метод диаграмм Фейнмана, который стал одним из основных в квантовой теории поля и обеспечил один из путей преодоления трудностей квантовой электродинамики, которая в результате стала одной из наиболее точных физических теорий и стандартным образцом при построении других квантовополевых теорий.

Начиная со второй половины XX века был изобретен ряд обобщений действия для точечной частицы, например, в области теории струн — действие Намбу — Гото (действие-площадь) и действие Полякова.

В заключение следует сказать, что в современных абстрактных областях теоретической физики действие является одним из основных инструментов формулировки конкретной теории уже с начального этапа. Например, один из очень распространенных способов формулировки новой теории сводится к тому, что для исследуемой системы в первую очередь стараются написать действие, ограничивая возможные варианты наложением условий симметрии, и часто — ещё соображениями простоты.

Действие в классической механике

Действие в классической механике записывается в двух формах, в конечном итоге эквивалентных:

лагранжевой:

<math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t)dt</math>

или гамильтоновой:

<math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - H(q,p,t) \bigg) dt</math>.

(об укороченном действии — см. в параграфе «Терминология» выше).

Несмотря на эквивалентность в конечном итоге, лагранжева и гамильтонова форма записи действия обладают не совпадающими техническими и идейными преимуществами. Каждая из них может считаться основой для построения (на основе принципа наименьшего (или стационарного) действия) соответственно лагранжевой и гамильтоновой форм механики. А именно, осуществляя прямое варьирование первого действия по каждому <math>\delta q_i</math> независимо от других, или, что эквивалентно, написав для этого функционала уравнения Эйлера — Лагранжа, для второй же формы — варьируя независимо по каждому <math>\delta q_i</math> и <math>\delta p_i</math> (записав уравнения Гамильтона), нетрудно получить уравнения движения соответственно в лагранжевой и гамильтоновой форме. В частном случае использования декартовых координат это будут ньютоновские уравнения движения.

Проводя вывод уравнений движения с подходящим выбором координат (вообще говоря не декартовых) и с использованием метода неопределенных множителей Лагранжа, нетрудно получить в удобном виде и уравнения движения для систем со связями, иногда исключая из них реакции связей (что может заметно упрощать уравнения).

Следует заметить, что при всей фундаментальной значимости концепция действия не покрывает некоторых случаев макроскопической механики, например, не позволяет написать действие в случае наличия произвольных диссипативных сил, и соответственно не позволяет воспользоваться для их описания принципом наименьшего действия.

Классическое действие — с современной точки зрения — это величина, пропорциональная фазе квантовой волновой функции соответствующей частицы или системы (по сути это и есть фаза, только измеренная в других единицах; однако коэффициент пропорциональности внутри классической механики неизвестен — это существенно квантовая величина, с точки зрения классической механики важно только, что он очень мал). Сама же классическая механика есть коротковолновый предел квантовой, и может быть получена из неё переходом <math>\hbar / S \rightarrow 0</math>.

Действие для распределённых систем

Для механических распределённых систем (например, для упругих сплошных сред) действие обычно может быть записано так:

<math>S = \int \mathcal L(q,\dot q,x,t) dV dt</math>

или

<math>S = \int \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - \mathcal H(q,p,x,t) \bigg) dV dt</math>,

где <math>dV</math> — элемент объёма, трёхмерный в случае описания полей в трёхмерном пространстве, <math>\mathcal L, \mathcal H</math> — плотности функции Лагранжа и функции Гамильтона, <math>q,\dot q</math> и <math>p</math> — полевые переменные (например, потенциалы), соответствующие скорости <math>\dot q = \partial q / \partial t</math> и канонически сопряженные импульсы. Каждая такая полевая переменная, скорость и импульс есть функция <math>q = q(x,y,z,t), \dot q = \dot q(x,y,z,t), p = p(x,y,z,t)</math> «пространственных» переменных и времени, представляя собой, таким образом, бесконечномерный (с учетом физического представления о возможной атомной дискретизации распределённой системы — просто очень многомерный) вектор. Выделение отдельной координаты <math>q_i \in \R</math> сводится к разложению <math>q</math> по какому-то базису (это может быть, например, базис из дельта-функций, сводящий всё в сущности к пределу дискретной задачи, но, пожалуй, ещё чаще применяется из-за своего удобства преобразование Фурье).

Для немеханических распределенных систем подобная запись возможна на базе аналогии с механическими. В частности, сходный способ работает для фундаментальных полей, формально также подходящих под определение распределённых систем (хотя можно считать и это лишь аналогией, вопрос того или иного выбора здесь — в сущности терминологический). Подробно фундаментальные физические поля рассмотрены в отдельном параграфе, хотя обычные распределённые системы, механические в особенности, дают в общем достаточно хорошие модели, способствующие пониманию построения динамики этих полей и, в частности, вопросов, связанных с действием.

Примеры:

  • Для однородной изотропной сплошной линейной (подчиняющейся закону Гука; в реальности это почти всегда предполагает ограничение применимости модели случаями малых деформаций) упругой среды, заполняющей трёхмерное пространство или его область, можно в простейшем случае записать действие как
<math>S = \int ( {\rho\over 2} (\dot u)^2 - {E\over 2}(\nabla u)^2 ) dx dy dz dt</math>,
где <math>\rho = const</math> — плотность среды, <math>E = const</math> — модуль упругости, <math>u = u(x,y,z,t)</math> — отклонение упругой среды в данной точке в данный момент времени от условного положения равновесия — это распределённая обобщенная координата (в данной задаче это трехмерный вектор, но именно при сформулированных условиях можно рассматривать каждую из его компонент отдельно), <math>\dot u</math> — скорость изменения u со временем — распределённая скорость, тоже, конечно, функция x, y, z, t. <math>\nabla</math> здесь — оператор градиента, который можно тут считать применяемым отдельно к каждой компоненте u, при сложении затем квадратов трех компонент.
Варьирование этого функционала по u даёт уравнение движения в виде обычного волнового уравнения независимо для каждой компоненты u, то есть для <math>u_x, u_y, u_z</math>.
Выписанное действие легко может быть использовано и для неоднородной среды, то есть для непостоянных <math>\rho</math> и :<math>E</math>, также оно прямо обобщается на анизотропные среды с тензорным <math>E</math>. Во всех этих случаях уравнение движения среды будет уже заметно отличаться от обычного волнового, но может быть практически столь же легко получено варьированием этого действия.

Действие в классической теории поля

Действие в классической теории поля используется для получения уравнений поля (как свободных, так и с источниками) из принципа стационарного (наименьшего) действия (варьированием по полевым переменным). Также оно используется для получения уравнений движения частиц при взаимодействии с данным полем, также через принцип стационарного (наименьшего) действия, но варьированием уже по координатам (а в гамильтоновом варианте — и по импульсам) частиц.

Сам вид действия для поля (применяемого как в классическом, так и в квантовом смысле) в общем очень похож на вид действия для распределённых систем (в частности, для механических распределённых систем, таких, как струна, мембрана и т. п.). Это позволяет установить иногда прямую, иногда условную, аналогию между тем и другим случаем, хотя в деталях то и другое может заметно различаться (так что прямая механическая аналогия возможна не всегда, а иногда её просто оказывается не слишком легко построить и использовать).

Чаще всего (в случае линейных полей или изучения их в линейном приближении) действие имеет достаточно простой вид и распадается на три члена:

<math>S = S_f + S_{int} + S_s</math>,

где <math>S_f</math> — «действие свободного поля» — которое существенно для изучения поведения поля без его взаимодействия с «веществом» (другими полями), <math>S_{int}</math> — член взаимодействия, из которого выводится действие «вещества» (других полей) на данное поле, <math>S_s</math> — действие для свободного «вещества» (других полей), определяющее их поведение в отсутствие данного поля, в частности, такие свойства «вещества», как его инертность. Форма второго члена определяет в уравнениях поля члены, представляющие его источник(и), и определяет действие данного поля на «вещество» (другие поля), например, уравнения движения заряженной частицы в данном поле (конкретнее, силы, действующие на неё) выводятся из <math>S_{int}</math> и <math>S_s</math>.

Однако для существенно нелинейных полей такое разбиение на три отдельных слагаемых, вообще говоря, не удаётся (и даже при вычленении линейного приближения зачастую остаются определенного рода проблемы, хотя само по себе оно часто бывает осмысленно и возможно). Например, в общей теории относительности (и других метрических теориях гравитации) гравитационное поле попадает в член, касающийся «вещества» (и негравитационных полей) в виде метрики, входящей в элемент объёма и в ковариантные производные. Этот факт обеспечивает взаимодействие гравитации с «веществом», не требуя отдельного члена <math>S_{int}</math> (случай так называемой минимальной связи), и он же делает уравнение гравитационного поля существенно нелинейным. Другой пример (правда, относящийся к квантовой теории поля, но имеющий и аналогии в классической): квантовая электродинамика — её линейное приближение при расчёте по теории возмущений в петлевых диаграммах приводит к бесконечным бессмысленным результатам, связанным с действительной невозможностью выделить голые (затравочные, невзаимодействующие) поля заряженной частицы и электромагнитного поля. Путём решения этой проблемы стала программа перенормировок, которая восстанавливает лагранжиан действительных (взаимодействующих) полей.

Скалярное поле

Среди фундаментальных физических полей скалярные поля, хотя и присутствуют в теории, но пока само их существование носит в значительной мере гипотетический характер, а свойства, соответственно, достаточно плохо известны. Однако это самый простой случай, к тому же, кроме фундаментальных полей представляют интерес такие макроскопические поля, как, например, поле давления газа в акустике, которое в случае малых (и гладких) отклонений от равновесия может быть в известном смысле прямо уподоблено абстрактному скалярному полю.

