Десятичная дробь

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

<math>\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots</math>

где

<math>\pm</math> — знак дроби: либо <math>+</math>, либо <math>-</math>,

<math>,</math> — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (стандарт стран СНГ),

<math>d_k</math> — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:

• <math>123{,}45</math> (конечная десятичная дробь)
• Представление числа <math>\pi</math> в виде бесконечной десятичной дроби: <math>3{,}1415926535897...</math>

Значением десятичной дроби <math>\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_{-1} d_{-2} \ldots</math> является действительное число

<math>\pm \left (d_m \cdot 10^m + \ldots + d_1 \cdot 10^1 + d_0 \cdot 10^0 + d_{-1} \cdot 10^{-1} + d_{-2} \cdot 10^{-2} + \ldots \right ),</math>

равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид

<math>\pm d_m \ldots d_1 d_0,</math>

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Конечные дроби

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

<math>\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n</math>

В соответствии с определением эта дробь представляет число

<math>\pm \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot 10^{-k}</math>

Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида <math>p/10^{s}</math>, знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида <math>p/10^{s}</math>, где <math>p</math> — целое, а <math>s</math> — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь <math>p/10^{s}</math> привести к несократимому виду, её знаменатель будет иметь вид <math>2^{m} 5^{n}</math>. Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.

Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью <math>p/q</math> знаменатель <math>q</math> не имеет простых делителей, отличных от <math>2</math> и <math>5</math>.

Бесконечные дроби

Бесконечная десятичная дробь

<math>\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots</math>

представляет, согласно определению, действительное число

<math>\pm \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>

Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное <math>a_0</math> и десятичные цифры <math>a_1, a_2, \ldots</math>. Это предложение вытекает из того факта, что данный ряд мажорируется сходящимся рядом

<math>a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} 9 \cdot 10^{-k}</math>

Представление действительных чисел десятичными дробями

Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:

1. Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
2. Единственно ли такое представление?
3. Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?

Эти вопросы освещаются ниже.

Алгоритм разложения числа в десятичную дробь

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу <math>\alpha</math> десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай <math>\alpha \geqslant 0</math>. Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок <math>I_0</math>, который содержит точку <math>\alpha</math>; в частном случае, когда точка <math>\alpha</math> является концом двух соседних отрезков, в качестве <math>I_0</math> выберем правый отрезок.

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка <math>I_0</math>, через <math>a_0</math>, то можно записать:

<math>I_0 = [a_0 \, ; \, a_0 + 1]</math>

На следующем шаге разделим отрезок <math>I_0</math> на десять равных частей точками

<math>a_0 + b/10, \; b = 1, \ldots, 9</math>

и рассмотрим тот из отрезков длины <math>1/10</math>, на котором лежит точка <math>\alpha</math>; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Обозначим этот отрезок <math>I_1</math>. Он имеет вид:

<math>I_1 = \left [ a_0 + \frac{a_1}{10} \, ; \, a_0 + \frac{a_1 + 1}{10} \right ]</math>

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки <math>\alpha</math>.

На очередном шаге, имея отрезок <math>I_{n-1}</math>, содержащий точку <math>\alpha</math>, мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок <math>I_{n}</math>, на котором лежит точка <math>\alpha</math>; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков <math>I_0, I_1, \ldots</math> вида

<math>I_n = \left [ a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} \, ; \, a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} + \frac{1}{10^n} \right]</math>

где <math>a_0</math> — целое неотрицательное, а <math>a_1, a_2, \ldots</math> — целые числа, удовлетворяющие неравенству <math>0 \leqslant a_k \leqslant 9</math>.

Построенная последовательность отрезков <math>I_0, I_1, \ldots</math> обладает следующими свойствами:

• Отрезки последовательно вложены друг в друга: <math>I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \ldots</math>
• Длина отрезков <math>|I_n| = 10^{-n}, \; n = 0, 1, 2, \ldots</math>
• Точка <math>\alpha</math> принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что <math>I_0, I_1, \ldots</math> есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при <math>n \to \infty</math>, а точка <math>\alpha</math> есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке <math>\alpha</math> (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

<math>a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} \to \alpha</math> при <math>n\to \infty</math>

Это значит, что ряд

<math>\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>

сходится к числу <math>\alpha</math>, и таким образом, десятичная дробь

<math>a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots</math>

является представлением числа <math>\alpha</math>. Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа <math>\alpha</math> в десятичную дробь.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид

