Дескрипционная логика

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Описательные ло́гики[1] или дескрипцио́нные ло́гики[2](сокр. ДЛ, англ. description logics, иногда используется неточный перевод: дескрипти́вные логики) — семейство языков представления знаний, позволяющих описывать понятия предметной области в недвусмысленном, формализованном виде. Они сочетают в себе, с одной стороны, богатые выразительные возможности, а с другой — хорошие вычислительные свойства, такие как разрешимость и относительно невысокая вычислительная сложность основных логических проблем, что делает возможным их применение на практике. Таким образом, ДЛ представляют собой компромисс между выразительностью и разрешимостью. ДЛ можно рассматривать как разрешимые фрагменты логики предикатов, синтаксически же они близки к модальным логикам.

Своё современное название ДЛ получили в 1980-х. Прежние названия (в хронологическом порядке): терминологические системы, логики концептов. Изначально ДЛ зародились как расширение фреймовых структур и семантических сетей механизмами формальной логики. В настоящее время ДЛ являются важным понятием в концепции семантической паутины, где их предполагается использовать при построении онтологий. Фрагменты OWL-DL и OWL-Lite языка веб-онтологий OWL также основаны на ДЛ.





Общие сведения

Дескрипционные логики оперируют понятиями конце́пт и роль, соответствующими в других разделах математической логики понятиям «одноместный предикат» (или множество, класс) и «двуместный предикат» (или бинарное отношение). Интуитивно, концепты используются для описания классов некоторых объектов, например, «Люди», «Женщины», «Машины». Роли используются для описания двуместных отношений между объектами, например, на множестве людей имеется двуместное отношение «X есть_родитель_для Y», а между людьми и машинами имеется двуместное отношение «X имеет_в_собственности Y», где в качестве X и Y можно подставлять произвольные предметы. С помощью языка ДЛ можно формулировать утверждения общего вида — о классах вообще (всякая Женщина есть Человек, всякая Машина имеется_в_собственности не более чем у одного Человека) и частного вида — о конкретных объектах (Мария есть Женщина, Иван имеет_в_собственности Машину1).

На жаргоне ДЛ набор утверждений общего вида или терминоголии (англ. terminology) называется TBox, набор утверждений (англ. assertions) частного вида — ABox, а вместе они составляют так называемую базу знаний[3] или онтологию. Многочисленные онтологии построены и строятся в самых различных предметных областях, таких как биоинформатика, генетика, медицина, химия, биология. Как только онтология построена, встает вопрос о том, как можно извлекать знания, следующие из содержащихся в онтологии знаний, можно ли это делать программно и каковы соответствующие алгоритмы. Все эти вопросы решаются теоретически в науке «дескрипционная логика», а практически уже реализовано множество программных систем — механизмов рассуждений (англ. reasoners), которые и позволяют автоматизированно выводить знания из онтологий и производить другие операции с онтологиями.

Синтаксис

В математической логике всякий язык характеризуется своим синтаксисом, то есть правилами построения выражений этого языка, и семантикой, то есть способом приписывания этим выражениям некоторого формального значения, например, указанием, какие выражения считаются истинными и ложными.

Чтобы сформулировать синтаксис какой-либо ДЛ, необходимо задать непустые (и обычно конечные) множества символов — так называемых атомарных концептов и атомарных ролей — из которых будут строиться выражения языка данной логики. Конкретная ДЛ характеризуется набором конструкторов и индуктивным правилом, с помощью которого составные концепты данной логики строятся из атомарных концептов и атомарных ролей, используя эти конструкторы.

Типичными конструкторами для построения составных концептов являются:

  • пересечение (или конъюнкция) концептов, обозначается как <math>C\sqcap D</math>;
  • объединение (или дизъюнкция) концептов, обозначается как <math>C\sqcup D</math>;
  • дополнение (или отрицание) концепта, обозначается как <math>\neg C</math>;
  • ограничение на значения роли (или ограничение квантором всеобщности), обозначается как <math>\forall R.C</math>;
  • экзистенциальное ограничение (или ограничение квантором существования), обозначается как <math>\exists R.C</math>;
  • численные ограничения на значения роли, например: <math>({\le}n\,R)</math>, <math>({\ge}n\,R.C)</math>, и другие.

Как видим, в ДЛ конъюнкция и дизъюнкция обозначаются иначе, чтобы подчеркнуть отличие от других видов логик. Существуют дескрипционные логики, в которых имеются также составные роли, строящиеся из простых ролей с помощью операций: инверсии, пересечения, объединения, дополнения, композиции ролей, транзитивного замыкания и других.[4]

Синтаксис логики ALC

Дескрипционная логика <math>\mathcal{ALC}</math> (от Attributive Language with Complement) была введена в 1991 году[5] и является одной из базовых ДЛ, на основе которой строятся многие другие ДЛ. Пусть заданы непустые конечные множества атомарных концептов и атомарных ролей. Тогда следующее является индуктивным определением составных концептов логики <math>\mathcal{ALC}</math> (для краткости в этом определении будем называть их просто концептами):

  • всякий атомарный концепт является концептом;
  • выражения <math>\top</math> и <math>\bot</math> являются концептами;
  • если <math>C</math> есть концепт, то его дополнение <math>\neg C</math> является концептом;
  • если <math>C</math> и <math>D</math> есть концепты, то их пересечение <math>C\sqcap D</math> и объединение <math>C\sqcup D</math> являются концептами;
  • если <math>C</math> есть концепт, а <math>R</math> есть роль, то выражения <math>\forall R.C</math> и <math>\exists R.C</math> являются концептами.

Примечание. Строго говоря, <math>\mathcal{ALC}</math> — это не одна логика, а семейство логик, где каждая логика этого семейства задается выбором конкретных множеств атомарных концептов и ролей. Это аналогично заданию сигнатуры теории первого порядка. Однако, этим различием обычно пренебрегают, что мы и будем делать в дальнейшем.

Семантика

Семантика ДЛ задается путём интерпретации её атомарных концептов как множеств объектов (индивидов), выбираемых из некоторого фиксированного множества (домена), а атомарных ролей — как множеств пар индивидов, то есть бинарных отношений на домене.

Формально, интерпретация <math>\mathcal{I}</math> состоит из непустого множества <math>\Delta^\mathcal{I}</math> (домена) и интерпретирующей функции, которая сопоставляет каждому атомарному концепту <math>A</math> некоторое подмножество <math>{A^\mathcal{I}\subseteq\Delta^\mathcal{I}}</math>, а каждой атомарной роли <math>R</math> — некоторое подмножество <math>{R^\mathcal{I}\subseteq\Delta^\mathcal{I}\times\Delta^\mathcal{I}}</math>. Если пара индивидов принадлежит интерпретации некоторой роли <math>R</math>, то есть <math>(e,d)\in R^\mathcal{I}</math>, то говорят, что индивид <math>d</math> является <math>R</math>-последователем индивида <math>e</math>.

Далее интерпретирующая функция распространяется на составные концепты и роли. Поскольку последние в каждой ДЛ свои, то в качестве примера рассмотрим семантику для описанной выше логики <math>\mathcal{ALC}</math>.

Семантика логики ALC

Интерпретирующая функция распространяется на составные концепты логики <math>\mathcal{ALC}</math> по следующим правилам:

  • <math>\top</math> интерпретируется как весь домен: <math>\top^\mathcal{I}=\Delta^\mathcal{I}</math>
  • <math>\bot</math> интерпретируется как пустое множество: <math>\bot^\mathcal{I}=\varnothing</math>
  • дополнение концепта интерпретируется как дополнение множества: <math>(\neg C)^\mathcal{I}=\Delta^\mathcal{I}\setminus C^\mathcal{I}</math>
  • пересечение концептов интерпретируется как пересечение множеств: <math>(C\sqcap D)^\mathcal{I}=C^\mathcal{I}\cap D^\mathcal{I}</math>
  • объединение концептов интерпретируется как объединение множеств: <math>(C\sqcup D)^\mathcal{I}=C^\mathcal{I}\cup D^\mathcal{I}</math>
  • выражение <math>\forall R.C</math> интерпретируется как множество тех индивидов, у которых все <math>R</math>-последователи принадлежат интерпретации концепта <math>C</math>. Формально:
<math>(\forall R.C)^\mathcal{I} = \{\,e\in\Delta^\mathcal{I} \mid \forall d\in\Delta^\mathcal{I}:\ (e,d)\in R^\mathcal{I} \Rightarrow d\in C^\mathcal{I} \,\}</math>
  • выражение <math>\exists R.C</math> интерпретируется как множество тех индивидов, у которых имеется <math>R</math>-последователь, принадлежащий интерпретации концепта <math>C</math>. Формально:
<math>(\exists R.C)^\mathcal{I} = \{\,e\in\Delta^\mathcal{I} \mid \exists d\in\Delta^\mathcal{I}: (e,d)\in R^\mathcal{I} \land d\in C^\mathcal{I} \,\}</math>

Пример. Пусть домен интерпретации <math>\Delta^\mathcal{I}</math> состоит из всех людей, атомарный концепт <math>M</math> интерпретирован как множество людей мужского пола, а роль <math>R</math> как отношение «есть родитель для». Тогда концепт <math>\forall R.M</math> будет интерпретирован как множество людей, у которых все дети мужского пола, а концепт <math>M\sqcap\exists R.\top</math> — как множество «отцов», то есть людей мужского пола, имеющих хотя бы одного ребёнка.