Простейшим видом действия для скалярного поля <math>\phi</math>, ведущим к линейному уравнению поля, является вид:

<math>S =

S_f + S_{int} + S_s = \int \frac{1}{\alpha}(\frac{1}{c^2} (\partial_t \phi)^2 - (\nabla \phi)^2 - m^2 \phi^2) dV dt + S_{int} + S_s</math>,

(записано в форме, соответствующей полю в трёхмерном пространстве; здесь <math>\alpha</math> — «силовая константа», <math>c</math> — скорость распространения волн поля <math>\phi</math>, которая для фундаментальных полей обычно — чтобы не нарушался принцип относительности — полагается равной скорости света, <math>\nabla</math> — трёхмерный градиент, m — масса поля <math>\phi</math> (<math>m = 0</math> для безмассовых полей), <math>dV</math> — элемент трёхмерного объёма). Как видим, <math>S_f</math> лоренц-инвариантно, и его очень легко переписать в четырёхмерных обозначениях, в которых это ещё более очевидно.

Будучи проварьировано по <math>\phi</math> (для свободного поля, то есть для <math>S_{int} = S_s = 0</math>), это действие даёт уравнение Клейна — Гордона, а при m = 0 — волновое уравнение. Случай <math>m^2 < 0</math> дает вариант уравнения Клейна — Гордона для тахионного скалярного поля, которое также может иметь применение в теории (это поле с неустойчивым равновесием при <math>\phi = 0</math> в бесконечном пространстве или без наложения граничных условий, приводящих к устойчивости).

  • Член взаимодействия <math>S_{int}</math> не будем здесь конкретизировать, так как мы не рассматриваем здесь какое-то конкретное скалярное поле и его взаимодействие с чем-то конкретным ещё. Однако заметим, что если мы не хотим нарушения принципа относительности, этот член должен быть также лоренц-инвариантным (как и <math>S_f, S_s</math>). Например, для взаимодействия с другим скалярным полем <math>u</math> этот член может быть <math> const\cdot\int \phi u\, dV dt</math> или <math>const' \cdot \int (\partial_i \phi) (\partial^i u)\, d^4x</math> или их суммой и т. п.).

Электромагнитное поле

Стандартное действие для электромагнитного поля записывается так

<math>S = S_f + S_{int} + S_s</math>,

где

<math>S_f = -\frac{1}{2\alpha} \int F_{ij}F^{ij} dx dy dz dt = \frac{1}{\alpha}\int (E^2 - H^2) dx dy dz dt</math>

— действие для свободного поля (<math>F_{ij}</math> здесь — тензор электромагнитного поля, <math>\alpha</math> — константа, зависящая от используемой системы единиц, подразумевается суммирование по <math>i,j</math> по правилу Эйнштейна),

член взаимодействия может быть записан по-разному:

<math>S_{int} = - \int A_i j^i dx dy dz dt</math>

или

<math>S_{int} = - \int q A_i u^i d\tau = - \frac{1}{c}\int q A_i dx^i = \int (- q \phi + q \vec A \cdot \vec v /c) dt</math>,

(первая форма удобна для вывода уравнения (уравнений) поля (с источниками), а второе — для вывода уравнения движения заряженной частицы; здесь <math>A_i</math> — электромагнитный потенциал, <math>q</math> — заряд частицы, <math>u^i</math> — 4-скорость, <math>d\tau</math> — дифференциал собственного времени (интервала, деленного на <math>c</math>), <math>\phi</math> и <math>\vec A</math> — электрический и трёхмерный векторный потенциал, <math>\vec v</math> — трёхмерная скорость, <math>c</math> — скорость света, а <math>dx^i = (dx^0,dx^1,dx^2,dx^3) = (c dt, dx,dy,dz)</math> — четырёхмерные пространственно-временные координаты; для нескольких частиц следует взять несколько членов такого вида — по одному для каждой),

<math>S_s</math> — действие для «вещества» (свободных частиц), которое вместе с <math>S_{int}</math> используется для вывода уравнений движения заряженных частиц. Для быстрых («релятивистских») частиц (см. ниже) следует взять (в пренебрежении спином) действие
<math>S_s = -\int m c^2 d\tau = -\int m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2} dt</math>,

где <math>m</math> — масса (масса покоя) частицы, <math>c</math> — скорость света, <math>d\tau</math> — дифференциал собственного времени (для нескольких частиц надо взять сумму нескольких членов такого вида).

Если же движение частиц медленное по сравнению со скоростью света и достаточно ньютоновского приближения, то можно взять соответствующее приближённое действие, обычное для классической механики:

<math>S_s = \int \frac{m v^2}{2} dt</math>.

Проще всего получить уравнения Максвелла в форме

<math>\partial_i F^{ik} = \alpha j^k,</math>

варьируя записанное выше действие по <math>A_i</math> и используя определение <math>F_{ij} = \partial_i A_j - \partial_j A_i</math>.

Варьируя по <math>x^i</math>, получают уравнения движения, которые проще всего выглядят в четырёхмерной форме:

<math>d p^i/d\tau = m d u^i / d\tau = q F^i_j u^j</math>,

где правая часть совпадает с обычной силой Лоренца, которая может быть также записана (а при желании и получена явно) и в трёхмерном виде; то есть, в трёхмерном виде уравнение движения будет таким:

<math>\frac {d \mathbf p}{dt} = q \mathbf E + q\ \mathbf v \times \mathbf B</math>.

Релятивистское действие

Действие для электромагнитного поля (и его член для свободного поля, и член, описывающий взаимодействие с токами) с самого начала лоренц-инвариантно (точнее, является 4-скаляром). То же можно сказать о действии для всех фундаментальных полей, известных в современных теориях (говоря несколько точнее — в общепризнанных теориях, прошедших экспериментальную проверку).

Однако действие классической (ньютоновской) механики, не важно, в какой форме оно записано, гамильтоновой или лагранжевой, не обладает свойством лоренц-инвариантности. Исторически в определенный момент (на грани XIX и XX веков) возникла необходимость привести механику в соответствие с принципом относительности, а значит, сделать её лоренц-ковариантной. Простейший путь для этого — написать для частицы («материальной точки») такое действие, которое бы было лоренц-инвариантным, а затем обычной процедурой варьирования получить из него уравнение движения, которое будет уже лоренц-ковариантным (приближённо, при медленных движений, такая механика должна совпадать с ньютоновской, так как та хорошо проверена для малых скоростей).

Простейшее действие для свободной частицы, которое можно предложить, исходя из геометрии Минковского, — это величина, с точностью до постоянного множителя совпадающая с длиной мировой линии данной частицы (а соображения размерности определят коэффициент):

<math>S = - \int mc^2 d\tau = - \int mc\ ds = -mc^2 \int u^i u_i\ d\tau = - mc^2 \int \sqrt{1 - v^2/c^2}\ dt</math>,

где <math>m</math> — масса (масса покоя), <math>\tau</math> — собственное время, измеренное вдоль мировой линии частицы, <math>ds</math> — элемент интервала вдоль неё, <math>u^i</math> — 4-скорость, <math>v</math> — трёхмерная скорость, <math>t</math> — время («координатное время», время лабораторной системы отсчета).

Разложив <math>\sqrt{1 - v^2/c^2}</math> по порядкам малости величины <math>v^2/c^2</math> (в случае, когда она достаточно мала, много меньше единицы), легко получаем нерелятивистское действие классической механики:

<math>S = - mc^2 \int \sqrt{1 - v^2/c^2} dt \approx \int (-mc^2 + \frac{mv^2}{2}) dt = \mathrm{const}\cdot (t_2 - t_1) + \int \frac{mv^2}{2} dt = const\cdot (t_2 - t_1) + S_{newtonian}</math>,

где первый член можно отбросить, так как он не даёт никакого вклада в уравнения движения (за исключением вклада в уравнения гравитационного поля, в которых его влияние не исчезает даже в этом приближении; здесь же идет речь об уравнениях движения самой частицы, для которой написано действие, а гравитация в эйнштейновском смысле не рассматривается). При желании можно в проделанном разложении сохранить и члены следующих порядков по <math>v^2/c^2</math>, дающие релятивистские поправки для случая малых скоростей (вместо того, чтобы использовать точное релятивистское действие и точные уравнения движения, если такое почему-либо целесообразно).

Действие в теории гравитации

Для ньютоновской теории тяготения действие можно бы было записать как <math>S = {1 \over 16\pi G}\int (\nabla \phi)^2 dxdydzdt + S_m</math>, где <math>S_m</math> — действие «материи», как принято говорить в теориях гравитации — то есть всего, кроме гравитации, а <math>\nabla \phi</math> — трехмерный градиент гравитационного потенциала (что означает бесконечную скорость распространения гравитационного взаимодействия). Эта величина явно не лоренц-инвариантна, поэтому, как и вся классическая механика, может распространяться — приближённо — на случай медленного (в сравнении со скоростью света) движения и не очень сильных гравитационных полей (хотя бы потому, что сильные поля, вообще говоря, будут разгонять тела до больших скоростей). Есть много теорий, которые тем или иным образом вносили поправки в это действие с целью сделать его лоренц-инвариантным (см. Альтернативные теории гравитации), однако большинство из них имеют сейчас только историческое значение или наоборот пока не доказали научному сообществу своих преимуществ. Также некоторые перспективные для описания гравитации (хотя и тоже довольно далёкие от окончательного утверждения) теории, такие, как, например, теория струн и её обобщения, к тому же достаточно сложны и охватывают не только гравитацию, поэтому заслуживают отдельного рассмотрения.

Поэтому здесь ограничимся тем, что приведем действие, соответствующее основной (неквантовой) теории гравитации современной физики — общей теории относительности. Это действие Эйнштейна — Гильберта:

<math>S={1\over 16\pi G}\int R \sqrt{-g}d^4 x+S_m\,,</math>

где <math>G</math> — гравитационная постоянная Ньютона, <math>R=R_\mu^\mu</math> — скалярная кривизна (скаляр Риччи) пространства-времени, <math>g=|g_{\mu\nu}|</math> — определитель матрицы компонентов метрического тензора, а <math>S_m</math> — действие для негравитационных полей (массивных частиц, электромагнитного поля и так далее).