<math>a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots</math>

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка <math>\alpha</math> совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

<math>\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>

нулевые слагаемые, получим, что число <math>\alpha</math> также может быть представлено конечной десятичной дробью

<math>a_0{,} a_1 \ldots a_n</math>

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число <math>\alpha</math> может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного <math>\alpha</math>. В случае отрицательного <math>\alpha</math>, в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

О роли аксиомы Архимеда

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое <math>a_0</math>, такое, что действительное число <math>\alpha</math> находится между <math>a_0</math> и следующим целым <math>a_0 + 1</math>:

<math>a_0 \leqslant \alpha < a_0 + 1, \; a_0 \in \mathbb{Z}</math>

Однако существование такого целого числа <math>a_0</math> надо еще доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое <math>n</math>, всегда имеет место неравенство <math>n \leqslant \alpha</math>. Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа <math>a_0</math> не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число <math>\alpha</math>, всегда найдётся целое <math>n</math> такое, что <math>n > \alpha</math>. Теперь среди чисел <math>k= 1, \ldots, n</math> возьмём наименьшее, обладающее свойством <math>k > \alpha</math>. Тогда

<math>k - 1 \leqslant \alpha < k</math>

Искомое число найдено: <math>a_0 = k-1</math>.

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности <math>I_0, I_1, I_2, \ldots</math>:

<math>\lim_{n \to \infty} 10^{-n} = 0</math>

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

<math>\lim_{n \to \infty} 10^{n} = \infty</math>

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число <math>E >0</math>, последовательность натуральных чисел <math>1, 2, \ldots</math> превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого <math>n</math> имеет место неравенство

<math>10^n > n</math>

то последовательность <math>10^n</math> также превзойдёт <math>E</math>, начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что <math>\lim_{n \to \infty} 10^{n} = \infty</math>.

Неоднозначность представления в виде десятичной дроби

См. также: 0,(9)

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа <math>\alpha</math> построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число <math>\alpha</math> может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь

<math>0{,}99\ldots</math>

Согласно определению, эта дробь является представлением числа <math>0 + 9/10 + 9/100 + \ldots = 1</math>. Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби <math>1{,}00\ldots</math>.

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

<math>\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots</math>

и

<math>\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000</math>

где <math>a_n \neq 9</math>, представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученными приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей <math>+ 0{,}00 \ldots</math> и <math>- 0{,}00 \ldots</math>.

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число <math>\alpha</math>, не представимое в виде <math>p/10^s</math>, где <math>p</math> — целое, <math>s</math> — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида <math>\alpha = p/10^s</math> может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если <math>\alpha \neq 0</math>, то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на <math>999 \ldots</math>. Число <math>\alpha = 0</math> может быть представлено дробями вида <math>+0{,}00 \ldots</math>, а также дробями вида <math>-0{,}00 \ldots</math>.

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на <math>999\ldots</math>, получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Лишние нули и погрешность

Следует отметить, что, с точки зрения погрешности, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна плюс-минус половине единицы последнего написанного разряда. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна ±0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна ±0,0005. Другие примеры:

• «25» — абсолютная погрешность равна ±0,5 (также, такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
• «25,0» — абсолютная погрешность равна ±0,05;
• «25,00» — абсолютная погрешность равна ±0,005 .

Периодические десятичные дроби

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

<math>\pm a_0, a_1 \ldots a_m \underbrace{b_1 \ldots b_l} \underbrace{b_1 \ldots b_l} \ldots</math>

Такую дробь принято кратко записывать в виде

<math>\pm a_0, a_1 \ldots a_m ( b_1 \ldots b_l )</math>

Повторяющаяся группа цифр <math>b_1 \ldots b_l</math> называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь <math>1{,}(23) = 1{,}2323 \ldots</math> является чистой периодической, а дробь <math>0{,}1(23)=0{,}12323 \ldots</math> — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби <math>p/q</math> знаменатель <math>q</math> не имеет простых делителей <math>2</math> и <math>5</math>, а также рациональным числам <math>p/q</math>, у которых знаменатель <math>q</math> имеет только простые делители <math>2</math> и <math>5</math>. Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям <math>p/q</math>, знаменатель <math>q</math> которых имеет как простые делители <math>2</math> или <math>5</math>, так и отличные от них.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь <math>x=0{,}(1998)</math> с периодом 4. Заметим, что домножив её на <math>10^4 = 10000</math>, получим большую дробь <math>10000x=1998{,}(1998)</math> с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть, получаем: <math>10000x-1998=x \Rightarrow x=\frac{1998}{9999}=\frac{222}{1111}</math>

Произношение десятичных дробей

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т. д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т. д.).

Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.

Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи. Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.

Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять-сорок пять).

История

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.

Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше

В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

См. также

• Обыкновенная дробь
• Десятичная система счисления
• Десятичный разделитель

Ссылки

• [uztest.ru/abstracts/?idabstract=42 ЕГЭ математика. Периодическая дробь]
• [underlamp.com/?go=lessons/arifmetika2 Задачи по теме «обыкновенные и десятичные дроби»]
• Семёнова Л. [kvant.mccme.ru/pdf/2000/02/kv0200semenova.pdf Периодические дроби.]

Отрывок, характеризующий Десятичная дробь

Бесчисленное количество свободных сил (ибо нигде человек не бывает свободнее, как во время сражения, где дело идет о жизни и смерти) влияет на направление сражения, и это направление никогда не может быть известно вперед и никогда не совпадает с направлением какой нибудь одной силы.
Ежели многие, одновременно и разнообразно направленные силы действуют на какое нибудь тело, то направление движения этого тела не может совпадать ни с одной из сил; а будет всегда среднее, кратчайшее направление, то, что в механике выражается диагональю параллелограмма сил.
Ежели в описаниях историков, в особенности французских, мы находим, что у них войны и сражения исполняются по вперед определенному плану, то единственный вывод, который мы можем сделать из этого, состоит в том, что описания эти не верны.
Тарутинское сражение, очевидно, не достигло той цели, которую имел в виду Толь: по порядку ввести по диспозиции в дело войска, и той, которую мог иметь граф Орлов; взять в плен Мюрата, или цели истребления мгновенно всего корпуса, которую могли иметь Бенигсен и другие лица, или цели офицера, желавшего попасть в дело и отличиться, или казака, который хотел приобрести больше добычи, чем он приобрел, и т. д. Но, если целью было то, что действительно совершилось, и то, что для всех русских людей тогда было общим желанием (изгнание французов из России и истребление их армии), то будет совершенно ясно, что Тарутинское сражение, именно вследствие его несообразностей, было то самое, что было нужно в тот период кампании. Трудно и невозможно придумать какой нибудь исход этого сражения, более целесообразный, чем тот, который оно имело. При самом малом напряжении, при величайшей путанице и при самой ничтожной потере были приобретены самые большие результаты во всю кампанию, был сделан переход от отступления к наступлению, была обличена слабость французов и был дан тот толчок, которого только и ожидало наполеоновское войско для начатия бегства.