Связь с модальной логикой

На первый взгляд синтаксис ДЛ является непривычным для тех, кто знаком с «традиционными» логиками (логикой высказываний, логикой предикатов, модальной логикой и др.). Однако уже в 1991 году[6] было замечено, что ДЛ <math>\mathcal{ALC}</math> есть не что иное, как записанная в других обозначениях модальная логика <math>\mathbf{K}_n</math>, имеющая <math>n</math> независимых модальностей. А именно, если в <math>\mathcal{ALC}</math> имеются атомарные концепты <math>A_1,\ldots,A_m</math> и атомарные роли <math>R_1,\ldots,R_n</math>, то соответствие между логиками осуществляется следующим образом:

  • атомарные концепты <math>A_i</math> переходят в пропозициональные переменные <math>p_i</math> модальной логики;
  • пересечение <math>\sqcap</math>, объединение <math>\sqcup</math> и дополнение <math>\neg</math> концептов переходит в булевы связки конъюнкцию <math>\land</math>, дизъюнкцию <math>\lor</math> и отрицание <math>\neg</math>;
  • выражение <math>\forall R_j</math> переходит в <math>\Box_j</math>, а выражение <math>\exists R_j</math> переходит в <math>\Diamond_j</math>.

Например, концепт <math>\exists R_1.(A_1\sqcup\forall R_2.\neg A_2)</math> переходит в модальную формулу <math>\Diamond_1(p_1\lor\Box_2p_2)</math>. При таком преобразовании всякий составной концепт логики <math>\mathcal{ALC}</math> превращается в правильно построенную формулу модальной логики <math>\mathbf{K}_n</math>, причем всякая модальная формула является переводом некоторого концепта (тем самым, это один и тот же язык, только записанный в двух разных системах обозначений). Более того, данное преобразование согласуется с вышеописанной семантикой логики <math>\mathcal{ALC}</math> с одной стороны и семантикой Крипке модальной логики с другой.

Этот прием, применяемый как к описанным двум логикам, так и к различным их расширениям, позволяет перенести в область ДЛ многочисленные известные факты о модальных логиках, например, об их разрешимости, вычислительной сложности, разрешающих процедурах и других важных свойствах (конечности моделей, древовидности моделей и т. п.).

Связь с логикой предикатов

Многие ДЛ, включая <math>\mathcal{ALC}</math>, можно рассматривать как фрагменты логики предикатов при «естественном» переводе концептов в предикатные формулы. Если в <math>\mathcal{ALC}</math> имеются атомарные концепты <math>A_1,\ldots,A_m</math> и атомарные роли <math>R_1,\ldots,R_n</math>, то для перевода вводятся одноместные предикатные символы <math>P_1,\ldots,P_m</math> и двуместные предикатные символы <math>S_1,\ldots,S_n</math>, а сам перевод задается индуктивно следующим образом:

  • атомарные концепты <math>A_i</math> переходят в формулы <math>P_i(x)</math>;
  • пересечение <math>\sqcap</math>, объединение <math>\sqcup</math> и дополнение <math>\neg</math> концептов переходит в булевы связки конъюнкцию <math>\land</math>, дизъюнкцию <math>\lor</math> и отрицание <math>\neg</math>;
  • выражение <math>\forall R_j.C</math> переходит в <math>\forall y (S_j(x,y)\Rightarrow C'(y))</math>;
  • выражение <math>\exists R_j.C</math> переходит в <math>\exists y (S_j(x,y)\land C'(y))</math>.

В последних двух пунктах переменная <math>y</math> — свежая (не встречавшаяся ранее), а <math>C'</math> есть перевод концепта <math>C</math> (который уже построен по предположению индукции).

Легко видеть, что данный перевод согласуется с описанной выше семантикой ДЛ, то есть в любой интерпретации, если атомарные концепты <math>A_i</math> и атомарные роли <math>R_j</math> интерпретированы так же, как соответствующие им предикаты <math>P_i</math> и <math>S_j</math>, то и всякий составной концепт интерпретируется тем же самым множеством, что и соответствующая ему при переводе предикатная формула от одной переменной. Следует также отметить, что не всякая формула логики предикатов является переводом какого-либо концепта; например, формула <math>\forall x P_1(x)</math> не является таковой.

В данном переводе можно обойтись всего двумя переменными,[7] и таким образом ДЛ <math>\mathcal{ALC}</math> (а также многие её расширения) можно рассматривать как фрагменты логики предикатов с двумя переменными, которая, как известно, разрешима.[8] Данный перевод позволяет переносить результаты о разрешимости, вычислительной сложности, разрешающих алгоритмах и т. п. из области логики предикатов в область дескрипционных логик.

База знаний

Концепты ДЛ интересны не столько сами по себе, сколько как инструмент для записи знаний об описываемой предметной области. Эти знания подразделяются на общие знания о понятиях и их взаимосвязях (интенсиональные знания) и знания об индивидуальных объектах, их свойствах и связях с другими объектами (экстенсиональные знания). Первые более стабильны и постоянны, тогда как вторые более подвержены модификациям.

В соответствии с этим делением, записываемые с помощью языка ДЛ знания подразделяются на

  • набор терминологических аксиом или TBox <math>\mathcal{T}</math> и
  • набор утверждений об индивидах или ABox <math>\mathcal{A}</math>.

Совокупность аксиом и утверждений вместе составляют так называемую базу знаний <math>\mathcal{K}=\mathcal{T}\cup\mathcal{A}</math>. Далее мы по отдельности рассмотрим виды аксиом и утверждений, из которых может состоять TBox и ABox.

Аксиомы и TBox

Аксиомой вложенности концептов называется выражение вида <math>C\sqsubseteq D</math>, а аксиомой эквивалентности концептов — выражение вида <math>C\equiv D</math>, где <math>C</math> и <math>D</math> — произвольные концепты. Аналогично, аксиомой вложенности ролей называется выражение вида <math>R\sqsubseteq S</math>, а аксиомой эквивалентности ролей — выражение вида <math>R\equiv S</math>, где <math>R</math> и <math>S</math> — произвольные роли. Здесь <math>\sqsubseteq</math> есть символ вложенности (subsumption).

Терминологией или набором терминологических аксиом или TBox (от англ. terminological box) называется конечный набор аксиом перечисленных видов. Иногда аксиомы для ролей выделяются в отдельный набор и называют его иерархией ролей или RBox. Помимо перечисленных видов аксиом, в терминологии могут допускаться и другие аксиомы (например, транзитивность ролей); о них пойдет речь ниже.

Семантика терминологии определяется естественным образом. Пусть дана интерпретация <math>\mathcal{I}</math>. Аксиома <math>C\sqsubseteq D</math> выполняется в интерпретации <math>\mathcal{I}</math>, если <math>C^\mathcal{I}\subseteq D^\mathcal{I}</math>; в этом случае также говорят, что <math>\mathcal{I}</math> является моделью аксиомы <math>C\sqsubseteq D</math>. Аналогично для остальных видов аксиом. Терминология <math>\mathcal{T}</math> выполняется в интерпретации <math>\mathcal{I}</math>, а интерпретация <math>\mathcal{I}</math> называется моделью терминологии <math>\mathcal{T}</math>, если <math>\mathcal{I}</math> является моделью всех входящих в <math>\mathcal{T}</math> аксиом.

Пример. Следующая совокупность является терминологией (или TBox) в языке логики <math>\mathcal{ALC}</math>:

<math>\mathsf{Woman}\equiv\mathsf{Person}\sqcap\mathsf{Female}</math>
<math>\mathsf{Mother}\equiv\mathsf{Woman}\sqcap\exists\mathsf{hasChild}.\top</math>
<math>\mathsf{Person}\sqsubseteq\forall\mathsf{hasChild}.\mathsf{Person}</math>
<math>\mathsf{Doctor}\sqsubseteq\mathsf{Person}</math>

Интуитивно (то есть при «естественной» интерпретации, когда концепту <math>\mathsf{Person}</math> соответствует множество всех людей, роли <math>\mathsf{hasChild}</math> соответствует отношение «имеет_ребенка» и т. д.) эти аксиомы говорят, что быть женщиной означает в точности быть человеком и быть женского пола; быть матерью означает в точности быть женщиной и иметь ребёнка; у всякого человека всякий ребёнок есть тоже человек; всякий доктор является человеком. Первые две аксиомы вместе представляют собой пример так называемой ациклической терминологии.

Утверждения и ABox

Терминологии позволяют записывать общие знания о концептах и ролях. Однако помимо этого обычно требуется также записать знания о конкретных индивидах: к какому классу (концепту) они принадлежат, какими отношениями (ролями) они связаны друг с другом. Это делается в той части базы знаний ДЛ, которая называется ABox (или набор утверждений об индивидах).

С этой целью, помимо атомарных концептов и атомарных ролей, то есть имен для классов и отношений, вводится также конечное множество имён для индивидов. Утверждения об индивидах бывают двух видов:

  • утверждение о принадлежности индивида <math>a</math> концепту <math>C</math> — записывается как <math>C(a)</math> или <math>a\colon C</math>;
  • утверждение о связи двух индивидов <math>a</math> и <math>b</math> ролью <math>R</math> — записывается как <math>R(a,b)</math> или <math>(a,b)\colon R</math> или <math>a\,R\,b</math>.