Варьированием этого действия по метрике <math>g_{ij}</math> пространства-времени (играющей роль гравитационного потенциала, то есть полевых переменных в этой теории) получаются уравнения Эйнштейна (иногда называемые также уравнениями Эйнштейна — Гильберта) в виде:

<math>R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}</math>

(именно таким образом их получил впервые в 1915 году Гильберт, Эйнштейн шёл другим путём).

Член уравнения, описывающий источник гравитационного поля (правая часть) получается при этом потому, что метрика <math>g_{\mu\nu}</math>, по которой осуществляется варьирование, входит и в <math>S_m = \int \mathcal L \sqrt{-g}d^4x</math> как минимум через множитель <math>\sqrt{-g}</math>, входящий в выражение элемента (четырёхмерного) объёма (здесь <math>\mathcal L</math> — плотность функции Лагранжа для «вещества» — то есть всех негравитационных полей, а <math>T_{\mu\nu}</math> — их тензор энергии-импульса).

Действие для гравитационного поля ОТО может быть переписано и в другом виде, эквивалентном данному за исключением граничных условий (а если граничные почему-либо обнуляются, то в полностью эквивалентном), и содержащем под интегралом вместо тензора кривизны конструкцию из <math>\Gamma^\lambda_{\mu\nu}</math>, которую можно интерпретировать как квадрат напряжённости гравитационного поля — то есть в форме, аналогичной тому, как обычно записывается действие для более простых — скалярных и векторных — полей, например электромагнитного.

Дополняя же написанное выше действие членом <math>\int \Lambda \sqrt{-g}d^4 x</math>, получаем уравнения Эйнштейна с <math>\Lambda</math>-членом:

<math>R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}</math>

Вполне удовлетворительной квантовой теории гравитации, насколько известно, в настоящее время (2009 год) не существует. Однако многие из теорий, которые с большим или меньшим основанием могут претендовать на эту роль, дают обычно эффективное действие Эйнштейна — Гильберта в низкоэнергетическом пределе.

Действие и квантовая механика

Действие для фермионных полей

Для фермионных (в частности, для спинорных) полей можно не только написать действие, но и получить формально классические уравнения для этих полей, варьируя такое действие. Однако в отличие от бозонных, фермионные поля наблюдаемы в их классическом виде хуже, так как принцип Паули запрещает более чем одному фермиону находиться в одном состоянии, что разрешено для бозонов и позволяет им, находясь в одинаковом квантовом состоянии в большом количестве, наблюдаться как обычное классическое поле, например, электромагнитное. Но при этом есть теорема, утверждающая (по крайней мере в рамках применимости теории возмущений), что результат вторичного квантования для таких фермионных полей совпадает с интерпретацией таких «классических» полей как волновых функций фермионов в смысле первичного квантования.

Таким образом, например, полученное с помощью принципа стационарного действия из той или иной формы записи действия для частицы со спином 1/2 уравнение Дирака имеет прямое отношение к квантовому описанию такого фермиона (например, электрона).

У уравнения Дирака есть свойство, представляющее определённую трудность для получения его из действия с квадратичным лагранжианом (да и каким-либо иным, если пользоваться обычными правилами варьирования и считать компоненты спиноров обычными числами). Это свойство — первый порядок производных в уравнении Дирака.

Из положения иногда выходят, просто введя искусственные формальные модификации ограничения на правила варьирования или действия операторов производных.

Более систематический, по-видимому, подход заключается в том, что фермионные поля (спиноры и их компоненты) считаются грассмановыми, то есть антикоммутирующими числами, что меняет знак членов с производными первого и второго порядка по сравнению с обычным, из-за чего члены второго порядка при варьировании уничтожаются, а первого остаются.

Фейнмановский интеграл по траекториям

Фейнмановский интеграл по траекториям применим к квантовому описанию как точечных частиц в обычном пространстве, так и полей (как распределенных систем) в конфигурационном пространстве (и эта применимость к обоим случаям в принципе неудивительна, поскольку формальное отличие между точечной частицей и многомерной, даже бесконечномерной, динамической системой — лишь в размерности конфигурационного пространства, что в целом хорошо понятно уже в рамках классической механики).

Если действие S[x] (в сущности, совпадающее с обычным классическим действием, по крайней мере для систем, описание которых не настолько экзотично, чтобы затруднять такое словоупотребление) известно, то есть его можно написать для обычной классической траектории <math>x(\tau)</math> в «обычном» или конфигурационном пространстве (<math>\tau</math> может быть временем или просто переменной при параметрическом задании в четырёхмерной записи), то квантовая волновая функция такой системы c точечным источником в пространственно-временной точке <math>x_1</math>[3] может быть записана в виде функционального интеграла

<math>\Psi(x_2,x_1) = \int Dx e^{iS[x]/\hbar}</math>,

где x — траектория, начинающаяся в <math>x_1</math> и кончающаяся в <math>x_2</math>, интеграл означает суммирование по всем мыслимым таким траекториям, для каждой из которых действие S[x] имеет своё значение. Причём в релятивистском случае среди траекторий есть и траектории с участками обратного движения во времени, которые могут быть интерпретированы как траектории виртуальной античастицы во времени вперед, а точки поворота — как виртуальное рождение и уничтожение пар частица-античастица.

В квантовой теории поля применяется интегрирование как по траекториям частиц в обычном пространстве (точнее, в пространстве-времени), которое обычно называют в этом случае первичным квантованием, так и по траекториям в пространстве полевых переменных, что называется вторичным квантованием. Тот и другой способ, насколько известно, дает эквивалентные результаты в рамках теории возмущений.

Фейнмановский интеграл по траекториям — один из наиболее популярных у современных физиков-теоретиков способов квантования (построения квантовой теории). Одновременно это один из наиболее прямых способов сопоставления квантовой картины с классической, что является одним из серьёзных его психологических преимуществ, так как каждая траектория в нём в принципе воспринимается как классическая, а действие вычисляется в точности по классическому рецепту, что в ряде случаев и аспектов делает теорию заметно более обозримой и легко понимаемой, чем другие подходы. В числе прочего это свойство удобно для осуществления предельного перехода к классике (см. ниже), и переход к ней исходя из интеграла по траекториям является в этом смысле одним из наиболее стандартных путей в современной физике. То же относится и к достаточному удобству получения таким путём квазиклассического приближения (также см. ниже).

В ряде случаев (весьма ограниченном — когда действие квадратично по координатам или полевым переменным и их производным, и интеграл сводится к многомерному гауссову с предельным переходом к бесконечномерному случаю) фейнмановский интеграл по траекториям может быть вычислен явно и точно. Практикуется его расчёт численными методами. Во многих случаях этот интеграл полезен в различных преобразованиях и прочих теоретических расчётах.

Нетрудно установить эквивалентность подхода интегрирования по траекториям уравнению Шрёдингера, по крайней мере при тривиальной топологической ситуации.

Для свободных (не взаимодействующих друг с другом) полей на пустом плоском пространстве интегрирование по траекториям позволяет часто получить в явном виде пропагатор, который оказывается совпадающим с пропагатором, получаемым из дифференциального уравнения для соответствующего поля (например, из волнового уравнения для безмассового скалярного поля). При этом оказывается, что для взаимодействующих полей интеграл по траекториям является, пожалуй, наиболее естественным (и популярным среди современных теоретиков) способом обоснования техники диаграмм Фейнмана. Дело в том, что интеграл по траекториям для системы взаимодействующих частиц (полей) легко разбивается на части, где взаимодействия нет (а результат, как мы говорили чуть выше, для этого случая известен — это пропагатор, соответствующий поведению свободного поля, который может быть довольно легко вычислен любым способом), дополненные точечным взаимодействием, которое уже сводится к обычному конечномерному интегрированию — в соответствии с правилами Фейнмана.

Однако квантование с помощью интеграла по траекториям не ограничено теорией возмущений (диаграммами Фейнмана). Этот способ находит и более нетривиальные применения, как в теоретической физике, так и в некоторых областях чистой математики.[4][5][6]

Действие и предельный переход к классике

В квантовой механике тот факт, что поведение квантовомеханической системы стремится к классической физике в пределе больших действий (больших квантовых чисел), называется принципом соответствия. Этот принцип ввёл Нильс Бор в 1923 году.

Правила квантовой механики очень успешно применяются в описании микроскопических объектов, типа атомов и элементарных частиц. С другой стороны, эксперименты показывают, что разнообразные макроскопические системы (пружина, конденсатор и т.д) можно достаточно точно описать в соответствии с классическими теориями, используя классическую механику и классическую электродинамику (хотя существуют макроскопические системы, демонстрирующие квантовое поведение, например, сверхтекучий жидкий гелий или сверхпроводники). Однако, весьма разумно полагать, что окончательные законы физики должны быть независимыми от размера описываемых физических объектов. Это предпосылка для принципа соответствия Бора, который утверждает, что классическая физика должна появиться как приближение к квантовой физике, поскольку системы становятся большими.

Условия, при которых квантовая и классическая механики совпадают, называются классическим пределом. Бор предложил грубый критерий для классического предела: переход происходит, когда квантовые числа, описывающие систему являются большими, означая или возбуждение системы до больших квантовых чисел, или то, что система описана большим набором квантовых чисел, или оба случая. Более современная формулировка говорит, что классическое приближение справедливо при больших значениях действия <math>S \gg \hbar</math>. В терминах «школьной» физики это означает, что должны соблюдаться неравенства:

<math>P \times l \gg \hbar</math>
<math>E \times t \gg \hbar</math>

(произведение характерного импульса процесса на его характерный размер и произведение характерной энергии процесса на его характерное время значительно больше <math>\hbar</math>)

Принцип соответствия — один из инструментов, доступных физикам для того, чтобы выбрать соответствующую действительности квантовую теорию. Принципы квантовой механики довольно широки — например, они заявляют, что состояния физической системы занимают Гильбертово пространство, но не говорят, какое именно. Принцип соответствия ограничивает выбор теми пространствами, которые воспроизводят классическую механику в классическом пределе.