Наполеон вступает в Москву после блестящей победы de la Moskowa; сомнения в победе не может быть, так как поле сражения остается за французами. Русские отступают и отдают столицу. Москва, наполненная провиантом, оружием, снарядами и несметными богатствами, – в руках Наполеона. Русское войско, вдвое слабейшее французского, в продолжение месяца не делает ни одной попытки нападения. Положение Наполеона самое блестящее. Для того, чтобы двойными силами навалиться на остатки русской армии и истребить ее, для того, чтобы выговорить выгодный мир или, в случае отказа, сделать угрожающее движение на Петербург, для того, чтобы даже, в случае неудачи, вернуться в Смоленск или в Вильну, или остаться в Москве, – для того, одним словом, чтобы удержать то блестящее положение, в котором находилось в то время французское войско, казалось бы, не нужно особенной гениальности. Для этого нужно было сделать самое простое и легкое: не допустить войска до грабежа, заготовить зимние одежды, которых достало бы в Москве на всю армию, и правильно собрать находившийся в Москве более чем на полгода (по показанию французских историков) провиант всему войску. Наполеон, этот гениальнейший из гениев и имевший власть управлять армиею, как утверждают историки, ничего не сделал этого.
Он не только не сделал ничего этого, но, напротив, употребил свою власть на то, чтобы из всех представлявшихся ему путей деятельности выбрать то, что было глупее и пагубнее всего. Из всего, что мог сделать Наполеон: зимовать в Москве, идти на Петербург, идти на Нижний Новгород, идти назад, севернее или южнее, тем путем, которым пошел потом Кутузов, – ну что бы ни придумать, глупее и пагубнее того, что сделал Наполеон, то есть оставаться до октября в Москве, предоставляя войскам грабить город, потом, колеблясь, оставить или не оставить гарнизон, выйти из Москвы, подойти к Кутузову, не начать сражения, пойти вправо, дойти до Малого Ярославца, опять не испытав случайности пробиться, пойти не по той дороге, по которой пошел Кутузов, а пойти назад на Можайск и по разоренной Смоленской дороге, – глупее этого, пагубнее для войска ничего нельзя было придумать, как то и показали последствия. Пускай самые искусные стратегики придумают, представив себе, что цель Наполеона состояла в том, чтобы погубить свою армию, придумают другой ряд действий, который бы с такой же несомненностью и независимостью от всего того, что бы ни предприняли русские войска, погубил бы так совершенно всю французскую армию, как то, что сделал Наполеон.
Гениальный Наполеон сделал это. Но сказать, что Наполеон погубил свою армию потому, что он хотел этого, или потому, что он был очень глуп, было бы точно так же несправедливо, как сказать, что Наполеон довел свои войска до Москвы потому, что он хотел этого, и потому, что он был очень умен и гениален.
В том и другом случае личная деятельность его, не имевшая больше силы, чем личная деятельность каждого солдата, только совпадала с теми законами, по которым совершалось явление.
Совершенно ложно (только потому, что последствия не оправдали деятельности Наполеона) представляют нам историки силы Наполеона ослабевшими в Москве. Он, точно так же, как и прежде, как и после, в 13 м году, употреблял все свое уменье и силы на то, чтобы сделать наилучшее для себя и своей армии. Деятельность Наполеона за это время не менее изумительна, чем в Египте, в Италии, в Австрии и в Пруссии. Мы не знаем верно о том, в какой степени была действительна гениальность Наполеона в Египте, где сорок веков смотрели на его величие, потому что эти все великие подвиги описаны нам только французами. Мы не можем верно судить о его гениальности в Австрии и Пруссии, так как сведения о его деятельности там должны черпать из французских и немецких источников; а непостижимая сдача в плен корпусов без сражений и крепостей без осады должна склонять немцев к признанию гениальности как к единственному объяснению той войны, которая велась в Германии. Но нам признавать его гениальность, чтобы скрыть свой стыд, слава богу, нет причины. Мы заплатили за то, чтоб иметь право просто и прямо смотреть на дело, и мы не уступим этого права.
Деятельность его в Москве так же изумительна и гениальна, как и везде. Приказания за приказаниями и планы за планами исходят из него со времени его вступления в Москву и до выхода из нее. Отсутствие жителей и депутации и самый пожар Москвы не смущают его. Он не упускает из виду ни блага своей армии, ни действий неприятеля, ни блага народов России, ни управления долами Парижа, ни дипломатических соображений о предстоящих условиях мира.