Наконец, набором утверждений об индивидах или ABox (от англ. assertional box) называется конечный набор утверждений этих двух видов.

Примечание. В некоторых ДЛ допускаются также утверждения вида <math>\neg R(a,b)</math> в ABox.

Чтобы задать семантику ABox, необходимо расширить интерпретацию <math>\mathcal{I}</math>, а именно каждому имени индивида <math>a</math> сопоставить некоторый элемент домена <math>a^\mathcal{I}\in\Delta^\mathcal{I}</math>. Тогда говорят, что утверждение <math>C(a)</math> или <math>R(a,b)</math> выполняются в интерпретации <math>\mathcal{I}</math>, если имеет место <math>a^\mathcal{I}\in C^\mathcal{I}</math> или <math>(a^\mathcal{I},b^\mathcal{I})\in R^\mathcal{I}</math>, соответственно. Говорят, что ABox выполняется в интерпретации <math>\mathcal{I}</math>, а интерпретация <math>\mathcal{I}</math> является моделью данного ABox, если все его утверждения выполняются в этой интерпретации.

Пример. Следующая совокупность является набором утверждений об индивидах (или ABox) в языке логики <math>\mathcal{ALC}</math>:

<math>\mathsf{Mary}\colon\mathsf{Woman}\sqcap\neg\mathsf{Doctor}</math>
<math>\mathsf{Mary}\colon\exists\mathsf{hasChild}.\mathsf{Female}</math>
<math>\mathsf{Mary}\,\mathsf{hasChild}\,\mathsf{Peter}</math>
<math>\mathsf{Peter}\colon\mathsf{Doctor}\sqcap\forall\mathsf{hasChild}.\bot</math>

Здесь Mary и Peter есть имена индивидов. Интуитивно эти утверждения означают, что Mary является женщиной, но не доктором, у неё есть ребёнок женского пола, Peter также является ребёнком Mary, причем Peter является доктором и не имеет детей.

Примечание. Часто рассматриваются лишь интерпретации, которые удовлетворяют соглашению об уникальности имён (unique name assumption). Оно означает, что разным именам индивидов интерпретация обязана сопоставлять различные элементы домена. Язык OWL по умолчанию не предполагает данное соглашение, однако в нём есть конструкции, с помощью которых можно явно указать, какие имена индивидов считать равным либо различными.

Отличие от баз данных

Помимо того, что базы знаний формулируются в несколько другом языке, нежели базы данных, их главное отличие заключается в использовании в ДЛ при логическом выводе так называемого предположения об открытости мира, тогда как в базах данных принимается предположение о замкнутости мира. Последнее означает, что если некоторое утверждение не является истинным, то оно принимается ложным. Предположение же об открытости мира в этом случае считает такое утверждение ни истинным, ни ложным. Это кардинальным образом влияет на то, какие факты считаются логически следующими из заданной базы знаний, а значит, и на само понятие логического следования в ДЛ.

Выразительные ДЛ

Существуют многочисленные расширения логики <math>\mathcal{ALC}</math> дополнительными конструкторами для построения концептов, ролей, а также дополнительными видами аксиом в TBox. Имеется неформальное соглашение об именовании получающихся при этом логик — обычно путём добавления к имени логики букв, отвечающих добавленным в язык конструкторам. Наиболее известными расширениями являются:[4]

<math>\mathcal{F}</math> Функциональность ролей: концепты вида <math>({\le}1\,R)</math>, означающие: существует не более одного <math>R</math>-последователя
<math>\mathcal{N}</math> Ограничения кардинальности ролей: концепты вида <math>({\le}n\,R)</math>, означающие: существует не более <math>n</math> <math>R</math>-последователей
<math>\mathcal{Q}</math> Качественные ограничения кардинальности ролей: концепты вида <math>({\le}n\,R.C)</math>, означающие: существует не более <math>n</math> <math>R</math>-последователей в <math>C</math>
<math>\mathcal{I}</math> Обратные роли: если <math>R</math> есть роль, то <math>R^{-}</math> тоже является ролью, означающей обращение бинарного отношения
<math>\mathcal{O}</math> Номиналы: если <math>a</math> есть имя индивида, то <math>\{a\}</math> есть концепт, означающий одноэлементное множество
<math>\mathcal{H}</math> Иерархия ролей: в TBox допускаются аксиомы вложенности ролей <math>R\sqsubseteq S</math>
<math>\mathcal{S}</math> Транзитивные роли: в TBox допускаются аксиомы транзитивности вида <math>\mathsf{Tr}(R)</math>
<math>\mathcal{R}</math> Составные аксиомы вложенности ролей в TBox (<math>R\circ S\sqsubseteq R</math>, <math>R\circ S\sqsubseteq S</math>) с условием ацикличности, где <math>R\circ S</math> есть композиция ролей
<math>(D)</math>   Расширение языка конкретными доменами (типами данных)

Например, логика <math>\mathcal{ALC}</math>, расширенная инверсными ролями, номиналами и ограничениями кардинальности ролей, обозначается как <math>\mathcal{ALCIOQ}</math>.

Примечание. Буква <math>\mathcal{S}</math> не добавляется к имени логики, а замещает в нём буквы <math>\mathcal{ALC}</math>. Так, например, логика <math>\mathcal{ALC}</math>, расширенная инверсными ролями (буква <math>\mathcal{I}</math>), качественными ограничениями кардинальности ролей (буква <math>\mathcal{Q}</math>), транзитивными ролями (буква <math>\mathcal{S}</math>) и иерархией ролей (буква <math>\mathcal{H}</math>), имеет название <math>\mathcal{SHIQ}</math>. Происхождение всех букв понятно из английских названий конструкторов; буква <math>\mathcal{S}</math> же была выбрана из-за тесной связи получающейся ДЛ с модальной логикой <math>\mathbf{S4}</math>[6] (хотя в последней буква S означает просто system, саму же логику <math>\mathbf{S4}</math> выделяет среди других модальных логик именно цифра 4).

Примечание. Если в ДЛ присутствуют одновременно буквы <math>\mathcal{S}</math>, <math>\mathcal{H}</math> и либо <math>\mathcal{Q}</math> либо <math>\mathcal{N}</math>, то дополнительное ограничение налагается на правило построения концептов: в концептах вида <math>({\le}n\,R.C)</math> нельзя использовать роли <math>R</math>, имеющие (с точки зрения аксиом RBox) транзитивные под-роли. Если не налагать данные ограничения, то логика становится неразрешимой.[9]

Рассматриваются также ДЛ, в которых можно строить составные роли с помощью операций объединения, пересечения, дополнения, инверсии, композиции, транзитивного замыкания и других. Кроме того, исследованы ДЛ, в которых имеются многоместные роли (обозначающие n-арные отношения).[4]

Логический анализ

Базы знаний, формулируемые на языке ДЛ, применяются не только для представления знаний о предметной области, но также для логического анализа (reasoning) знаний, как то проверки отсутствия в них противоречий, вывода новых знаний из уже имеющихся, обеспечения возможности делать запросы к базам знаний (по аналогии с запросами к базам данных). Благодаря тому, что базы знаний ДЛ записаны в формализованном виде, имеется возможность делать строгий логический вывод. А поскольку синтаксис и семантика ДЛ построены таким образом, что основные логические проблемы являются разрешимыми, то вывод новых знаний можно осуществлять компьютерными средствами — специальными программами (reasoners).

Пусть мы фиксировали некоторую ДЛ. Введем несколько важных понятий.

  • Говорят, что концепт <math>C</math> данной логики выполняется в интерпретации <math>\mathcal{I}</math>, если <math>C^\mathcal{I}\ne\varnothing</math>.
  • Концепт <math>C</math> называется выполнимым, если существует интерпретация, в которой он выполняется.
  • Концепт <math>C</math> вложен в концепт <math>D</math> (или содержится в нём; англ. «is subsumed by»), если в любой интерпретации <math>\mathcal{I}</math> выполняется <math>C^\mathcal{I}\subseteq D^\mathcal{I}</math>.

Аналогичные понятия можно ввести относительно некоторого заданного TBox <math>\mathcal{T}</math>, ограничиваясь моделями данного TBox. Например, концепт <math>C</math> называется выполнимым относительно TBox <math>\mathcal{T}</math>, если существует интерпретация, являющаяся моделью этого TBox, в которой данный концепт выполняется.

Когда задан не только TBox <math>\mathcal{T}</math>, но и ABox <math>\mathcal{A}</math>, а значит имеется база знаний <math>\mathcal{K}=\mathcal{T}\cup\mathcal{A}</math>, то возникает ещё одно понятие.

  • Индивид <math>a</math> является экземпляром концепта <math>C</math> относительно базы знаний <math>\mathcal{K}</math>, если в любой модели <math>\mathcal{I}</math> базы знаний <math>\mathcal{K}</math> имеет место <math>a^\mathcal{I}\in C^\mathcal{I}</math>.

Следующие понятия формализуют ключевые алгоритмические проблемы, связанные с конкретной ДЛ:

  • Выполнимость концепта: является ли заданный концепт выполнимым относительно заданного TBox?
  • Вложенность концептов: верно ли, что один заданный концепт вложен в другой относительно заданного TBox?
  • Совместимость TBox: имеет ли заданный TBox хотя бы одну модель?
  • Совместимость базы знаний: имеет ли заданная пара (TBox, ABox) хотя бы одну модель?

