Дельтоида

Дельтоида (или кривая Штейнера) — плоская алгебраическая кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.

Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при <math>k=3</math>.

История

Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.

Уравнения

• Неявное уравнение в прямоугольной системе:

<math>\textstyle (x^2+y^2)^2+18(x^2+y^2) = 8x^3-24y^2x+27</math>

• Параметрическое:

<math>\begin{cases}

x=2r\cos{t}+r\cos(2t) \\ y=2r\sin{t}-r\sin(2t) \end{cases}</math>, где <math>t=\frac{\varphi}{3}</math> — треть полярного угла.

Свойства

• Длина пересечения области, ограниченной дельтоидой, с любой её касательной фиксирована и равна <math>\tfrac43{\cdot R}</math>, где <math>R</math> — радиус неподвижной окружности.
• Дельтоида — алгебраическая кривая 4 порядка.
• Длина кривой <math>\textstyle L=\frac{16}{3}R</math>, где <math>R</math> — радиус неподвижной окружности.
• Площадь, ограничиваемая дельтоидой, <math>\textstyle S=\frac{2}{9}\pi R^2</math>.

См. также

• Астроида — гипоциклоида при <math>k=4</math>.
• Дельтоид 
• Задача об иголке

Ссылки

• [school-collection.edu.ru/catalog/res/37e69838-0b6f-4eec-0cfa-4e82894bec2e Дельтоида] в журнале Квант.
• [mathworld.wolfram.com/Deltoid.html Wolfram MathWorld].