Формулировка Дирака

Формулировка Дирака, называемая также «Принцип соответствия Дирака»: «Соответствие между квантовой и классической теориями состоит не столько в предельном согласии при <math> \hbar \rightarrow 0 </math>, сколько в том, что математические операции двух теорий подчиняются во многих случаях тем же законам.»[7][8]

Интегралы по траекториям

В формулировке квантовой механики через интегралы по траекториям траектории, дающие значение действия, заметно отличающиеся от стационарного (определяемого исходя из принципа наименьшего действия), дают малый вклад в итоговую амплитуду перехода (бесконечно малый при <math>S_{min} \to \infty</math>). Таким образом в квазиклассическом приближении <math>S_{min} \to \infty</math> амплитуда перехода определяется лишь классическими траекториями частиц (в простейшем случае движения в пространстве такая траектория единственна), определяемыми из принципа наименьшего действия, а уравнение Шрёдингера переходит в уравнение Гамильтона — Якоби.

См. также

Напишите отзыв о статье "Действие (физическая величина)"

Ссылки

  • [www.femto.com.ua/articles/part_1/0950.html Статья «Действие»] в Физической энциклопедии

Примечания

  1. Доклад на заседании Немецкого физического общества 23 марта 1906 г. Verh. d. Deutsch. Phys., b. 4, s. 136. — перевод с немецкого — см. «Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности». — М.: Атомиздат, 1973. — С. 163.
  2. В. Паули. § 31. Инвариантный принцип действия в электродинамике // Теория относительности / Под ред. В. Л. Гинзбурга и В. П. Фролова.. — 3-е, испр.. — М.: Наука, 1991. — С. 125—127. — 328 с. — ISBN 5-02-014346-4.
  3. В сущности в такой формулировке речь идет о пропагаторе (функции Грина).
  4. Witten E. Quantum field theory and the Jones polynomial. — Commun. Math. Phys., 1989. — Т. 121, вып. 3. — С. 351-399. — DOI:10.1007/BF01217730.
  5. Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem. — Commun. Math. Phys., 1983. — Т. 90, вып. 2. — С. 161-173. — DOI:10.1007/BF01205500.
  6. Kontsevich, M. [arxiv.org/abs/q-alg/9709040 Deformation quantization of Poisson manifolds]. — Letters in Math. Phys., 2003. — Т. 66, вып. 3. — С. 157-216. — DOI:10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf.
  7. Дирак П. А. М. Собрание научных трудов. — М.: Физматлит, 2003. — Т. II Квантовая теория (научные статьи 1924-1947). — С. 67.
  8. Дирак П. А. М. К созданию квантовой теории поля. Основные статьи 1925-1958. — М: Наука, 1990. — С. 34. — 368 с.

Отрывок, характеризующий Действие (физическая величина)

– Annette, ради Бога, не откажи мне, – сказала вдруг графиня, краснея, что так странно было при ее немолодом, худом и важном лице, доставая из под платка деньги.
Анна Михайловна мгновенно поняла, в чем дело, и уж нагнулась, чтобы в должную минуту ловко обнять графиню.
– Вот Борису от меня, на шитье мундира…
Анна Михайловна уж обнимала ее и плакала. Графиня плакала тоже. Плакали они о том, что они дружны; и о том, что они добры; и о том, что они, подруги молодости, заняты таким низким предметом – деньгами; и о том, что молодость их прошла… Но слезы обеих были приятны…


Графиня Ростова с дочерьми и уже с большим числом гостей сидела в гостиной. Граф провел гостей мужчин в кабинет, предлагая им свою охотницкую коллекцию турецких трубок. Изредка он выходил и спрашивал: не приехала ли? Ждали Марью Дмитриевну Ахросимову, прозванную в обществе le terrible dragon, [страшный дракон,] даму знаменитую не богатством, не почестями, но прямотой ума и откровенною простотой обращения. Марью Дмитриевну знала царская фамилия, знала вся Москва и весь Петербург, и оба города, удивляясь ей, втихомолку посмеивались над ее грубостью, рассказывали про нее анекдоты; тем не менее все без исключения уважали и боялись ее.
В кабинете, полном дыма, шел разговор о войне, которая была объявлена манифестом, о наборе. Манифеста еще никто не читал, но все знали о его появлении. Граф сидел на отоманке между двумя курившими и разговаривавшими соседями. Граф сам не курил и не говорил, а наклоняя голову, то на один бок, то на другой, с видимым удовольствием смотрел на куривших и слушал разговор двух соседей своих, которых он стравил между собой.
Один из говоривших был штатский, с морщинистым, желчным и бритым худым лицом, человек, уже приближавшийся к старости, хотя и одетый, как самый модный молодой человек; он сидел с ногами на отоманке с видом домашнего человека и, сбоку запустив себе далеко в рот янтарь, порывисто втягивал дым и жмурился. Это был старый холостяк Шиншин, двоюродный брат графини, злой язык, как про него говорили в московских гостиных. Он, казалось, снисходил до своего собеседника. Другой, свежий, розовый, гвардейский офицер, безупречно вымытый, застегнутый и причесанный, держал янтарь у середины рта и розовыми губами слегка вытягивал дымок, выпуская его колечками из красивого рта. Это был тот поручик Берг, офицер Семеновского полка, с которым Борис ехал вместе в полк и которым Наташа дразнила Веру, старшую графиню, называя Берга ее женихом. Граф сидел между ними и внимательно слушал. Самое приятное для графа занятие, за исключением игры в бостон, которую он очень любил, было положение слушающего, особенно когда ему удавалось стравить двух говорливых собеседников.
– Ну, как же, батюшка, mon tres honorable [почтеннейший] Альфонс Карлыч, – говорил Шиншин, посмеиваясь и соединяя (в чем и состояла особенность его речи) самые народные русские выражения с изысканными французскими фразами. – Vous comptez vous faire des rentes sur l'etat, [Вы рассчитываете иметь доход с казны,] с роты доходец получать хотите?
– Нет с, Петр Николаич, я только желаю показать, что в кавалерии выгод гораздо меньше против пехоты. Вот теперь сообразите, Петр Николаич, мое положение…
Берг говорил всегда очень точно, спокойно и учтиво. Разговор его всегда касался только его одного; он всегда спокойно молчал, пока говорили о чем нибудь, не имеющем прямого к нему отношения. И молчать таким образом он мог несколько часов, не испытывая и не производя в других ни малейшего замешательства. Но как скоро разговор касался его лично, он начинал говорить пространно и с видимым удовольствием.
– Сообразите мое положение, Петр Николаич: будь я в кавалерии, я бы получал не более двухсот рублей в треть, даже и в чине поручика; а теперь я получаю двести тридцать, – говорил он с радостною, приятною улыбкой, оглядывая Шиншина и графа, как будто для него было очевидно, что его успех всегда будет составлять главную цель желаний всех остальных людей.
– Кроме того, Петр Николаич, перейдя в гвардию, я на виду, – продолжал Берг, – и вакансии в гвардейской пехоте гораздо чаще. Потом, сами сообразите, как я мог устроиться из двухсот тридцати рублей. А я откладываю и еще отцу посылаю, – продолжал он, пуская колечко.
– La balance у est… [Баланс установлен…] Немец на обухе молотит хлебец, comme dit le рroverbe, [как говорит пословица,] – перекладывая янтарь на другую сторону ртa, сказал Шиншин и подмигнул графу.
Граф расхохотался. Другие гости, видя, что Шиншин ведет разговор, подошли послушать. Берг, не замечая ни насмешки, ни равнодушия, продолжал рассказывать о том, как переводом в гвардию он уже выиграл чин перед своими товарищами по корпусу, как в военное время ротного командира могут убить, и он, оставшись старшим в роте, может очень легко быть ротным, и как в полку все любят его, и как его папенька им доволен. Берг, видимо, наслаждался, рассказывая всё это, и, казалось, не подозревал того, что у других людей могли быть тоже свои интересы. Но всё, что он рассказывал, было так мило степенно, наивность молодого эгоизма его была так очевидна, что он обезоруживал своих слушателей.
– Ну, батюшка, вы и в пехоте, и в кавалерии, везде пойдете в ход; это я вам предрекаю, – сказал Шиншин, трепля его по плечу и спуская ноги с отоманки.
Берг радостно улыбнулся. Граф, а за ним и гости вышли в гостиную.