В логиках, содержащих <math>\mathcal{ALC}</math>, проблема вложенности концептов сводится к выполнимости концепта.[4] Важное практическое значение имеют нестандартные алгоритмические проблемы, в частности:

  • Классификация терминологии: для данной терминологии (то есть TBox) построить таксономию или иерархию концептов, то есть упорядочить все атомарные концепты по отношению вложения (отн. данного TBox) и выдать соответствующее частично упорядоченное множество.
  • Извлечение экземпляров концепта: найти все экземпляры заданного концепта относительно заданной базы знаний.
  • Наиболее узкий концепт для индивида: найти наименьший (по вложению) концепт, экземпляром которого является заданный индивид относительно заданной базы знаний.
  • Ответ на запрос к базе знаний: выдать все наборы индивидов, которые удовлетворяют заданному запросу относительно заданной базы знаний. В настоящее время глубоко изучены так называемые конъюнктивные запросы к базам знаний ДЛ (а также их дизъюнкции), которые похожи на аналогичные запросы из области баз данных. В случае же запросов более общего вида проблема быстро приобретает высокую вычислительную сложность или даже становится неразрешимой.[10][11]

Свойства ДЛ

Фундаментальными характеристиками той или иной ДЛ являются следующие:

  • Разрешимость: обычно рассматривают разрешимость проблем выполнимости концепта (относительно TBox), совместимости базы знаний, ответа на конъюнктивные запросы.
  • Вычислительная сложность: изучается вычислительная сложность указанных выше алгоритмических проблем относительно размера входных данных (концепта, TBox, ABox). Отдельно выделяют сложность проблемы выполнимости концепта при фиксированном TBox, сложность проблемы выполнимости базы знаний или проблемы ответа на запросы при фиксированном TBox и меняющемся ABox (так называемая сложность по данным, англ. data complexity).
  • Свойство конечности моделей, или иначе полнота относительно конечных моделей (finite model property): исследуется вопрос, всегда ли верно, что если концепт выполним (относительно TBox), то он выполним и на некоторой конечной модели (данного TBox). Из наличия данного свойства у конкретной ДЛ обычно следует, что для данной ДЛ более просто строится разрешающая процедура, например, табло-алгоритм.
  • Свойство древовидности моделей, или иначе полнота относительно древовидных моделей (tree model property): аналогичный вопрос, но не о конечных, а о «древовидных» моделях. При этом древовидными здесь могут считаться структуры, слегка отличающиеся от традиционного понятия дерева; например, могут допускаться петли (ребра, ведущие из вершины в эту же вершину), мультирёбра (несколько ребер различных «типов», ведущих из одной вершины в другую), транзитивные деревья (структуры, являющиеся транзитивным замыканием обычных деревьев), а также их комбинации. У логик, обладающих данным свойством, обычно более низкая вычислительная сложность, в частности, более просто строится разрешающий табло-алгоритм.

К настоящему времени получено большое количество результатов, касающихся этих свойств различных ДЛ. Подавляющее большинство их собрано в виде интерактивной веб-страницы: [www.cs.manchester.ac.uk/~ezolin/dl/ Навигатор по сложности дескрипционных логик] (англ.), где кроме того имеются ссылки на первоисточники полученных результатов.

Связь с языком OWL

Язык веб-онтологий OWL разрабатывается как язык, на котором можно формулировать и публиковать в веб так называемые сетевые онтологии — формально записанные утверждения о понятиях и объектах некоторой предметной области. Одним из требований к таким онтологиям заключается в том, чтобы содержащиеся в них знания были «доступны» для машинной обработки, в частности, для автоматизированного логического вывода новых знаний из уже имеющихся. Для этого требуется, чтобы язык, на котором формулируются онтологии, имел точную семантику, а соответствующие логические проблемы были разрешимы (и имели практически допустимую вычислительную сложность). Кроме того, желательно, чтобы такой язык имел довольно большую выразительную силу, пригодную для формулировки на нём практически значимых фактов.

Дескрипционные логики обладают такими свойствами, и по этой причине они были выбраны в качестве логической основы для языка веб-онтологий OWL. Последний является языком, имеющим XML-формат, поэтому можно сказать, что OWL является переформулировкой некоторых ДЛ с использованием синтаксиса XML. Поскольку существует много ДЛ, различающихся как по выразительной силе, так и по вычислительной сложности, это привело к тому, что в языке OWL имеется несколько вариантов.

Соответствие терминов: имеющиеся в ДЛ понятия концепт, роль, индивид и база знаний в OWL соответствуют понятиям класс, свойство, объект и онтология, соответственно.

Официальной рекомендацией W3C от 10 февраля 2004 года является версия языка OWL 1.0. Данная спецификация языка OWL подразделяется на следующие варианты:

  • OWL-Lite — соответствует дескрипционной логике <math>\mathcal{SHIF}(D)</math>;
  • OWL-DL — соответствует дескрипционной логике <math>\mathcal{SHOIN}(D)</math>;
  • OWL-Full — не соответствует какой-либо ДЛ, более того, является неразрешимым.

Находящаяся в стадии рабочего черновика новая версия языка OWL 1.1 покрывает дескрипционную логику <math>s\mathcal{ROIQ}(D)</math>, включающую в себя логику <math>\mathcal{SHOIQ}(D)</math>, составные аксиомы вложенности ролей в TBox (буква <math>\mathcal{R}</math> в названии логики), а также аксиомы непересекаемости, рефлексивности, иррефлексивности и асимметричности ролей, универсальную роль (интерпретируемую как <math>\Delta^\mathcal{I}\times\Delta^\mathcal{I}</math>), конструктор концепта <math>\exists R.\mathsf{Self}</math> (интерпретируемый как множество элементов, являющихся <math>R</math>-последователем самих себя) и допускает утверждения <math>\neg R(a,b)</math> в ABox.[12]

Одновременно с этим разрабатывается следующая версия языка OWL 2.0, которая, помимо перечисленного, даст возможность формулировать онтологии в языке, соответствующем дескрипционной логике <math>\mathcal{EL}</math> (преимущество которой в том, что она имеет полиномиальную вычислительную сложность); привнесет синтаксические улучшения, позволяющие легче составлять запросы к базам знаний и выдавать ответы на них; а также будет содержать механизмы для формулировки правил логического вывода.[13]

Машины вывода и редакторы

Имеется множество программных систем (машин вывода), позволяющих совершать логический анализ в дескрипционных логиках (проверять онтологию на непротиворечивость, строить таксономии, проверять выполнимость и вложенность концептов, делать запросы к базам знаний и др.). Подобные системы различаются по поддерживаемым ими дескрипционным логикам, по типу реализованной в них разрешающей процедуры (например, табло-алгоритм, резолюция и т. п.), по поддерживаемым форматам данных, языку программирования, на котором они реализованы, и другим параметрам. Среди наиболее известных можно перечислить системы:

  • [lat.inf.tu-dresden.de/systems/cel/ CEL] — поддерживает логику <math>\mathcal{EL}+</math>, имеющую полиномиальную сложность, написан на LISP;
  • [owl.cs.manchester.ac.uk/fact++/ FaCT++] — поддерживает логику <math>s\mathcal{ROIQ}(D)</math>, а также OWL 2.0, реализует табло-алгоритм, написан на C++;
  • [kaon2.semanticweb.org/ KAON2] — поддерживает логику <math>\mathcal{SHIQ}</math>, расширенную специальными правилами вывода, реализует алгоритм, основанный на резолюции, написан на Java;
  • [pellet.owldl.com/ Pellet] — поддерживает логику <math>s\mathcal{ROIQ}(D)</math>, а также OWL 1.1, реализует табло-алгоритм, написан на Java;
  • [www.racer-systems.com/ RacerPro] — поддерживает логику <math>\mathcal{SHIQ}(D)</math>, реализует табло-алгоритм, написан на LISP.

Создан единый ресурс — [owl.cs.manchester.ac.uk/reasoners.html список машин ДЛ-вывода], постоянно поддерживаемый в актуальном состоянии и описывающий основные аспекты этих и других программных систем, обеспечивающих логический вывод в ДЛ.

Существуют также редакторы онтологий, позволяющие создавать/редактировать онтологии, сохранять их в различных форматах, некоторые позволяют подключить блок рассуждений (англ. reasoner) и с его помощью произвести логический анализ онтологии. Одним из наиболее известных является редактор онтологий Protégé, позволяющий работать с онтологиями в языке OWL Full.