В военном отношении, тотчас по вступлении в Москву, Наполеон строго приказывает генералу Себастиани следить за движениями русской армии, рассылает корпуса по разным дорогам и Мюрату приказывает найти Кутузова. Потом он старательно распоряжается об укреплении Кремля; потом делает гениальный план будущей кампании по всей карте России. В отношении дипломатическом, Наполеон призывает к себе ограбленного и оборванного капитана Яковлева, не знающего, как выбраться из Москвы, подробно излагает ему всю свою политику и свое великодушие и, написав письмо к императору Александру, в котором он считает своим долгом сообщить своему другу и брату, что Растопчин дурно распорядился в Москве, он отправляет Яковлева в Петербург. Изложив так же подробно свои виды и великодушие перед Тутолминым, он и этого старичка отправляет в Петербург для переговоров.
В отношении юридическом, тотчас же после пожаров, велено найти виновных и казнить их. И злодей Растопчин наказан тем, что велено сжечь его дома.
В отношении административном, Москве дарована конституция, учрежден муниципалитет и обнародовано следующее:
«Жители Москвы!
Несчастия ваши жестоки, но его величество император и король хочет прекратить течение оных. Страшные примеры вас научили, каким образом он наказывает непослушание и преступление. Строгие меры взяты, чтобы прекратить беспорядок и возвратить общую безопасность. Отеческая администрация, избранная из самих вас, составлять будет ваш муниципалитет или градское правление. Оное будет пещись об вас, об ваших нуждах, об вашей пользе. Члены оного отличаются красною лентою, которую будут носить через плечо, а градской голова будет иметь сверх оного белый пояс. Но, исключая время должности их, они будут иметь только красную ленту вокруг левой руки.
Городовая полиция учреждена по прежнему положению, а чрез ее деятельность уже лучший существует порядок. Правительство назначило двух генеральных комиссаров, или полицмейстеров, и двадцать комиссаров, или частных приставов, поставленных во всех частях города. Вы их узнаете по белой ленте, которую будут они носить вокруг левой руки. Некоторые церкви разного исповедания открыты, и в них беспрепятственно отправляется божественная служба. Ваши сограждане возвращаются ежедневно в свои жилища, и даны приказы, чтобы они в них находили помощь и покровительство, следуемые несчастию. Сии суть средства, которые правительство употребило, чтобы возвратить порядок и облегчить ваше положение; но, чтобы достигнуть до того, нужно, чтобы вы с ним соединили ваши старания, чтобы забыли, если можно, ваши несчастия, которые претерпели, предались надежде не столь жестокой судьбы, были уверены, что неизбежимая и постыдная смерть ожидает тех, кои дерзнут на ваши особы и оставшиеся ваши имущества, а напоследок и не сомневались, что оные будут сохранены, ибо такая есть воля величайшего и справедливейшего из всех монархов. Солдаты и жители, какой бы вы нации ни были! Восстановите публичное доверие, источник счастия государства, живите, как братья, дайте взаимно друг другу помощь и покровительство, соединитесь, чтоб опровергнуть намерения зломыслящих, повинуйтесь воинским и гражданским начальствам, и скоро ваши слезы течь перестанут».
В отношении продовольствия войска, Наполеон предписал всем войскам поочередно ходить в Москву a la maraude [мародерствовать] для заготовления себе провианта, так, чтобы таким образом армия была обеспечена на будущее время.
В отношении религиозном, Наполеон приказал ramener les popes [привести назад попов] и возобновить служение в церквах.
В торговом отношении и для продовольствия армии было развешено везде следующее:
Провозглашение
«Вы, спокойные московские жители, мастеровые и рабочие люди, которых несчастия удалили из города, и вы, рассеянные земледельцы, которых неосновательный страх еще задерживает в полях, слушайте! Тишина возвращается в сию столицу, и порядок в ней восстановляется. Ваши земляки выходят смело из своих убежищ, видя, что их уважают. Всякое насильствие, учиненное против их и их собственности, немедленно наказывается. Его величество император и король их покровительствует и между вами никого не почитает за своих неприятелей, кроме тех, кои ослушиваются его повелениям. Он хочет прекратить ваши несчастия и возвратить вас вашим дворам и вашим семействам. Соответствуйте ж его благотворительным намерениям и приходите к нам без всякой опасности. Жители! Возвращайтесь с доверием в ваши жилища: вы скоро найдете способы удовлетворить вашим нуждам! Ремесленники и трудолюбивые мастеровые! Приходите обратно к вашим рукодельям: домы, лавки, охранительные караулы вас ожидают, а за вашу работу получите должную вам плату! И вы, наконец, крестьяне, выходите из лесов, где от ужаса скрылись, возвращайтесь без страха в ваши избы, в точном уверении, что найдете защищение. Лабазы учреждены в городе, куда крестьяне могут привозить излишние свои запасы и земельные растения. Правительство приняло следующие меры, чтоб обеспечить им свободную продажу: 1) Считая от сего числа, крестьяне, земледельцы и живущие в окрестностях Москвы могут без всякой опасности привозить в город свои припасы, какого бы роду ни были, в двух назначенных лабазах, то есть на Моховую и в Охотный ряд. 2) Оные продовольствия будут покупаться у них по такой цене, на какую покупатель и продавец согласятся между собою; но если продавец не получит требуемую им справедливую цену, то волен будет повезти их обратно в свою деревню, в чем никто ему ни под каким видом препятствовать не может. 3) Каждое воскресенье и середа назначены еженедельно для больших торговых дней; почему достаточное число войск будет расставлено по вторникам и субботам на всех больших дорогах, в таком расстоянии от города, чтоб защищать те обозы. 4) Таковые ж меры будут взяты, чтоб на возвратном пути крестьянам с их повозками и лошадьми не последовало препятствия. 5) Немедленно средства употреблены будут для восстановления обыкновенных торгов. Жители города и деревень, и вы, работники и мастеровые, какой бы вы нации ни были! Вас взывают исполнять отеческие намерения его величества императора и короля и способствовать с ним к общему благополучию. Несите к его стопам почтение и доверие и не медлите соединиться с нами!»
В отношении поднятия духа войска и народа, беспрестанно делались смотры, раздавались награды. Император разъезжал верхом по улицам и утешал жителей; и, несмотря на всю озабоченность государственными делами, сам посетил учрежденные по его приказанию театры.
В отношении благотворительности, лучшей доблести венценосцев, Наполеон делал тоже все, что от него зависело. На богоугодных заведениях он велел надписать Maison de ma mere [Дом моей матери], соединяя этим актом нежное сыновнее чувство с величием добродетели монарха. Он посетил Воспитательный дом и, дав облобызать свои белые руки спасенным им сиротам, милостиво беседовал с Тутолминым. Потом, по красноречивому изложению Тьера, он велел раздать жалованье своим войскам русскими, сделанными им, фальшивыми деньгами. Relevant l'emploi de ces moyens par un acte digue de lui et de l'armee Francaise, il fit distribuer des secours aux incendies. Mais les vivres etant trop precieux pour etre donnes a des etrangers la plupart ennemis, Napoleon aima mieux leur fournir de l'argent afin qu'ils se fournissent au dehors, et il leur fit distribuer des roubles papiers. [Возвышая употребление этих мер действием, достойным его и французской армии, он приказал раздать пособия погоревшим. Но, так как съестные припасы были слишком дороги для того, чтобы давать их людям чужой земли и по большей части враждебно расположенным, Наполеон счел лучшим дать им денег, чтобы они добывали себе продовольствие на стороне; и он приказал оделять их бумажными рублями.]
В отношении дисциплины армии, беспрестанно выдавались приказы о строгих взысканиях за неисполнение долга службы и о прекращении грабежа.