Было то время перед званым обедом, когда собравшиеся гости не начинают длинного разговора в ожидании призыва к закуске, а вместе с тем считают необходимым шевелиться и не молчать, чтобы показать, что они нисколько не нетерпеливы сесть за стол. Хозяева поглядывают на дверь и изредка переглядываются между собой. Гости по этим взглядам стараются догадаться, кого или чего еще ждут: важного опоздавшего родственника или кушанья, которое еще не поспело.
Пьер приехал перед самым обедом и неловко сидел посредине гостиной на первом попавшемся кресле, загородив всем дорогу. Графиня хотела заставить его говорить, но он наивно смотрел в очки вокруг себя, как бы отыскивая кого то, и односложно отвечал на все вопросы графини. Он был стеснителен и один не замечал этого. Большая часть гостей, знавшая его историю с медведем, любопытно смотрели на этого большого толстого и смирного человека, недоумевая, как мог такой увалень и скромник сделать такую штуку с квартальным.
– Вы недавно приехали? – спрашивала у него графиня.
– Oui, madame, [Да, сударыня,] – отвечал он, оглядываясь.
– Вы не видали моего мужа?
– Non, madame. [Нет, сударыня.] – Он улыбнулся совсем некстати.
– Вы, кажется, недавно были в Париже? Я думаю, очень интересно.
– Очень интересно..
Графиня переглянулась с Анной Михайловной. Анна Михайловна поняла, что ее просят занять этого молодого человека, и, подсев к нему, начала говорить об отце; но так же, как и графине, он отвечал ей только односложными словами. Гости были все заняты между собой. Les Razoumovsky… ca a ete charmant… Vous etes bien bonne… La comtesse Apraksine… [Разумовские… Это было восхитительно… Вы очень добры… Графиня Апраксина…] слышалось со всех сторон. Графиня встала и пошла в залу.
– Марья Дмитриевна? – послышался ее голос из залы.
– Она самая, – послышался в ответ грубый женский голос, и вслед за тем вошла в комнату Марья Дмитриевна.
Все барышни и даже дамы, исключая самых старых, встали. Марья Дмитриевна остановилась в дверях и, с высоты своего тучного тела, высоко держа свою с седыми буклями пятидесятилетнюю голову, оглядела гостей и, как бы засучиваясь, оправила неторопливо широкие рукава своего платья. Марья Дмитриевна всегда говорила по русски.
– Имениннице дорогой с детками, – сказала она своим громким, густым, подавляющим все другие звуки голосом. – Ты что, старый греховодник, – обратилась она к графу, целовавшему ее руку, – чай, скучаешь в Москве? Собак гонять негде? Да что, батюшка, делать, вот как эти пташки подрастут… – Она указывала на девиц. – Хочешь – не хочешь, надо женихов искать.
– Ну, что, казак мой? (Марья Дмитриевна казаком называла Наташу) – говорила она, лаская рукой Наташу, подходившую к ее руке без страха и весело. – Знаю, что зелье девка, а люблю.
Она достала из огромного ридикюля яхонтовые сережки грушками и, отдав их именинно сиявшей и разрумянившейся Наташе, тотчас же отвернулась от нее и обратилась к Пьеру.
– Э, э! любезный! поди ка сюда, – сказала она притворно тихим и тонким голосом. – Поди ка, любезный…
И она грозно засучила рукава еще выше.
Пьер подошел, наивно глядя на нее через очки.
– Подойди, подойди, любезный! Я и отцу то твоему правду одна говорила, когда он в случае был, а тебе то и Бог велит.
Она помолчала. Все молчали, ожидая того, что будет, и чувствуя, что было только предисловие.
– Хорош, нечего сказать! хорош мальчик!… Отец на одре лежит, а он забавляется, квартального на медведя верхом сажает. Стыдно, батюшка, стыдно! Лучше бы на войну шел.
Она отвернулась и подала руку графу, который едва удерживался от смеха.
– Ну, что ж, к столу, я чай, пора? – сказала Марья Дмитриевна.
Впереди пошел граф с Марьей Дмитриевной; потом графиня, которую повел гусарский полковник, нужный человек, с которым Николай должен был догонять полк. Анна Михайловна – с Шиншиным. Берг подал руку Вере. Улыбающаяся Жюли Карагина пошла с Николаем к столу. За ними шли еще другие пары, протянувшиеся по всей зале, и сзади всех по одиночке дети, гувернеры и гувернантки. Официанты зашевелились, стулья загремели, на хорах заиграла музыка, и гости разместились. Звуки домашней музыки графа заменились звуками ножей и вилок, говора гостей, тихих шагов официантов.
На одном конце стола во главе сидела графиня. Справа Марья Дмитриевна, слева Анна Михайловна и другие гостьи. На другом конце сидел граф, слева гусарский полковник, справа Шиншин и другие гости мужского пола. С одной стороны длинного стола молодежь постарше: Вера рядом с Бергом, Пьер рядом с Борисом; с другой стороны – дети, гувернеры и гувернантки. Граф из за хрусталя, бутылок и ваз с фруктами поглядывал на жену и ее высокий чепец с голубыми лентами и усердно подливал вина своим соседям, не забывая и себя. Графиня так же, из за ананасов, не забывая обязанности хозяйки, кидала значительные взгляды на мужа, которого лысина и лицо, казалось ей, своею краснотой резче отличались от седых волос. На дамском конце шло равномерное лепетанье; на мужском всё громче и громче слышались голоса, особенно гусарского полковника, который так много ел и пил, всё более и более краснея, что граф уже ставил его в пример другим гостям. Берг с нежной улыбкой говорил с Верой о том, что любовь есть чувство не земное, а небесное. Борис называл новому своему приятелю Пьеру бывших за столом гостей и переглядывался с Наташей, сидевшей против него. Пьер мало говорил, оглядывал новые лица и много ел. Начиная от двух супов, из которых он выбрал a la tortue, [черепаховый,] и кулебяки и до рябчиков он не пропускал ни одного блюда и ни одного вина, которое дворецкий в завернутой салфеткою бутылке таинственно высовывал из за плеча соседа, приговаривая или «дрей мадера», или «венгерское», или «рейнвейн». Он подставлял первую попавшуюся из четырех хрустальных, с вензелем графа, рюмок, стоявших перед каждым прибором, и пил с удовольствием, всё с более и более приятным видом поглядывая на гостей. Наташа, сидевшая против него, глядела на Бориса, как глядят девочки тринадцати лет на мальчика, с которым они в первый раз только что поцеловались и в которого они влюблены. Этот самый взгляд ее иногда обращался на Пьера, и ему под взглядом этой смешной, оживленной девочки хотелось смеяться самому, не зная чему.
Николай сидел далеко от Сони, подле Жюли Карагиной, и опять с той же невольной улыбкой что то говорил с ней. Соня улыбалась парадно, но, видимо, мучилась ревностью: то бледнела, то краснела и всеми силами прислушивалась к тому, что говорили между собою Николай и Жюли. Гувернантка беспокойно оглядывалась, как бы приготавливаясь к отпору, ежели бы кто вздумал обидеть детей. Гувернер немец старался запомнить вое роды кушаний, десертов и вин с тем, чтобы описать всё подробно в письме к домашним в Германию, и весьма обижался тем, что дворецкий, с завернутою в салфетку бутылкой, обносил его. Немец хмурился, старался показать вид, что он и не желал получить этого вина, но обижался потому, что никто не хотел понять, что вино нужно было ему не для того, чтобы утолить жажду, не из жадности, а из добросовестной любознательности.


На мужском конце стола разговор всё более и более оживлялся. Полковник рассказал, что манифест об объявлении войны уже вышел в Петербурге и что экземпляр, который он сам видел, доставлен ныне курьером главнокомандующему.
– И зачем нас нелегкая несет воевать с Бонапартом? – сказал Шиншин. – II a deja rabattu le caquet a l'Autriche. Je crains, que cette fois ce ne soit notre tour. [Он уже сбил спесь с Австрии. Боюсь, не пришел бы теперь наш черед.]
Полковник был плотный, высокий и сангвинический немец, очевидно, служака и патриот. Он обиделся словами Шиншина.
– А затэ м, мы лосты вый государ, – сказал он, выговаривая э вместо е и ъ вместо ь . – Затэм, что импэ ратор это знаэ т. Он в манифэ стэ сказал, что нэ можэ т смотрэт равнодушно на опасности, угрожающие России, и что бэ зопасност империи, достоинство ее и святост союзов , – сказал он, почему то особенно налегая на слово «союзов», как будто в этом была вся сущность дела.
И с свойственною ему непогрешимою, официальною памятью он повторил вступительные слова манифеста… «и желание, единственную и непременную цель государя составляющее: водворить в Европе на прочных основаниях мир – решили его двинуть ныне часть войска за границу и сделать к достижению „намерения сего новые усилия“.
– Вот зачэм, мы лосты вый государ, – заключил он, назидательно выпивая стакан вина и оглядываясь на графа за поощрением.
– Connaissez vous le proverbe: [Знаете пословицу:] «Ерема, Ерема, сидел бы ты дома, точил бы свои веретена», – сказал Шиншин, морщась и улыбаясь. – Cela nous convient a merveille. [Это нам кстати.] Уж на что Суворова – и того расколотили, a plate couture, [на голову,] а где y нас Суворовы теперь? Je vous demande un peu, [Спрашиваю я вас,] – беспрестанно перескакивая с русского на французский язык, говорил он.
– Мы должны и драться до послэ днэ капли кров, – сказал полковник, ударяя по столу, – и умэ р р рэ т за своэ го импэ ратора, и тогда всэ й будэ т хорошо. А рассуждать как мо о ожно (он особенно вытянул голос на слове «можно»), как мо о ожно менше, – докончил он, опять обращаясь к графу. – Так старые гусары судим, вот и всё. А вы как судитэ , молодой человек и молодой гусар? – прибавил он, обращаясь к Николаю, который, услыхав, что дело шло о войне, оставил свою собеседницу и во все глаза смотрел и всеми ушами слушал полковника.
– Совершенно с вами согласен, – отвечал Николай, весь вспыхнув, вертя тарелку и переставляя стаканы с таким решительным и отчаянным видом, как будто в настоящую минуту он подвергался великой опасности, – я убежден, что русские должны умирать или побеждать, – сказал он, сам чувствуя так же, как и другие, после того как слово уже было сказано, что оно было слишком восторженно и напыщенно для настоящего случая и потому неловко.
– C'est bien beau ce que vous venez de dire, [Прекрасно! прекрасно то, что вы сказали,] – сказала сидевшая подле него Жюли, вздыхая. Соня задрожала вся и покраснела до ушей, за ушами и до шеи и плеч, в то время как Николай говорил. Пьер прислушался к речам полковника и одобрительно закивал головой.
– Вот это славно, – сказал он.
– Настоящэ й гусар, молодой человэк, – крикнул полковник, ударив опять по столу.
– О чем вы там шумите? – вдруг послышался через стол басистый голос Марьи Дмитриевны. – Что ты по столу стучишь? – обратилась она к гусару, – на кого ты горячишься? верно, думаешь, что тут французы перед тобой?
– Я правду говору, – улыбаясь сказал гусар.
– Всё о войне, – через стол прокричал граф. – Ведь у меня сын идет, Марья Дмитриевна, сын идет.
– А у меня четыре сына в армии, а я не тужу. На всё воля Божья: и на печи лежа умрешь, и в сражении Бог помилует, – прозвучал без всякого усилия, с того конца стола густой голос Марьи Дмитриевны.
– Это так.
И разговор опять сосредоточился – дамский на своем конце стола, мужской на своем.
– А вот не спросишь, – говорил маленький брат Наташе, – а вот не спросишь!
– Спрошу, – отвечала Наташа.
Лицо ее вдруг разгорелось, выражая отчаянную и веселую решимость. Она привстала, приглашая взглядом Пьера, сидевшего против нее, прислушаться, и обратилась к матери:
– Мама! – прозвучал по всему столу ее детски грудной голос.
– Что тебе? – спросила графиня испуганно, но, по лицу дочери увидев, что это была шалость, строго замахала ей рукой, делая угрожающий и отрицательный жест головой.
Разговор притих.
– Мама! какое пирожное будет? – еще решительнее, не срываясь, прозвучал голосок Наташи.
Графиня хотела хмуриться, но не могла. Марья Дмитриевна погрозила толстым пальцем.
– Казак, – проговорила она с угрозой.
Большинство гостей смотрели на старших, не зная, как следует принять эту выходку.
– Вот я тебя! – сказала графиня.
– Мама! что пирожное будет? – закричала Наташа уже смело и капризно весело, вперед уверенная, что выходка ее будет принята хорошо.
Соня и толстый Петя прятались от смеха.
– Вот и спросила, – прошептала Наташа маленькому брату и Пьеру, на которого она опять взглянула.
– Мороженое, только тебе не дадут, – сказала Марья Дмитриевна.
Наташа видела, что бояться нечего, и потому не побоялась и Марьи Дмитриевны.
– Марья Дмитриевна? какое мороженое! Я сливочное не люблю.
– Морковное.
– Нет, какое? Марья Дмитриевна, какое? – почти кричала она. – Я хочу знать!
Марья Дмитриевна и графиня засмеялись, и за ними все гости. Все смеялись не ответу Марьи Дмитриевны, но непостижимой смелости и ловкости этой девочки, умевшей и смевшей так обращаться с Марьей Дмитриевной.
Наташа отстала только тогда, когда ей сказали, что будет ананасное. Перед мороженым подали шампанское. Опять заиграла музыка, граф поцеловался с графинюшкою, и гости, вставая, поздравляли графиню, через стол чокались с графом, детьми и друг с другом. Опять забегали официанты, загремели стулья, и в том же порядке, но с более красными лицами, гости вернулись в гостиную и кабинет графа.