См. также

Напишите отзыв о статье "Дескрипционная логика"

Примечания

  1. Рассел, Норвиг, 2006, с. 482.
  2. [www.rsdn.ru/article/philosophy/what-is-onto.xml Лапшин В. А., Онтологии в компьютерных системах. RSDN Magazine, 4, 2009.]
  3. Description Logic Handbook, 2003, Basic Description Logics, pp. 43-95.
  4. 1 2 3 4 Baader F. The Description Logic Handbook. — New York: Cambridge University Press, 2003. — ISBN 0-521-78176-0.
  5. Schmidt-Schauß, M.; Smolka, G. (1991). «Attributive concept descriptions with complements». Artificial Intelligence 48: 1–26.
  6. 1 2 Schild, K. (1991). «A correspondence theory for terminological logics: Preliminary report». In Proc. of the 12th Int. Joint Conf. on Artificial Intelligence (IJCAI'91).: 466–471.
  7. Lutz, C.; Sattler, U.; Wolter, F. (2001). «Modal logics and the two-variable fragment». In Annual Conference of the European Association for Computer Science Logic (CSL'2001).
  8. Grädel, E.; Otto, M.; Rosen, E. (1997). «Two variable logic with counting is decidable». In Proc. of the 12th IEEE Symp. on Logic in Computer Science (LICS'97): 306–317..
  9. Horrocks, I.; Sattler, U.; Tobies, S. (1999). «Practical reasoning for expressive Description Logics». In Proc. of the 6th Int. Conference on Logic for Programming and Automated Reasoning (LPAR'99): 161–180.
  10. Tessaris S. Questions and answers: Reasoning and querying in Description Logic (PhD Thesis). — University of Manchester, 2001.
  11. Glimm, B.; Horrocks, I.; Lutz, C.; Sattler, U. (2007). «Conjunctive query answering for the description logic SHIQ». In Proc. of the 20th Int. Joint Conf. on Artificial Intelligence (IJCAI 2007). 31: 151–198.
  12. [www.webont.org/owl/1.1/ Сайт разработчиков языка OWL 1.1]
  13. [www.w3.org/TR/2009/WD-owl2-new-features-20090421/ Новые возможности языка OWL 2.0]

Ссылки

  • [dl.kr.org/ Официальный сайт сообщества исследователей дескрипционных логик]
  • [www.cs.manchester.ac.uk/~ezolin/dl/ Навигатор по вычислительной сложности дескрипционных логик]
  • [owl.cs.manchester.ac.uk/reasoners.html Список ДЛ reasoners]

Литература

  • Рассел С., Норвиг П. Искусственный интеллект: современный подход. — М.: ИД «Вильямс», 2006. — 1408 с. — ISBN 5-8459-0887-6.
  • Franz Baader and Diego Calvanese and eborah L. McGuinness and Daniele Nardi and Peter F. Patel-Schneider. [www.informatik.uni-trier.de/~ley/db/conf/dlog/handbook2003.html The Description Logic Handbook: Theory, Implementation, and Applications]. — Cambridge University Press, 2003. — ISBN 0-521-78176-0.

Отрывок, характеризующий Дескрипционная логика

Какой восторг разлился по перстам!
Пел он страстным голосом, блестя на испуганную и счастливую Наташу своими агатовыми, черными глазами.
– Прекрасно! отлично! – кричала Наташа. – Еще другой куплет, – говорила она, не замечая Николая.
«У них всё то же» – подумал Николай, заглядывая в гостиную, где он увидал Веру и мать с старушкой.
– А! вот и Николенька! – Наташа подбежала к нему.
– Папенька дома? – спросил он.
– Как я рада, что ты приехал! – не отвечая, сказала Наташа, – нам так весело. Василий Дмитрич остался для меня еще день, ты знаешь?
– Нет, еще не приезжал папа, – сказала Соня.
– Коко, ты приехал, поди ко мне, дружок! – сказал голос графини из гостиной. Николай подошел к матери, поцеловал ее руку и, молча подсев к ее столу, стал смотреть на ее руки, раскладывавшие карты. Из залы всё слышались смех и веселые голоса, уговаривавшие Наташу.
– Ну, хорошо, хорошо, – закричал Денисов, – теперь нечего отговариваться, за вами barcarolla, умоляю вас.
Графиня оглянулась на молчаливого сына.
– Что с тобой? – спросила мать у Николая.
– Ах, ничего, – сказал он, как будто ему уже надоел этот всё один и тот же вопрос.
– Папенька скоро приедет?
– Я думаю.
«У них всё то же. Они ничего не знают! Куда мне деваться?», подумал Николай и пошел опять в залу, где стояли клавикорды.
Соня сидела за клавикордами и играла прелюдию той баркароллы, которую особенно любил Денисов. Наташа собиралась петь. Денисов восторженными глазами смотрел на нее.
Николай стал ходить взад и вперед по комнате.
«И вот охота заставлять ее петь? – что она может петь? И ничего тут нет веселого», думал Николай.
Соня взяла первый аккорд прелюдии.
«Боже мой, я погибший, я бесчестный человек. Пулю в лоб, одно, что остается, а не петь, подумал он. Уйти? но куда же? всё равно, пускай поют!»
Николай мрачно, продолжая ходить по комнате, взглядывал на Денисова и девочек, избегая их взглядов.
«Николенька, что с вами?» – спросил взгляд Сони, устремленный на него. Она тотчас увидала, что что нибудь случилось с ним.
Николай отвернулся от нее. Наташа с своею чуткостью тоже мгновенно заметила состояние своего брата. Она заметила его, но ей самой так было весело в ту минуту, так далека она была от горя, грусти, упреков, что она (как это часто бывает с молодыми людьми) нарочно обманула себя. Нет, мне слишком весело теперь, чтобы портить свое веселье сочувствием чужому горю, почувствовала она, и сказала себе:
«Нет, я верно ошибаюсь, он должен быть весел так же, как и я». Ну, Соня, – сказала она и вышла на самую середину залы, где по ее мнению лучше всего был резонанс. Приподняв голову, опустив безжизненно повисшие руки, как это делают танцовщицы, Наташа, энергическим движением переступая с каблучка на цыпочку, прошлась по середине комнаты и остановилась.
«Вот она я!» как будто говорила она, отвечая на восторженный взгляд Денисова, следившего за ней.
«И чему она радуется! – подумал Николай, глядя на сестру. И как ей не скучно и не совестно!» Наташа взяла первую ноту, горло ее расширилось, грудь выпрямилась, глаза приняли серьезное выражение. Она не думала ни о ком, ни о чем в эту минуту, и из в улыбку сложенного рта полились звуки, те звуки, которые может производить в те же промежутки времени и в те же интервалы всякий, но которые тысячу раз оставляют вас холодным, в тысячу первый раз заставляют вас содрогаться и плакать.
Наташа в эту зиму в первый раз начала серьезно петь и в особенности оттого, что Денисов восторгался ее пением. Она пела теперь не по детски, уж не было в ее пеньи этой комической, ребяческой старательности, которая была в ней прежде; но она пела еще не хорошо, как говорили все знатоки судьи, которые ее слушали. «Не обработан, но прекрасный голос, надо обработать», говорили все. Но говорили это обыкновенно уже гораздо после того, как замолкал ее голос. В то же время, когда звучал этот необработанный голос с неправильными придыханиями и с усилиями переходов, даже знатоки судьи ничего не говорили, и только наслаждались этим необработанным голосом и только желали еще раз услыхать его. В голосе ее была та девственная нетронутость, то незнание своих сил и та необработанная еще бархатность, которые так соединялись с недостатками искусства пенья, что, казалось, нельзя было ничего изменить в этом голосе, не испортив его.
«Что ж это такое? – подумал Николай, услыхав ее голос и широко раскрывая глаза. – Что с ней сделалось? Как она поет нынче?» – подумал он. И вдруг весь мир для него сосредоточился в ожидании следующей ноты, следующей фразы, и всё в мире сделалось разделенным на три темпа: «Oh mio crudele affetto… [О моя жестокая любовь…] Раз, два, три… раз, два… три… раз… Oh mio crudele affetto… Раз, два, три… раз. Эх, жизнь наша дурацкая! – думал Николай. Всё это, и несчастье, и деньги, и Долохов, и злоба, и честь – всё это вздор… а вот оно настоящее… Hy, Наташа, ну, голубчик! ну матушка!… как она этот si возьмет? взяла! слава Богу!» – и он, сам не замечая того, что он поет, чтобы усилить этот si, взял втору в терцию высокой ноты. «Боже мой! как хорошо! Неужели это я взял? как счастливо!» подумал он.
О! как задрожала эта терция, и как тронулось что то лучшее, что было в душе Ростова. И это что то было независимо от всего в мире, и выше всего в мире. Какие тут проигрыши, и Долоховы, и честное слово!… Всё вздор! Можно зарезать, украсть и всё таки быть счастливым…


Давно уже Ростов не испытывал такого наслаждения от музыки, как в этот день. Но как только Наташа кончила свою баркароллу, действительность опять вспомнилась ему. Он, ничего не сказав, вышел и пошел вниз в свою комнату. Через четверть часа старый граф, веселый и довольный, приехал из клуба. Николай, услыхав его приезд, пошел к нему.
– Ну что, повеселился? – сказал Илья Андреич, радостно и гордо улыбаясь на своего сына. Николай хотел сказать, что «да», но не мог: он чуть было не зарыдал. Граф раскуривал трубку и не заметил состояния сына.
«Эх, неизбежно!» – подумал Николай в первый и последний раз. И вдруг самым небрежным тоном, таким, что он сам себе гадок казался, как будто он просил экипажа съездить в город, он сказал отцу.
– Папа, а я к вам за делом пришел. Я было и забыл. Мне денег нужно.
– Вот как, – сказал отец, находившийся в особенно веселом духе. – Я тебе говорил, что не достанет. Много ли?
– Очень много, – краснея и с глупой, небрежной улыбкой, которую он долго потом не мог себе простить, сказал Николай. – Я немного проиграл, т. е. много даже, очень много, 43 тысячи.
– Что? Кому?… Шутишь! – крикнул граф, вдруг апоплексически краснея шеей и затылком, как краснеют старые люди.
– Я обещал заплатить завтра, – сказал Николай.
– Ну!… – сказал старый граф, разводя руками и бессильно опустился на диван.
– Что же делать! С кем это не случалось! – сказал сын развязным, смелым тоном, тогда как в душе своей он считал себя негодяем, подлецом, который целой жизнью не мог искупить своего преступления. Ему хотелось бы целовать руки своего отца, на коленях просить его прощения, а он небрежным и даже грубым тоном говорил, что это со всяким случается.
Граф Илья Андреич опустил глаза, услыхав эти слова сына и заторопился, отыскивая что то.
– Да, да, – проговорил он, – трудно, я боюсь, трудно достать…с кем не бывало! да, с кем не бывало… – И граф мельком взглянул в лицо сыну и пошел вон из комнаты… Николай готовился на отпор, но никак не ожидал этого.
– Папенька! па…пенька! – закричал он ему вслед, рыдая; простите меня! – И, схватив руку отца, он прижался к ней губами и заплакал.

