Декартов лист

Декартов лист — плоская алгебраическая кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе <math>x^3 + y^3 = 3axy</math>. Параметр <math> 3a</math> определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

История

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где <math>x</math> и <math>y</math> принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения

• В прямоугольной системе по определению:

<math>\textstyle x^3 + y^3 = 3axy</math>

• В полярной системе:

<math> \rho = \frac {3a\cos\varphi\sin\varphi} {\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}</math>.

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

<math>\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{cases}</math>, где <math>t=\operatorname{tg}\varphi</math>.

Часто рассматривают повёрнутую на <math>135^\circ</math> кривую. Её уравнения выглядят так:

• В прямоугольной системе:

<math>y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}</math>, где <math>l=\frac{3a}{\sqrt{2}}</math>

• Параметрическое:

<math>x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}</math>

• В полярных координатах:

<math> \rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)} </math>

Вывод уравнений повёрнутой кривой

Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол <math>\alpha=\frac{\pi}{4}</math> и переориентацией оси OX в противоположном направлении: <math> \begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -u \\ v \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{vmatrix}</math> Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так: <math>\textstyle x = - u \cos \alpha - v \sin \alpha</math> <math>\textstyle y = - u \sin \alpha + v \cos \alpha</math>, или <math>\textstyle x = - \frac{u}{ \sqrt {2}} - \frac{v}{ \sqrt {2}} </math> <math>\textstyle y = - \frac{u}{ \sqrt {2}} + \frac{v}{ \sqrt {2}} </math>, После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду: <math> v^2 = \frac{u^2}{3} \frac{3a + u \sqrt{2}}{a - u \sqrt{2}} </math>. Вводим параметр <math> l = \frac{3a}{ \sqrt{2}}</math>, последнее уравнение перепишется так: <math> v^2 = u^2 \frac{l + u}{l - 3u} </math> или <math> v = \pm u \sqrt{\frac{l + u}{l - 3u}} </math>. Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат: <math> y = \pm x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}} </math> Подставив в уравнение предыдущее <math> x = \rho \cos \varphi,\ y = \rho \sin \varphi</math>, получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат: <math> \rho \sin \varphi= \rho \cos \varphi \sqrt{ \frac{t + \rho \cos \varphi}{t - 3 \rho \cos \varphi}} </math>. Решая данное выражение относительно <math>\rho</math>, получаем: <math> \rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)} </math>.

Свойства

• Прямая <math>OA</math> — ось симметрии, её уравнение: <math> y = x </math>.
• Точка A называется вершиной, её координаты <math>\left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right)</math>.

• Для обеих ветвей существует асимптота <math>UV</math>, её уравнение: <math>x+y+a=0</math>.

Вывод уравнения асимптоты

Для повёрнутого декартового листа: При <math>y=0</math> имеем <math>x=0</math> или <math>\textstyle\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}= 0</math>, Рассматриваем второй случай: <math>l+x=0</math>, то есть, <math>x=-l</math>, то есть <math>\textstyle x =-\frac{3a}{\sqrt{2}}</math>, значит <math>\textstyle OA = \frac{3a}{\sqrt{2}}</math>. Уравнение асимптоты UV определяется из выражения: <math>l-3x=0</math>, следовательно, <math>\textstyle x=\frac{l}{3}=\frac{a}{\sqrt{2}}</math>. После поворота осей на <math>-135^\circ</math> получаем окончательное уравнение <math>x+y+a=0</math>

• Площадь области между дугами <math>ACO</math> и <math>ABO</math> <math>\textstyle S_1=\frac{l^2}{3}=\frac{3}{2}a^2</math>