Раздвинули бостонные столы, составили партии, и гости графа разместились в двух гостиных, диванной и библиотеке.
Граф, распустив карты веером, с трудом удерживался от привычки послеобеденного сна и всему смеялся. Молодежь, подстрекаемая графиней, собралась около клавикорд и арфы. Жюли первая, по просьбе всех, сыграла на арфе пьеску с вариациями и вместе с другими девицами стала просить Наташу и Николая, известных своею музыкальностью, спеть что нибудь. Наташа, к которой обратились как к большой, была, видимо, этим очень горда, но вместе с тем и робела.
– Что будем петь? – спросила она.
– «Ключ», – отвечал Николай.
– Ну, давайте скорее. Борис, идите сюда, – сказала Наташа. – А где же Соня?
Она оглянулась и, увидав, что ее друга нет в комнате, побежала за ней.
Вбежав в Сонину комнату и не найдя там свою подругу, Наташа пробежала в детскую – и там не было Сони. Наташа поняла, что Соня была в коридоре на сундуке. Сундук в коридоре был место печалей женского молодого поколения дома Ростовых. Действительно, Соня в своем воздушном розовом платьице, приминая его, лежала ничком на грязной полосатой няниной перине, на сундуке и, закрыв лицо пальчиками, навзрыд плакала, подрагивая своими оголенными плечиками. Лицо Наташи, оживленное, целый день именинное, вдруг изменилось: глаза ее остановились, потом содрогнулась ее широкая шея, углы губ опустились.
– Соня! что ты?… Что, что с тобой? У у у!…
И Наташа, распустив свой большой рот и сделавшись совершенно дурною, заревела, как ребенок, не зная причины и только оттого, что Соня плакала. Соня хотела поднять голову, хотела отвечать, но не могла и еще больше спряталась. Наташа плакала, присев на синей перине и обнимая друга. Собравшись с силами, Соня приподнялась, начала утирать слезы и рассказывать.
– Николенька едет через неделю, его… бумага… вышла… он сам мне сказал… Да я бы всё не плакала… (она показала бумажку, которую держала в руке: то были стихи, написанные Николаем) я бы всё не плакала, но ты не можешь… никто не может понять… какая у него душа.
И она опять принялась плакать о том, что душа его была так хороша.
– Тебе хорошо… я не завидую… я тебя люблю, и Бориса тоже, – говорила она, собравшись немного с силами, – он милый… для вас нет препятствий. А Николай мне cousin… надобно… сам митрополит… и то нельзя. И потом, ежели маменьке… (Соня графиню и считала и называла матерью), она скажет, что я порчу карьеру Николая, у меня нет сердца, что я неблагодарная, а право… вот ей Богу… (она перекрестилась) я так люблю и ее, и всех вас, только Вера одна… За что? Что я ей сделала? Я так благодарна вам, что рада бы всем пожертвовать, да мне нечем…
Соня не могла больше говорить и опять спрятала голову в руках и перине. Наташа начинала успокоиваться, но по лицу ее видно было, что она понимала всю важность горя своего друга.
– Соня! – сказала она вдруг, как будто догадавшись о настоящей причине огорчения кузины. – Верно, Вера с тобой говорила после обеда? Да?
– Да, эти стихи сам Николай написал, а я списала еще другие; она и нашла их у меня на столе и сказала, что и покажет их маменьке, и еще говорила, что я неблагодарная, что маменька никогда не позволит ему жениться на мне, а он женится на Жюли. Ты видишь, как он с ней целый день… Наташа! За что?…
И опять она заплакала горьче прежнего. Наташа приподняла ее, обняла и, улыбаясь сквозь слезы, стала ее успокоивать.
– Соня, ты не верь ей, душенька, не верь. Помнишь, как мы все втроем говорили с Николенькой в диванной; помнишь, после ужина? Ведь мы всё решили, как будет. Я уже не помню как, но, помнишь, как было всё хорошо и всё можно. Вот дяденьки Шиншина брат женат же на двоюродной сестре, а мы ведь троюродные. И Борис говорил, что это очень можно. Ты знаешь, я ему всё сказала. А он такой умный и такой хороший, – говорила Наташа… – Ты, Соня, не плачь, голубчик милый, душенька, Соня. – И она целовала ее, смеясь. – Вера злая, Бог с ней! А всё будет хорошо, и маменьке она не скажет; Николенька сам скажет, и он и не думал об Жюли.
И она целовала ее в голову. Соня приподнялась, и котеночек оживился, глазки заблистали, и он готов был, казалось, вот вот взмахнуть хвостом, вспрыгнуть на мягкие лапки и опять заиграть с клубком, как ему и было прилично.
– Ты думаешь? Право? Ей Богу? – сказала она, быстро оправляя платье и прическу.
– Право, ей Богу! – отвечала Наташа, оправляя своему другу под косой выбившуюся прядь жестких волос.
И они обе засмеялись.
– Ну, пойдем петь «Ключ».
– Пойдем.
– А знаешь, этот толстый Пьер, что против меня сидел, такой смешной! – сказала вдруг Наташа, останавливаясь. – Мне очень весело!
И Наташа побежала по коридору.
Соня, отряхнув пух и спрятав стихи за пазуху, к шейке с выступавшими костями груди, легкими, веселыми шагами, с раскрасневшимся лицом, побежала вслед за Наташей по коридору в диванную. По просьбе гостей молодые люди спели квартет «Ключ», который всем очень понравился; потом Николай спел вновь выученную им песню.
В приятну ночь, при лунном свете,
Представить счастливо себе,
Что некто есть еще на свете,
Кто думает и о тебе!
Что и она, рукой прекрасной,
По арфе золотой бродя,
Своей гармониею страстной
Зовет к себе, зовет тебя!
Еще день, два, и рай настанет…
Но ах! твой друг не доживет!
И он не допел еще последних слов, когда в зале молодежь приготовилась к танцам и на хорах застучали ногами и закашляли музыканты.

Пьер сидел в гостиной, где Шиншин, как с приезжим из за границы, завел с ним скучный для Пьера политический разговор, к которому присоединились и другие. Когда заиграла музыка, Наташа вошла в гостиную и, подойдя прямо к Пьеру, смеясь и краснея, сказала:
– Мама велела вас просить танцовать.
– Я боюсь спутать фигуры, – сказал Пьер, – но ежели вы хотите быть моим учителем…
И он подал свою толстую руку, низко опуская ее, тоненькой девочке.
Пока расстанавливались пары и строили музыканты, Пьер сел с своей маленькой дамой. Наташа была совершенно счастлива; она танцовала с большим , с приехавшим из за границы . Она сидела на виду у всех и разговаривала с ним, как большая. У нее в руке был веер, который ей дала подержать одна барышня. И, приняв самую светскую позу (Бог знает, где и когда она этому научилась), она, обмахиваясь веером и улыбаясь через веер, говорила с своим кавалером.
– Какова, какова? Смотрите, смотрите, – сказала старая графиня, проходя через залу и указывая на Наташу.
Наташа покраснела и засмеялась.
– Ну, что вы, мама? Ну, что вам за охота? Что ж тут удивительного?