В то время, как отец объяснялся с сыном, у матери с дочерью происходило не менее важное объяснение. Наташа взволнованная прибежала к матери.
– Мама!… Мама!… он мне сделал…
– Что сделал?
– Сделал, сделал предложение. Мама! Мама! – кричала она. Графиня не верила своим ушам. Денисов сделал предложение. Кому? Этой крошечной девочке Наташе, которая еще недавно играла в куклы и теперь еще брала уроки.
– Наташа, полно, глупости! – сказала она, еще надеясь, что это была шутка.
– Ну вот, глупости! – Я вам дело говорю, – сердито сказала Наташа. – Я пришла спросить, что делать, а вы мне говорите: «глупости»…
Графиня пожала плечами.
– Ежели правда, что мосьё Денисов сделал тебе предложение, то скажи ему, что он дурак, вот и всё.
– Нет, он не дурак, – обиженно и серьезно сказала Наташа.
– Ну так что ж ты хочешь? Вы нынче ведь все влюблены. Ну, влюблена, так выходи за него замуж! – сердито смеясь, проговорила графиня. – С Богом!
– Нет, мама, я не влюблена в него, должно быть не влюблена в него.
– Ну, так так и скажи ему.
– Мама, вы сердитесь? Вы не сердитесь, голубушка, ну в чем же я виновата?
– Нет, да что же, мой друг? Хочешь, я пойду скажу ему, – сказала графиня, улыбаясь.
– Нет, я сама, только научите. Вам всё легко, – прибавила она, отвечая на ее улыбку. – А коли бы видели вы, как он мне это сказал! Ведь я знаю, что он не хотел этого сказать, да уж нечаянно сказал.
– Ну всё таки надо отказать.
– Нет, не надо. Мне так его жалко! Он такой милый.
– Ну, так прими предложение. И то пора замуж итти, – сердито и насмешливо сказала мать.
– Нет, мама, мне так жалко его. Я не знаю, как я скажу.
– Да тебе и нечего говорить, я сама скажу, – сказала графиня, возмущенная тем, что осмелились смотреть, как на большую, на эту маленькую Наташу.
– Нет, ни за что, я сама, а вы слушайте у двери, – и Наташа побежала через гостиную в залу, где на том же стуле, у клавикорд, закрыв лицо руками, сидел Денисов. Он вскочил на звук ее легких шагов.
– Натали, – сказал он, быстрыми шагами подходя к ней, – решайте мою судьбу. Она в ваших руках!
– Василий Дмитрич, мне вас так жалко!… Нет, но вы такой славный… но не надо… это… а так я вас всегда буду любить.
Денисов нагнулся над ее рукою, и она услыхала странные, непонятные для нее звуки. Она поцеловала его в черную, спутанную, курчавую голову. В это время послышался поспешный шум платья графини. Она подошла к ним.
– Василий Дмитрич, я благодарю вас за честь, – сказала графиня смущенным голосом, но который казался строгим Денисову, – но моя дочь так молода, и я думала, что вы, как друг моего сына, обратитесь прежде ко мне. В таком случае вы не поставили бы меня в необходимость отказа.
– Г'афиня, – сказал Денисов с опущенными глазами и виноватым видом, хотел сказать что то еще и запнулся.
Наташа не могла спокойно видеть его таким жалким. Она начала громко всхлипывать.
– Г'афиня, я виноват перед вами, – продолжал Денисов прерывающимся голосом, – но знайте, что я так боготво'ю вашу дочь и всё ваше семейство, что две жизни отдам… – Он посмотрел на графиню и, заметив ее строгое лицо… – Ну п'ощайте, г'афиня, – сказал он, поцеловал ее руку и, не взглянув на Наташу, быстрыми, решительными шагами вышел из комнаты.

На другой день Ростов проводил Денисова, который не хотел более ни одного дня оставаться в Москве. Денисова провожали у цыган все его московские приятели, и он не помнил, как его уложили в сани и как везли первые три станции.
После отъезда Денисова, Ростов, дожидаясь денег, которые не вдруг мог собрать старый граф, провел еще две недели в Москве, не выезжая из дому, и преимущественно в комнате барышень.
Соня была к нему нежнее и преданнее чем прежде. Она, казалось, хотела показать ему, что его проигрыш был подвиг, за который она теперь еще больше любит его; но Николай теперь считал себя недостойным ее.
Он исписал альбомы девочек стихами и нотами, и не простившись ни с кем из своих знакомых, отослав наконец все 43 тысячи и получив росписку Долохова, уехал в конце ноября догонять полк, который уже был в Польше.



После своего объяснения с женой, Пьер поехал в Петербург. В Торжке на cтанции не было лошадей, или не хотел их смотритель. Пьер должен был ждать. Он не раздеваясь лег на кожаный диван перед круглым столом, положил на этот стол свои большие ноги в теплых сапогах и задумался.
– Прикажете чемоданы внести? Постель постелить, чаю прикажете? – спрашивал камердинер.
Пьер не отвечал, потому что ничего не слыхал и не видел. Он задумался еще на прошлой станции и всё продолжал думать о том же – о столь важном, что он не обращал никакого .внимания на то, что происходило вокруг него. Его не только не интересовало то, что он позже или раньше приедет в Петербург, или то, что будет или не будет ему места отдохнуть на этой станции, но всё равно было в сравнении с теми мыслями, которые его занимали теперь, пробудет ли он несколько часов или всю жизнь на этой станции.
Смотритель, смотрительша, камердинер, баба с торжковским шитьем заходили в комнату, предлагая свои услуги. Пьер, не переменяя своего положения задранных ног, смотрел на них через очки, и не понимал, что им может быть нужно и каким образом все они могли жить, не разрешив тех вопросов, которые занимали его. А его занимали всё одни и те же вопросы с самого того дня, как он после дуэли вернулся из Сокольников и провел первую, мучительную, бессонную ночь; только теперь в уединении путешествия, они с особенной силой овладели им. О чем бы он ни начинал думать, он возвращался к одним и тем же вопросам, которых он не мог разрешить, и не мог перестать задавать себе. Как будто в голове его свернулся тот главный винт, на котором держалась вся его жизнь. Винт не входил дальше, не выходил вон, а вертелся, ничего не захватывая, всё на том же нарезе, и нельзя было перестать вертеть его.
Вошел смотритель и униженно стал просить его сиятельство подождать только два часика, после которых он для его сиятельства (что будет, то будет) даст курьерских. Смотритель очевидно врал и хотел только получить с проезжего лишние деньги. «Дурно ли это было или хорошо?», спрашивал себя Пьер. «Для меня хорошо, для другого проезжающего дурно, а для него самого неизбежно, потому что ему есть нечего: он говорил, что его прибил за это офицер. А офицер прибил за то, что ему ехать надо было скорее. А я стрелял в Долохова за то, что я счел себя оскорбленным, а Людовика XVI казнили за то, что его считали преступником, а через год убили тех, кто его казнил, тоже за что то. Что дурно? Что хорошо? Что надо любить, что ненавидеть? Для чего жить, и что такое я? Что такое жизнь, что смерть? Какая сила управляет всем?», спрашивал он себя. И не было ответа ни на один из этих вопросов, кроме одного, не логического ответа, вовсе не на эти вопросы. Ответ этот был: «умрешь – всё кончится. Умрешь и всё узнаешь, или перестанешь спрашивать». Но и умереть было страшно.
Торжковская торговка визгливым голосом предлагала свой товар и в особенности козловые туфли. «У меня сотни рублей, которых мне некуда деть, а она в прорванной шубе стоит и робко смотрит на меня, – думал Пьер. И зачем нужны эти деньги? Точно на один волос могут прибавить ей счастья, спокойствия души, эти деньги? Разве может что нибудь в мире сделать ее и меня менее подверженными злу и смерти? Смерть, которая всё кончит и которая должна притти нынче или завтра – всё равно через мгновение, в сравнении с вечностью». И он опять нажимал на ничего не захватывающий винт, и винт всё так же вертелся на одном и том же месте.
Слуга его подал ему разрезанную до половины книгу романа в письмах m mе Suza. [мадам Сюза.] Он стал читать о страданиях и добродетельной борьбе какой то Аmelie de Mansfeld. [Амалии Мансфельд.] «И зачем она боролась против своего соблазнителя, думал он, – когда она любила его? Не мог Бог вложить в ее душу стремления, противного Его воле. Моя бывшая жена не боролась и, может быть, она была права. Ничего не найдено, опять говорил себе Пьер, ничего не придумано. Знать мы можем только то, что ничего не знаем. И это высшая степень человеческой премудрости».
Всё в нем самом и вокруг него представлялось ему запутанным, бессмысленным и отвратительным. Но в этом самом отвращении ко всему окружающему Пьер находил своего рода раздражающее наслаждение.
– Осмелюсь просить ваше сиятельство потесниться крошечку, вот для них, – сказал смотритель, входя в комнату и вводя за собой другого, остановленного за недостатком лошадей проезжающего. Проезжающий был приземистый, ширококостый, желтый, морщинистый старик с седыми нависшими бровями над блестящими, неопределенного сероватого цвета, глазами.
Пьер снял ноги со стола, встал и перелег на приготовленную для него кровать, изредка поглядывая на вошедшего, который с угрюмо усталым видом, не глядя на Пьера, тяжело раздевался с помощью слуги. Оставшись в заношенном крытом нанкой тулупчике и в валеных сапогах на худых костлявых ногах, проезжий сел на диван, прислонив к спинке свою очень большую и широкую в висках, коротко обстриженную голову и взглянул на Безухого. Строгое, умное и проницательное выражение этого взгляда поразило Пьера. Ему захотелось заговорить с проезжающим, но когда он собрался обратиться к нему с вопросом о дороге, проезжающий уже закрыл глаза и сложив сморщенные старые руки, на пальце одной из которых был большой чугунный перстень с изображением Адамовой головы, неподвижно сидел, или отдыхая, или о чем то глубокомысленно и спокойно размышляя, как показалось Пьеру. Слуга проезжающего был весь покрытый морщинами, тоже желтый старичек, без усов и бороды, которые видимо не были сбриты, а никогда и не росли у него. Поворотливый старичек слуга разбирал погребец, приготовлял чайный стол, и принес кипящий самовар. Когда всё было готово, проезжающий открыл глаза, придвинулся к столу и налив себе один стакан чаю, налил другой безбородому старичку и подал ему. Пьер начинал чувствовать беспокойство и необходимость, и даже неизбежность вступления в разговор с этим проезжающим.
Слуга принес назад свой пустой, перевернутый стакан с недокусанным кусочком сахара и спросил, не нужно ли чего.
– Ничего. Подай книгу, – сказал проезжающий. Слуга подал книгу, которая показалась Пьеру духовною, и проезжающий углубился в чтение. Пьер смотрел на него. Вдруг проезжающий отложил книгу, заложив закрыл ее и, опять закрыв глаза и облокотившись на спинку, сел в свое прежнее положение. Пьер смотрел на него и не успел отвернуться, как старик открыл глаза и уставил свой твердый и строгий взгляд прямо в лицо Пьеру.
Пьер чувствовал себя смущенным и хотел отклониться от этого взгляда, но блестящие, старческие глаза неотразимо притягивали его к себе.