Х
Но странное дело, все эти распоряжения, заботы и планы, бывшие вовсе не хуже других, издаваемых в подобных же случаях, не затрогивали сущности дела, а, как стрелки циферблата в часах, отделенного от механизма, вертелись произвольно и бесцельно, не захватывая колес.
В военном отношении, гениальный план кампании, про который Тьер говорит; que son genie n'avait jamais rien imagine de plus profond, de plus habile et de plus admirable [гений его никогда не изобретал ничего более глубокого, более искусного и более удивительного] и относительно которого Тьер, вступая в полемику с г м Феном, доказывает, что составление этого гениального плана должно быть отнесено не к 4 му, а к 15 му октября, план этот никогда не был и не мог быть исполнен, потому что ничего не имел близкого к действительности. Укрепление Кремля, для которого надо было срыть la Mosquee [мечеть] (так Наполеон назвал церковь Василия Блаженного), оказалось совершенно бесполезным. Подведение мин под Кремлем только содействовало исполнению желания императора при выходе из Москвы, чтобы Кремль был взорван, то есть чтобы был побит тот пол, о который убился ребенок. Преследование русской армии, которое так озабочивало Наполеона, представило неслыханное явление. Французские военачальники потеряли шестидесятитысячную русскую армию, и только, по словам Тьера, искусству и, кажется, тоже гениальности Мюрата удалось найти, как булавку, эту шестидесятитысячную русскую армию.
В дипломатическом отношении, все доводы Наполеона о своем великодушии и справедливости, и перед Тутолминым, и перед Яковлевым, озабоченным преимущественно приобретением шинели и повозки, оказались бесполезны: Александр не принял этих послов и не отвечал на их посольство.
В отношении юридическом, после казни мнимых поджигателей сгорела другая половина Москвы.
В отношении административном, учреждение муниципалитета не остановило грабежа и принесло только пользу некоторым лицам, участвовавшим в этом муниципалитете и, под предлогом соблюдения порядка, грабившим Москву или сохранявшим свое от грабежа.
В отношении религиозном, так легко устроенное в Египте дело посредством посещения мечети, здесь не принесло никаких результатов. Два или три священника, найденные в Москве, попробовали исполнить волю Наполеона, но одного из них по щекам прибил французский солдат во время службы, а про другого доносил следующее французский чиновник: «Le pretre, que j'avais decouvert et invite a recommencer a dire la messe, a nettoye et ferme l'eglise. Cette nuit on est venu de nouveau enfoncer les portes, casser les cadenas, dechirer les livres et commettre d'autres desordres». [«Священник, которого я нашел и пригласил начать служить обедню, вычистил и запер церковь. В ту же ночь пришли опять ломать двери и замки, рвать книги и производить другие беспорядки».]
В торговом отношении, на провозглашение трудолюбивым ремесленникам и всем крестьянам не последовало никакого ответа. Трудолюбивых ремесленников не было, а крестьяне ловили тех комиссаров, которые слишком далеко заезжали с этим провозглашением, и убивали их.