В середине третьего экосеза зашевелились стулья в гостиной, где играли граф и Марья Дмитриевна, и большая часть почетных гостей и старички, потягиваясь после долгого сиденья и укладывая в карманы бумажники и кошельки, выходили в двери залы. Впереди шла Марья Дмитриевна с графом – оба с веселыми лицами. Граф с шутливою вежливостью, как то по балетному, подал округленную руку Марье Дмитриевне. Он выпрямился, и лицо его озарилось особенною молодецки хитрою улыбкой, и как только дотанцовали последнюю фигуру экосеза, он ударил в ладоши музыкантам и закричал на хоры, обращаясь к первой скрипке:
– Семен! Данилу Купора знаешь?
Это был любимый танец графа, танцованный им еще в молодости. (Данило Купор была собственно одна фигура англеза .)
– Смотрите на папа, – закричала на всю залу Наташа (совершенно забыв, что она танцует с большим), пригибая к коленам свою кудрявую головку и заливаясь своим звонким смехом по всей зале.
Действительно, всё, что только было в зале, с улыбкою радости смотрело на веселого старичка, который рядом с своею сановитою дамой, Марьей Дмитриевной, бывшей выше его ростом, округлял руки, в такт потряхивая ими, расправлял плечи, вывертывал ноги, слегка притопывая, и всё более и более распускавшеюся улыбкой на своем круглом лице приготовлял зрителей к тому, что будет. Как только заслышались веселые, вызывающие звуки Данилы Купора, похожие на развеселого трепачка, все двери залы вдруг заставились с одной стороны мужскими, с другой – женскими улыбающимися лицами дворовых, вышедших посмотреть на веселящегося барина.
– Батюшка то наш! Орел! – проговорила громко няня из одной двери.
Граф танцовал хорошо и знал это, но его дама вовсе не умела и не хотела хорошо танцовать. Ее огромное тело стояло прямо с опущенными вниз мощными руками (она передала ридикюль графине); только одно строгое, но красивое лицо ее танцовало. Что выражалось во всей круглой фигуре графа, у Марьи Дмитриевны выражалось лишь в более и более улыбающемся лице и вздергивающемся носе. Но зато, ежели граф, всё более и более расходясь, пленял зрителей неожиданностью ловких выверток и легких прыжков своих мягких ног, Марья Дмитриевна малейшим усердием при движении плеч или округлении рук в поворотах и притопываньях, производила не меньшее впечатление по заслуге, которую ценил всякий при ее тучности и всегдашней суровости. Пляска оживлялась всё более и более. Визави не могли ни на минуту обратить на себя внимания и даже не старались о том. Всё было занято графом и Марьею Дмитриевной. Наташа дергала за рукава и платье всех присутствовавших, которые и без того не спускали глаз с танцующих, и требовала, чтоб смотрели на папеньку. Граф в промежутках танца тяжело переводил дух, махал и кричал музыкантам, чтоб они играли скорее. Скорее, скорее и скорее, лише, лише и лише развертывался граф, то на цыпочках, то на каблуках, носясь вокруг Марьи Дмитриевны и, наконец, повернув свою даму к ее месту, сделал последнее па, подняв сзади кверху свою мягкую ногу, склонив вспотевшую голову с улыбающимся лицом и округло размахнув правою рукой среди грохота рукоплесканий и хохота, особенно Наташи. Оба танцующие остановились, тяжело переводя дыхание и утираясь батистовыми платками.
– Вот как в наше время танцовывали, ma chere, – сказал граф.
– Ай да Данила Купор! – тяжело и продолжительно выпуская дух и засучивая рукава, сказала Марья Дмитриевна.


В то время как у Ростовых танцовали в зале шестой англез под звуки от усталости фальшививших музыкантов, и усталые официанты и повара готовили ужин, с графом Безухим сделался шестой удар. Доктора объявили, что надежды к выздоровлению нет; больному дана была глухая исповедь и причастие; делали приготовления для соборования, и в доме была суетня и тревога ожидания, обыкновенные в такие минуты. Вне дома, за воротами толпились, скрываясь от подъезжавших экипажей, гробовщики, ожидая богатого заказа на похороны графа. Главнокомандующий Москвы, который беспрестанно присылал адъютантов узнавать о положении графа, в этот вечер сам приезжал проститься с знаменитым Екатерининским вельможей, графом Безухим.
Великолепная приемная комната была полна. Все почтительно встали, когда главнокомандующий, пробыв около получаса наедине с больным, вышел оттуда, слегка отвечая на поклоны и стараясь как можно скорее пройти мимо устремленных на него взглядов докторов, духовных лиц и родственников. Князь Василий, похудевший и побледневший за эти дни, провожал главнокомандующего и что то несколько раз тихо повторил ему.
Проводив главнокомандующего, князь Василий сел в зале один на стул, закинув высоко ногу на ногу, на коленку упирая локоть и рукою закрыв глаза. Посидев так несколько времени, он встал и непривычно поспешными шагами, оглядываясь кругом испуганными глазами, пошел чрез длинный коридор на заднюю половину дома, к старшей княжне.
Находившиеся в слабо освещенной комнате неровным шопотом говорили между собой и замолкали каждый раз и полными вопроса и ожидания глазами оглядывались на дверь, которая вела в покои умирающего и издавала слабый звук, когда кто нибудь выходил из нее или входил в нее.
– Предел человеческий, – говорил старичок, духовное лицо, даме, подсевшей к нему и наивно слушавшей его, – предел положен, его же не прейдеши.
– Я думаю, не поздно ли соборовать? – прибавляя духовный титул, спрашивала дама, как будто не имея на этот счет никакого своего мнения.
– Таинство, матушка, великое, – отвечало духовное лицо, проводя рукою по лысине, по которой пролегало несколько прядей зачесанных полуседых волос.
– Это кто же? сам главнокомандующий был? – спрашивали в другом конце комнаты. – Какой моложавый!…
– А седьмой десяток! Что, говорят, граф то не узнает уж? Хотели соборовать?
– Я одного знал: семь раз соборовался.
Вторая княжна только вышла из комнаты больного с заплаканными глазами и села подле доктора Лоррена, который в грациозной позе сидел под портретом Екатерины, облокотившись на стол.
– Tres beau, – говорил доктор, отвечая на вопрос о погоде, – tres beau, princesse, et puis, a Moscou on se croit a la campagne. [прекрасная погода, княжна, и потом Москва так похожа на деревню.]
– N'est ce pas? [Не правда ли?] – сказала княжна, вздыхая. – Так можно ему пить?
Лоррен задумался.
– Он принял лекарство?
– Да.
Доктор посмотрел на брегет.
– Возьмите стакан отварной воды и положите une pincee (он своими тонкими пальцами показал, что значит une pincee) de cremortartari… [щепотку кремортартара…]
– Не пило слушай , – говорил немец доктор адъютанту, – чтопи с третий удар шивь оставался .
– А какой свежий был мужчина! – говорил адъютант. – И кому пойдет это богатство? – прибавил он шопотом.
– Окотник найдутся , – улыбаясь, отвечал немец.
Все опять оглянулись на дверь: она скрипнула, и вторая княжна, сделав питье, показанное Лорреном, понесла его больному. Немец доктор подошел к Лоррену.
– Еще, может, дотянется до завтрашнего утра? – спросил немец, дурно выговаривая по французски.
Лоррен, поджав губы, строго и отрицательно помахал пальцем перед своим носом.
– Сегодня ночью, не позже, – сказал он тихо, с приличною улыбкой самодовольства в том, что ясно умеет понимать и выражать положение больного, и отошел.