– Имею удовольствие говорить с графом Безухим, ежели я не ошибаюсь, – сказал проезжающий неторопливо и громко. Пьер молча, вопросительно смотрел через очки на своего собеседника.
– Я слышал про вас, – продолжал проезжающий, – и про постигшее вас, государь мой, несчастье. – Он как бы подчеркнул последнее слово, как будто он сказал: «да, несчастье, как вы ни называйте, я знаю, что то, что случилось с вами в Москве, было несчастье». – Весьма сожалею о том, государь мой.
Пьер покраснел и, поспешно спустив ноги с постели, нагнулся к старику, неестественно и робко улыбаясь.
– Я не из любопытства упомянул вам об этом, государь мой, но по более важным причинам. – Он помолчал, не выпуская Пьера из своего взгляда, и подвинулся на диване, приглашая этим жестом Пьера сесть подле себя. Пьеру неприятно было вступать в разговор с этим стариком, но он, невольно покоряясь ему, подошел и сел подле него.
– Вы несчастливы, государь мой, – продолжал он. – Вы молоды, я стар. Я бы желал по мере моих сил помочь вам.
– Ах, да, – с неестественной улыбкой сказал Пьер. – Очень вам благодарен… Вы откуда изволите проезжать? – Лицо проезжающего было не ласково, даже холодно и строго, но несмотря на то, и речь и лицо нового знакомца неотразимо привлекательно действовали на Пьера.
– Но если по каким либо причинам вам неприятен разговор со мною, – сказал старик, – то вы так и скажите, государь мой. – И он вдруг улыбнулся неожиданно, отечески нежной улыбкой.
– Ах нет, совсем нет, напротив, я очень рад познакомиться с вами, – сказал Пьер, и, взглянув еще раз на руки нового знакомца, ближе рассмотрел перстень. Он увидал на нем Адамову голову, знак масонства.
– Позвольте мне спросить, – сказал он. – Вы масон?
– Да, я принадлежу к братству свободных каменьщиков, сказал проезжий, все глубже и глубже вглядываясь в глаза Пьеру. – И от себя и от их имени протягиваю вам братскую руку.
– Я боюсь, – сказал Пьер, улыбаясь и колеблясь между доверием, внушаемым ему личностью масона, и привычкой насмешки над верованиями масонов, – я боюсь, что я очень далек от пониманья, как это сказать, я боюсь, что мой образ мыслей насчет всего мироздания так противоположен вашему, что мы не поймем друг друга.
– Мне известен ваш образ мыслей, – сказал масон, – и тот ваш образ мыслей, о котором вы говорите, и который вам кажется произведением вашего мысленного труда, есть образ мыслей большинства людей, есть однообразный плод гордости, лени и невежества. Извините меня, государь мой, ежели бы я не знал его, я бы не заговорил с вами. Ваш образ мыслей есть печальное заблуждение.
– Точно так же, как я могу предполагать, что и вы находитесь в заблуждении, – сказал Пьер, слабо улыбаясь.
– Я никогда не посмею сказать, что я знаю истину, – сказал масон, всё более и более поражая Пьера своею определенностью и твердостью речи. – Никто один не может достигнуть до истины; только камень за камнем, с участием всех, миллионами поколений, от праотца Адама и до нашего времени, воздвигается тот храм, который должен быть достойным жилищем Великого Бога, – сказал масон и закрыл глаза.
– Я должен вам сказать, я не верю, не… верю в Бога, – с сожалением и усилием сказал Пьер, чувствуя необходимость высказать всю правду.
Масон внимательно посмотрел на Пьера и улыбнулся, как улыбнулся бы богач, державший в руках миллионы, бедняку, который бы сказал ему, что нет у него, у бедняка, пяти рублей, могущих сделать его счастие.
– Да, вы не знаете Его, государь мой, – сказал масон. – Вы не можете знать Его. Вы не знаете Его, оттого вы и несчастны.
– Да, да, я несчастен, подтвердил Пьер; – но что ж мне делать?
– Вы не знаете Его, государь мой, и оттого вы очень несчастны. Вы не знаете Его, а Он здесь, Он во мне. Он в моих словах, Он в тебе, и даже в тех кощунствующих речах, которые ты произнес сейчас! – строгим дрожащим голосом сказал масон.
Он помолчал и вздохнул, видимо стараясь успокоиться.
– Ежели бы Его не было, – сказал он тихо, – мы бы с вами не говорили о Нем, государь мой. О чем, о ком мы говорили? Кого ты отрицал? – вдруг сказал он с восторженной строгостью и властью в голосе. – Кто Его выдумал, ежели Его нет? Почему явилось в тебе предположение, что есть такое непонятное существо? Почему ты и весь мир предположили существование такого непостижимого существа, существа всемогущего, вечного и бесконечного во всех своих свойствах?… – Он остановился и долго молчал.
Пьер не мог и не хотел прерывать этого молчания.
– Он есть, но понять Его трудно, – заговорил опять масон, глядя не на лицо Пьера, а перед собою, своими старческими руками, которые от внутреннего волнения не могли оставаться спокойными, перебирая листы книги. – Ежели бы это был человек, в существовании которого ты бы сомневался, я бы привел к тебе этого человека, взял бы его за руку и показал тебе. Но как я, ничтожный смертный, покажу всё всемогущество, всю вечность, всю благость Его тому, кто слеп, или тому, кто закрывает глаза, чтобы не видать, не понимать Его, и не увидать, и не понять всю свою мерзость и порочность? – Он помолчал. – Кто ты? Что ты? Ты мечтаешь о себе, что ты мудрец, потому что ты мог произнести эти кощунственные слова, – сказал он с мрачной и презрительной усмешкой, – а ты глупее и безумнее малого ребенка, который бы, играя частями искусно сделанных часов, осмелился бы говорить, что, потому что он не понимает назначения этих часов, он и не верит в мастера, который их сделал. Познать Его трудно… Мы веками, от праотца Адама и до наших дней, работаем для этого познания и на бесконечность далеки от достижения нашей цели; но в непонимании Его мы видим только нашу слабость и Его величие… – Пьер, с замиранием сердца, блестящими глазами глядя в лицо масона, слушал его, не перебивал, не спрашивал его, а всей душой верил тому, что говорил ему этот чужой человек. Верил ли он тем разумным доводам, которые были в речи масона, или верил, как верят дети интонациям, убежденности и сердечности, которые были в речи масона, дрожанию голоса, которое иногда почти прерывало масона, или этим блестящим, старческим глазам, состарившимся на том же убеждении, или тому спокойствию, твердости и знанию своего назначения, которые светились из всего существа масона, и которые особенно сильно поражали его в сравнении с своей опущенностью и безнадежностью; – но он всей душой желал верить, и верил, и испытывал радостное чувство успокоения, обновления и возвращения к жизни.
– Он не постигается умом, а постигается жизнью, – сказал масон.
– Я не понимаю, – сказал Пьер, со страхом чувствуя поднимающееся в себе сомнение. Он боялся неясности и слабости доводов своего собеседника, он боялся не верить ему. – Я не понимаю, – сказал он, – каким образом ум человеческий не может постигнуть того знания, о котором вы говорите.
Масон улыбнулся своей кроткой, отеческой улыбкой.
– Высшая мудрость и истина есть как бы чистейшая влага, которую мы хотим воспринять в себя, – сказал он. – Могу ли я в нечистый сосуд воспринять эту чистую влагу и судить о чистоте ее? Только внутренним очищением самого себя я могу до известной чистоты довести воспринимаемую влагу.
– Да, да, это так! – радостно сказал Пьер.
– Высшая мудрость основана не на одном разуме, не на тех светских науках физики, истории, химии и т. д., на которые распадается знание умственное. Высшая мудрость одна. Высшая мудрость имеет одну науку – науку всего, науку объясняющую всё мироздание и занимаемое в нем место человека. Для того чтобы вместить в себя эту науку, необходимо очистить и обновить своего внутреннего человека, и потому прежде, чем знать, нужно верить и совершенствоваться. И для достижения этих целей в душе нашей вложен свет Божий, называемый совестью.
– Да, да, – подтверждал Пьер.
– Погляди духовными глазами на своего внутреннего человека и спроси у самого себя, доволен ли ты собой. Чего ты достиг, руководясь одним умом? Что ты такое? Вы молоды, вы богаты, вы умны, образованы, государь мой. Что вы сделали из всех этих благ, данных вам? Довольны ли вы собой и своей жизнью?
– Нет, я ненавижу свою жизнь, – сморщась проговорил Пьер.
– Ты ненавидишь, так измени ее, очисти себя, и по мере очищения ты будешь познавать мудрость. Посмотрите на свою жизнь, государь мой. Как вы проводили ее? В буйных оргиях и разврате, всё получая от общества и ничего не отдавая ему. Вы получили богатство. Как вы употребили его? Что вы сделали для ближнего своего? Подумали ли вы о десятках тысяч ваших рабов, помогли ли вы им физически и нравственно? Нет. Вы пользовались их трудами, чтоб вести распутную жизнь. Вот что вы сделали. Избрали ли вы место служения, где бы вы приносили пользу своему ближнему? Нет. Вы в праздности проводили свою жизнь. Потом вы женились, государь мой, взяли на себя ответственность в руководстве молодой женщины, и что же вы сделали? Вы не помогли ей, государь мой, найти путь истины, а ввергли ее в пучину лжи и несчастья. Человек оскорбил вас, и вы убили его, и вы говорите, что вы не знаете Бога, и что вы ненавидите свою жизнь. Тут нет ничего мудреного, государь мой! – После этих слов, масон, как бы устав от продолжительного разговора, опять облокотился на спинку дивана и закрыл глаза. Пьер смотрел на это строгое, неподвижное, старческое, почти мертвое лицо, и беззвучно шевелил губами. Он хотел сказать: да, мерзкая, праздная, развратная жизнь, – и не смел прерывать молчание.
Масон хрипло, старчески прокашлялся и кликнул слугу.
– Что лошади? – спросил он, не глядя на Пьера.
– Привели сдаточных, – отвечал слуга. – Отдыхать не будете?
– Нет, вели закладывать.
«Неужели же он уедет и оставит меня одного, не договорив всего и не обещав мне помощи?», думал Пьер, вставая и опустив голову, изредка взглядывая на масона, и начиная ходить по комнате. «Да, я не думал этого, но я вел презренную, развратную жизнь, но я не любил ее, и не хотел этого, думал Пьер, – а этот человек знает истину, и ежели бы он захотел, он мог бы открыть мне её». Пьер хотел и не смел сказать этого масону. Проезжающий, привычными, старческими руками уложив свои вещи, застегивал свой тулупчик. Окончив эти дела, он обратился к Безухому и равнодушно, учтивым тоном, сказал ему:
– Вы куда теперь изволите ехать, государь мой?
– Я?… Я в Петербург, – отвечал Пьер детским, нерешительным голосом. – Я благодарю вас. Я во всем согласен с вами. Но вы не думайте, чтобы я был так дурен. Я всей душой желал быть тем, чем вы хотели бы, чтобы я был; но я ни в ком никогда не находил помощи… Впрочем, я сам прежде всего виноват во всем. Помогите мне, научите меня и, может быть, я буду… – Пьер не мог говорить дальше; он засопел носом и отвернулся.
Масон долго молчал, видимо что то обдумывая.
– Помощь дается токмо от Бога, – сказал он, – но ту меру помощи, которую во власти подать наш орден, он подаст вам, государь мой. Вы едете в Петербург, передайте это графу Вилларскому (он достал бумажник и на сложенном вчетверо большом листе бумаги написал несколько слов). Один совет позвольте подать вам. Приехав в столицу, посвятите первое время уединению, обсуждению самого себя, и не вступайте на прежние пути жизни. Затем желаю вам счастливого пути, государь мой, – сказал он, заметив, что слуга его вошел в комнату, – и успеха…
Проезжающий был Осип Алексеевич Баздеев, как узнал Пьер по книге смотрителя. Баздеев был одним из известнейших масонов и мартинистов еще Новиковского времени. Долго после его отъезда Пьер, не ложась спать и не спрашивая лошадей, ходил по станционной комнате, обдумывая свое порочное прошедшее и с восторгом обновления представляя себе свое блаженное, безупречное и добродетельное будущее, которое казалось ему так легко. Он был, как ему казалось, порочным только потому, что он как то случайно запамятовал, как хорошо быть добродетельным. В душе его не оставалось ни следа прежних сомнений. Он твердо верил в возможность братства людей, соединенных с целью поддерживать друг друга на пути добродетели, и таким представлялось ему масонство.


