Десятичный логарифм

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа <math>b</math> есть решение уравнения <math>10^x=b.</math>

Десятичный логарифм числа <math>b</math> существует, если <math>b>0.</math> Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его <math>\lg\,b</math>. Примеры:

<math>\lg\,1=0;\, \lg\,10=1;\, \lg\,100=2</math>

<math>\lg\,1000000=6;\, \lg\,0{,}1=-1;\, \lg\,0{,}001=-3</math>

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: <math>\operatorname{log}, \operatorname{Log}, \operatorname{Log10}</math>, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны:

	Формула	Пример
Произведение	<math> \lg(x y) = \lg (x) + \lg (y)</math>	<math> \lg (10000) = \lg(100 \cdot 100) = \lg (100) + \lg (100) = 2 + 2 = 4</math>
Частное от деления	<math>\lg \!\left(\frac x y \right) = \lg (x) - \lg (y)</math>	<math> \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3</math>
Степень	<math>\lg(x^p) = p \lg (x)</math>	<math> \lg (10000000) = \lg (10^7) = 7 \lg (10) = 7</math>
Корень	<math>\lg \sqrt[p]{x} = \frac {\lg (x)} p</math>	<math> \lg \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\lg 1000 = \frac{3}{2} = 1{,}5 </math>

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

<math>\lg |x y| = \lg (|x|) + \lg (|y|),</math>

<math>\lg \!\left|\frac x y \right| = \lg (|x|) - \lg (|y|),</math>

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

<math> \lg(x_1 x_2 \dots x_n) = \lg (x_1) + \lg (x_2) + \dots + \lg (x_n)</math>

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел <math>x, y</math> с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел <math>x, y</math>.
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения <math>x \cdot y</math>.
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов:

<math>\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x; \quad \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x</math>

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

<math>\lg\,0{,}012=\lg\,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg\,1{,}2\approx-2+0{,}079181=-1{,}920819</math>

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

<math>\lg\,0{,}012\approx-2+0{,}079181=\bar{2}{,}079181</math>

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: <math>y = \lg\,x.</math> Она определена при всех <math>x>0.</math> Область значений: <math>E(y)=(-\infty; + \infty )</math>. График этой кривой часто называется логарифмикой.

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

<math>\frac {d} {dx} \lg\, x = \frac {\lg\, e} {x}</math>

Ось ординат <math>(x=0)</math> является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

<math>\lim_{x \to 0+0} \lg\, x = - \infty</math>

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа <math>x</math> (характеристику логарифма) <math>[\lg x]</math> легко определить.

• Если <math>x \geqslant 1</math>, то <math>[\lg x]</math> на 1 меньше числа цифр в целой части числа <math>x</math>. Например, сразу очевидно, что <math>\lg 345</math> находится в промежутке <math>(2,3)</math>.
• Если <math>0<x<1</math>, то ближайшее к <math>\lg x</math> целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в <math>x</math> перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, <math>\lg 0{,}0014</math> находится в интервале <math>(-3,-2)</math>.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на <math>n</math> разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на <math>n.</math> Например:

<math>\lg 8314{,}63 = \lg 8{,}31463 + 3</math>

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от <math>1</math> до <math>10</math>. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10ⁿ

Число	логарифм	характеристика	мантисса	запись
n	lg(n)	C = floor(lg(n) )	M = (lg(n) − характеристика)
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел одна и та же мантисса.^{[прояснить]}