Между тем князь Василий отворил дверь в комнату княжны.
В комнате было полутемно; только две лампадки горели перед образами, и хорошо пахло куреньем и цветами. Вся комната была установлена мелкою мебелью шифоньерок, шкапчиков, столиков. Из за ширм виднелись белые покрывала высокой пуховой кровати. Собачка залаяла.
– Ах, это вы, mon cousin?
Она встала и оправила волосы, которые у нее всегда, даже и теперь, были так необыкновенно гладки, как будто они были сделаны из одного куска с головой и покрыты лаком.
– Что, случилось что нибудь? – спросила она. – Я уже так напугалась.
– Ничего, всё то же; я только пришел поговорить с тобой, Катишь, о деле, – проговорил князь, устало садясь на кресло, с которого она встала. – Как ты нагрела, однако, – сказал он, – ну, садись сюда, causons. [поговорим.]
– Я думала, не случилось ли что? – сказала княжна и с своим неизменным, каменно строгим выражением лица села против князя, готовясь слушать.
– Хотела уснуть, mon cousin, и не могу.
– Ну, что, моя милая? – сказал князь Василий, взяв руку княжны и пригибая ее по своей привычке книзу.
Видно было, что это «ну, что» относилось ко многому такому, что, не называя, они понимали оба.
Княжна, с своею несообразно длинною по ногам, сухою и прямою талией, прямо и бесстрастно смотрела на князя выпуклыми серыми глазами. Она покачала головой и, вздохнув, посмотрела на образа. Жест ее можно было объяснить и как выражение печали и преданности, и как выражение усталости и надежды на скорый отдых. Князь Василий объяснил этот жест как выражение усталости.
– А мне то, – сказал он, – ты думаешь, легче? Je suis ereinte, comme un cheval de poste; [Я заморен, как почтовая лошадь;] а всё таки мне надо с тобой поговорить, Катишь, и очень серьезно.
Князь Василий замолчал, и щеки его начинали нервически подергиваться то на одну, то на другую сторону, придавая его лицу неприятное выражение, какое никогда не показывалось на лице князя Василия, когда он бывал в гостиных. Глаза его тоже были не такие, как всегда: то они смотрели нагло шутливо, то испуганно оглядывались.
Княжна, своими сухими, худыми руками придерживая на коленях собачку, внимательно смотрела в глаза князю Василию; но видно было, что она не прервет молчания вопросом, хотя бы ей пришлось молчать до утра.
– Вот видите ли, моя милая княжна и кузина, Катерина Семеновна, – продолжал князь Василий, видимо, не без внутренней борьбы приступая к продолжению своей речи, – в такие минуты, как теперь, обо всём надо подумать. Надо подумать о будущем, о вас… Я вас всех люблю, как своих детей, ты это знаешь.
Княжна так же тускло и неподвижно смотрела на него.
– Наконец, надо подумать и о моем семействе, – сердито отталкивая от себя столик и не глядя на нее, продолжал князь Василий, – ты знаешь, Катишь, что вы, три сестры Мамонтовы, да еще моя жена, мы одни прямые наследники графа. Знаю, знаю, как тебе тяжело говорить и думать о таких вещах. И мне не легче; но, друг мой, мне шестой десяток, надо быть ко всему готовым. Ты знаешь ли, что я послал за Пьером, и что граф, прямо указывая на его портрет, требовал его к себе?
Князь Василий вопросительно посмотрел на княжну, но не мог понять, соображала ли она то, что он ей сказал, или просто смотрела на него…
– Я об одном не перестаю молить Бога, mon cousin, – отвечала она, – чтоб он помиловал его и дал бы его прекрасной душе спокойно покинуть эту…
– Да, это так, – нетерпеливо продолжал князь Василий, потирая лысину и опять с злобой придвигая к себе отодвинутый столик, – но, наконец…наконец дело в том, ты сама знаешь, что прошлою зимой граф написал завещание, по которому он всё имение, помимо прямых наследников и нас, отдавал Пьеру.
– Мало ли он писал завещаний! – спокойно сказала княжна. – Но Пьеру он не мог завещать. Пьер незаконный.
– Ma chere, – сказал вдруг князь Василий, прижав к себе столик, оживившись и начав говорить скорей, – но что, ежели письмо написано государю, и граф просит усыновить Пьера? Понимаешь, по заслугам графа его просьба будет уважена…
Княжна улыбнулась, как улыбаются люди, которые думают что знают дело больше, чем те, с кем разговаривают.
– Я тебе скажу больше, – продолжал князь Василий, хватая ее за руку, – письмо было написано, хотя и не отослано, и государь знал о нем. Вопрос только в том, уничтожено ли оно, или нет. Ежели нет, то как скоро всё кончится , – князь Василий вздохнул, давая этим понять, что он разумел под словами всё кончится , – и вскроют бумаги графа, завещание с письмом будет передано государю, и просьба его, наверно, будет уважена. Пьер, как законный сын, получит всё.
– А наша часть? – спросила княжна, иронически улыбаясь так, как будто всё, но только не это, могло случиться.
– Mais, ma pauvre Catiche, c'est clair, comme le jour. [Но, моя дорогая Катишь, это ясно, как день.] Он один тогда законный наследник всего, а вы не получите ни вот этого. Ты должна знать, моя милая, были ли написаны завещание и письмо, и уничтожены ли они. И ежели почему нибудь они забыты, то ты должна знать, где они, и найти их, потому что…
– Этого только недоставало! – перебила его княжна, сардонически улыбаясь и не изменяя выражения глаз. – Я женщина; по вашему мы все глупы; но я настолько знаю, что незаконный сын не может наследовать… Un batard, [Незаконный,] – прибавила она, полагая этим переводом окончательно показать князю его неосновательность.
– Как ты не понимаешь, наконец, Катишь! Ты так умна: как ты не понимаешь, – ежели граф написал письмо государю, в котором просит его признать сына законным, стало быть, Пьер уж будет не Пьер, а граф Безухой, и тогда он по завещанию получит всё? И ежели завещание с письмом не уничтожены, то тебе, кроме утешения, что ты была добродетельна et tout ce qui s'en suit, [и всего, что отсюда вытекает,] ничего не останется. Это верно.
– Я знаю, что завещание написано; но знаю тоже, что оно недействительно, и вы меня, кажется, считаете за совершенную дуру, mon cousin, – сказала княжна с тем выражением, с которым говорят женщины, полагающие, что они сказали нечто остроумное и оскорбительное.
– Милая ты моя княжна Катерина Семеновна, – нетерпеливо заговорил князь Василий. – Я пришел к тебе не за тем, чтобы пикироваться с тобой, а за тем, чтобы как с родной, хорошею, доброю, истинною родной, поговорить о твоих же интересах. Я тебе говорю десятый раз, что ежели письмо к государю и завещание в пользу Пьера есть в бумагах графа, то ты, моя голубушка, и с сестрами, не наследница. Ежели ты мне не веришь, то поверь людям знающим: я сейчас говорил с Дмитрием Онуфриичем (это был адвокат дома), он то же сказал.
Видимо, что то вдруг изменилось в мыслях княжны; тонкие губы побледнели (глаза остались те же), и голос, в то время как она заговорила, прорывался такими раскатами, каких она, видимо, сама не ожидала.
– Это было бы хорошо, – сказала она. – Я ничего не хотела и не хочу.
Она сбросила свою собачку с колен и оправила складки платья.
– Вот благодарность, вот признательность людям, которые всем пожертвовали для него, – сказала она. – Прекрасно! Очень хорошо! Мне ничего не нужно, князь.
– Да, но ты не одна, у тебя сестры, – ответил князь Василий.
Но княжна не слушала его.
– Да, я это давно знала, но забыла, что, кроме низости, обмана, зависти, интриг, кроме неблагодарности, самой черной неблагодарности, я ничего не могла ожидать в этом доме…
– Знаешь ли ты или не знаешь, где это завещание? – спрашивал князь Василий еще с большим, чем прежде, подергиванием щек.
– Да, я была глупа, я еще верила в людей и любила их и жертвовала собой. А успевают только те, которые подлы и гадки. Я знаю, чьи это интриги.
Княжна хотела встать, но князь удержал ее за руку. Княжна имела вид человека, вдруг разочаровавшегося во всем человеческом роде; она злобно смотрела на своего собеседника.
– Еще есть время, мой друг. Ты помни, Катишь, что всё это сделалось нечаянно, в минуту гнева, болезни, и потом забыто. Наша обязанность, моя милая, исправить его ошибку, облегчить его последние минуты тем, чтобы не допустить его сделать этой несправедливости, не дать ему умереть в мыслях, что он сделал несчастными тех людей…
– Тех людей, которые всем пожертвовали для него, – подхватила княжна, порываясь опять встать, но князь не пустил ее, – чего он никогда не умел ценить. Нет, mon cousin, – прибавила она со вздохом, – я буду помнить, что на этом свете нельзя ждать награды, что на этом свете нет ни чести, ни справедливости. На этом свете надо быть хитрою и злою.
– Ну, voyons, [послушай,] успокойся; я знаю твое прекрасное сердце.
– Нет, у меня злое сердце.
– Я знаю твое сердце, – повторил князь, – ценю твою дружбу и желал бы, чтобы ты была обо мне того же мнения. Успокойся и parlons raison, [поговорим толком,] пока есть время – может, сутки, может, час; расскажи мне всё, что ты знаешь о завещании, и, главное, где оно: ты должна знать. Мы теперь же возьмем его и покажем графу. Он, верно, забыл уже про него и захочет его уничтожить. Ты понимаешь, что мое одно желание – свято исполнить его волю; я затем только и приехал сюда. Я здесь только затем, чтобы помогать ему и вам.
– Теперь я всё поняла. Я знаю, чьи это интриги. Я знаю, – говорила княжна.
– Hе в том дело, моя душа.
– Это ваша protegee, [любимица,] ваша милая княгиня Друбецкая, Анна Михайловна, которую я не желала бы иметь горничной, эту мерзкую, гадкую женщину.
– Ne perdons point de temps. [Не будем терять время.]
– Ax, не говорите! Прошлую зиму она втерлась сюда и такие гадости, такие скверности наговорила графу на всех нас, особенно Sophie, – я повторить не могу, – что граф сделался болен и две недели не хотел нас видеть. В это время, я знаю, что он написал эту гадкую, мерзкую бумагу; но я думала, что эта бумага ничего не значит.
– Nous у voila, [В этом то и дело.] отчего же ты прежде ничего не сказала мне?
– В мозаиковом портфеле, который он держит под подушкой. Теперь я знаю, – сказала княжна, не отвечая. – Да, ежели есть за мной грех, большой грех, то это ненависть к этой мерзавке, – почти прокричала княжна, совершенно изменившись. – И зачем она втирается сюда? Но я ей выскажу всё, всё. Придет время!


В то время как такие разговоры происходили в приемной и в княжниной комнатах, карета с Пьером (за которым было послано) и с Анной Михайловной (которая нашла нужным ехать с ним) въезжала во двор графа Безухого. Когда колеса кареты мягко зазвучали по соломе, настланной под окнами, Анна Михайловна, обратившись к своему спутнику с утешительными словами, убедилась в том, что он спит в углу кареты, и разбудила его. Очнувшись, Пьер за Анною Михайловной вышел из кареты и тут только подумал о том свидании с умирающим отцом, которое его ожидало. Он заметил, что они подъехали не к парадному, а к заднему подъезду. В то время как он сходил с подножки, два человека в мещанской одежде торопливо отбежали от подъезда в тень стены. Приостановившись, Пьер разглядел в тени дома с обеих сторон еще несколько таких же людей. Но ни Анна Михайловна, ни лакей, ни кучер, которые не могли не видеть этих людей, не обратили на них внимания. Стало быть, это так нужно, решил сам с собой Пьер и прошел за Анною Михайловной. Анна Михайловна поспешными шагами шла вверх по слабо освещенной узкой каменной лестнице, подзывая отстававшего за ней Пьера, который, хотя и не понимал, для чего ему надо было вообще итти к графу, и еще меньше, зачем ему надо было итти по задней лестнице, но, судя по уверенности и поспешности Анны Михайловны, решил про себя, что это было необходимо нужно. На половине лестницы чуть не сбили их с ног какие то люди с ведрами, которые, стуча сапогами, сбегали им навстречу. Люди эти прижались к стене, чтобы пропустить Пьера с Анной Михайловной, и не показали ни малейшего удивления при виде их.