Приехав в Петербург, Пьер никого не известил о своем приезде, никуда не выезжал, и стал целые дни проводить за чтением Фомы Кемпийского, книги, которая неизвестно кем была доставлена ему. Одно и всё одно понимал Пьер, читая эту книгу; он понимал неизведанное еще им наслаждение верить в возможность достижения совершенства и в возможность братской и деятельной любви между людьми, открытую ему Осипом Алексеевичем. Через неделю после его приезда молодой польский граф Вилларский, которого Пьер поверхностно знал по петербургскому свету, вошел вечером в его комнату с тем официальным и торжественным видом, с которым входил к нему секундант Долохова и, затворив за собой дверь и убедившись, что в комнате никого кроме Пьера не было, обратился к нему:
– Я приехал к вам с поручением и предложением, граф, – сказал он ему, не садясь. – Особа, очень высоко поставленная в нашем братстве, ходатайствовала о том, чтобы вы были приняты в братство ранее срока, и предложила мне быть вашим поручителем. Я за священный долг почитаю исполнение воли этого лица. Желаете ли вы вступить за моим поручительством в братство свободных каменьщиков?
Холодный и строгий тон человека, которого Пьер видел почти всегда на балах с любезною улыбкою, в обществе самых блестящих женщин, поразил Пьера.
– Да, я желаю, – сказал Пьер.
Вилларский наклонил голову. – Еще один вопрос, граф, сказал он, на который я вас не как будущего масона, но как честного человека (galant homme) прошу со всею искренностью отвечать мне: отреклись ли вы от своих прежних убеждений, верите ли вы в Бога?
Пьер задумался. – Да… да, я верю в Бога, – сказал он.
– В таком случае… – начал Вилларский, но Пьер перебил его. – Да, я верю в Бога, – сказал он еще раз.
– В таком случае мы можем ехать, – сказал Вилларский. – Карета моя к вашим услугам.
Всю дорогу Вилларский молчал. На вопросы Пьера, что ему нужно делать и как отвечать, Вилларский сказал только, что братья, более его достойные, испытают его, и что Пьеру больше ничего не нужно, как говорить правду.
Въехав в ворота большого дома, где было помещение ложи, и пройдя по темной лестнице, они вошли в освещенную, небольшую прихожую, где без помощи прислуги, сняли шубы. Из передней они прошли в другую комнату. Какой то человек в странном одеянии показался у двери. Вилларский, выйдя к нему навстречу, что то тихо сказал ему по французски и подошел к небольшому шкафу, в котором Пьер заметил невиданные им одеяния. Взяв из шкафа платок, Вилларский наложил его на глаза Пьеру и завязал узлом сзади, больно захватив в узел его волоса. Потом он пригнул его к себе, поцеловал и, взяв за руку, повел куда то. Пьеру было больно от притянутых узлом волос, он морщился от боли и улыбался от стыда чего то. Огромная фигура его с опущенными руками, с сморщенной и улыбающейся физиономией, неверными робкими шагами подвигалась за Вилларским.