Нахождение площади <math>S_1</math>

Площадь <math> S_1</math>, заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: <math> \frac{1}{2}S_1=-\int\limits_{-l}^{0} x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}}\,dx </math>, где <math> l = \frac{3a}{\sqrt{2}}</math>. Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки: <math> u = l - 3x,\ l + x = \frac{4}{3}l-\frac{1}{3}u,\ dx =-\frac{1}{3}du</math>. Пределы интегрирования: <math> x = -l \Rightarrow\; u = 4l, \qquad x = 0 \Rightarrow\; u = l</math> Интеграл преобразуется к виду: <math>\frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} \left(l - u \right) \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du</math> или <math>\frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^ {l} l \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^ {l} u \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du</math> Первый интеграл из этого уравнения: <math> \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} l \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du </math>. Подстановка: <math> u = v^2, \qquad du = 2vdv</math>. Пределы интегрирования: <math> u = 4l \Rightarrow\; v = 2 \sqrt{l}, \qquad u = l \Rightarrow\; v = \sqrt{l}</math>. Интеграл преобразуется к виду: <math> \frac{2l}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{2 \sqrt{l}}^{ \sqrt{l}} \sqrt{ \left( 2 \sqrt{l} \right)^2 - v^2}\,dv=</math> <math> = \frac{2l}{ \sqrt{3}} \left[ \frac{v}{2} \sqrt{ \left( 2 \sqrt{t} \right)^2 - v^2} + \frac{ \left(2 \sqrt{l} \right)^2}{2} \arcsin \left( \frac{v}{2 \sqrt{l}} \right) \right] \Bigg|^\sqrt{l}_{2\sqrt{l}} = \frac{l^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi \right]</math>. Второй интеграл: <math> - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} \sqrt{4tu^2 - u^2}\,du</math> Подстановка: <math> u = v + 2l, \qquad du = dv</math>. Пределы интегрирования: <math> u = 4l \Rightarrow\; v = 2t, \qquad u = l \Rightarrow\; v = -l</math>. Интеграл преобразуется к виду: <math> - \frac{1}{9\sqrt{3}} \int\limits_{2l}^{-l} \sqrt{ \left(2l \right)^2 - v^2}\,dv =</math> <math> = - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \left[ \frac{v}{2} \sqrt{ \left(2l \right)^2 - v^2} + \frac{ \left(2l \right)^2}{2} \arcsin \left( \frac{v}{2l} \right) \right] \Bigg|^{-l}_{2l}=\frac{l^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \frac {\sqrt{3}}{2} + \frac{4}{3} \pi \right] </math>. Итак: <math> \frac {1}{2}S_1 = \frac{l^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi \right] + \frac{l^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \frac {\sqrt{3}}{2} + \frac{4}{3} \pi \right]</math>. Площадь <math>S_1 </math> равна <math> S_1 = \frac {l^2}{3} = \frac{3}{2}a^2</math>.

• Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли <math>\textstyle S_2=S_1=\frac{3}{2}a^2</math>.

Нахождение площади <math>S_2</math>

Площадь <math> S_2</math>, заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь <math> S_1</math>; интеграл берётся в пределах от 0 до <math>\textstyle\frac{l}{3}</math>. <math> \frac{1}{2}S_2 = \int\limits_{0}^{ \frac{l}{3}} x \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}}\,dx </math> Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае. <math> S_2 = \frac {l^2}{3} = \frac{3}{2}a^2 </math>, то есть, площади <math> S_1</math> и <math> S_2</math> равны между собой.

• Объём тела, образованного при вращении дуги <math>ACO</math> вокруг оси абсцисс <math>\textstyle V_1=\frac{\pi l^3}{27} \left(\ln{4}-1\right)</math>

Нахождение объёма вращения

Объём (<math>V_1</math>) тела, образованного при вращении дуги <math>ACO</math> вокруг оси абсцисс, рассчитывается так: <math> V_1 = \pi \int\limits_{-l}^{0} x^2 \frac{l + x}{l - 3x}\,dx =</math> <math> = - \frac{ \pi}{3} \int\limits_{-l}^{0} x^2\,dx - \frac{4 \pi l}{9} \int\limits_{-l}^{0} x\,dx - \frac{4 \pi l^2}{27} \int\limits_{-l}^{0}\,dx + \frac{4 \pi l^3}{27} \int\limits_{-l}^{0} \frac{dx}{l - 3x}\,= </math> <math> = \frac{ \pi l^3}{27} \left( \ln{4} - 1 \right)</math>. Итак: <math> V_1 = \frac{ \pi l^3}{27} \left( \ln{4} - 1 \right) </math>. Объём (<math>V_2</math>) тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от <math>0</math> до <math> \frac{t}{3}</math>. Этот интеграл равен бесконечности, то есть <math> V_2 = \infty</math>.

Исследование кривой

При <math> y = 0</math> имеем <math> x = 0</math> или <math> \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}} = 0</math>, или <math> l + x = 0 \Rightarrow x = - l \Rightarrow x = - \frac{3a}{ \sqrt{2}}</math>, то есть <math> OA = \frac{3a}{ \sqrt{2}}</math>.

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

<math> l - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{l}{3} = \frac{a}{ \sqrt{2}}</math>.

Производная

Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:

<math> y' = \left( x \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}} \right)'</math>

<math> y' = \frac{2lx}{ \left( l - 3x \right) \left( \sqrt{l - 3x} \sqrt{l + x} \right)} + \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}}</math>.

Приравниваем производную y' к нулю и решаем полученное уравнение относительно x. Получим: <math> x = - \frac{l}{ \sqrt{3}} </math>. При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге <math>ACO</math> — точка <math>C</math> и минимум на нижней дуге <math>ABO</math> — точка <math>B</math>. Значение функции в этих точках равно:

<math> y \left(- \frac{l}{ \sqrt{3}} \right) = \pm \frac{l}{ \sqrt{3}} \sqrt{ \frac{3 - \sqrt{3}}{ \sqrt{3} + 1}}</math>.

Значение производной y’ в точке <math>O</math> равно <math> \pm 1</math>, то есть касательные в точке <math>O</math> взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом <math> \pm \frac{ \pi}{4}</math>.

См. также

• Овал Декарта

Ссылки

• Д. К. Бобылёв. Декартов лист // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.