Дзета-функция Римана

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
Запрос «Дзета-функция» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Для термина «Риман» см. также другие значения.

Дзета-функция Римана — функция <math>\displaystyle \zeta(s)</math> комплексного переменного <math>s = \sigma + i t</math>, при <math>\sigma > 1 </math> определяемая с помощью ряда Дирихле:

<math>\zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots,</math>

где <math>\displaystyle s \in \mathbb{C}</math>.

В заданной области <math>\sigma > 1 ~(\left\{ s\mid\operatorname{Re}\,s > 1\right\})</math> этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы.





Тождество Эйлера

В исходной области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

<math>\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}</math> ,

где произведение берётся по всем простым числам <math>\displaystyle p</math>.

</math>

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда <math> \quad \Re(s)>1 </math>, просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для <math>\zeta(s)</math>.

}}

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
    <math>2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}</math>, где <math>\displaystyle B_{2m}</math> — число Бернулли.

В частности, <math>\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},\ \ \zeta(3) = -\frac{\psi^{(2)}(1)}{2},\ \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\ \ \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},\ \ \zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450}</math> ,

где <math>\psi</math> - полигамма -функция;

  • Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное.[1]
  • При <math>\operatorname{Re}\,s> 1</math>
    • <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \mu(n)</math> — функция Мёбиуса
    • <math>\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\lambda(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \lambda(n)</math> — функция Лиувиля
    • <math>\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \tau(n)</math> — число делителей числа <math>\displaystyle n</math>
    • <math>\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{|\mu(n)|}{n^s}</math>
    • <math>\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \nu(n)</math> — число простых делителей числа <math>\displaystyle n</math>
    • <math>\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n^2)}{n^s}</math>
    • <math>\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\tau(n))^2}{n^s}</math>
  • <math>\displaystyle \zeta(s)</math> имеет в точке <math>\displaystyle s=1</math> простой полюс с вычетом, равным 1.
  • Дзета-функция при <math>\displaystyle s\ne 0, s\ne 1</math> удовлетворяет уравнению:
    <math>\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left( {\pi s \over 2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)</math>,
где <math>\displaystyle \Gamma(z)</math> — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.
  • Для функции
    <math>\xi(s)=\frac{1}{2}\pi^{-s/2}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)</math>,
введённой Риманом для исследования <math>\displaystyle \zeta(s)</math> и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
<math>\displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s)</math>.

Нули дзета-функции

Основная статья: Гипотеза Римана

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости <math>\operatorname{Re}\,s < 0</math>, функция <math>\zeta(s)</math> имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: <math>0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots</math>. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, <math>\zeta(s) \neq 0</math> при вещественных <math>s \in (0,1)</math>. Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали <math>\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2</math> и лежат в полосе <math>0 \leqslant \operatorname{Re}\,s \leqslant 1</math>, которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой <math>\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2</math>.

Обобщения

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.
которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

Аналогичные конструкции

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора.[2] Пусть <math>A</math> — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр <math>\mathrm{spec} A = \mathrm{diag} \{\lambda_1, \lambda_2, \dots \}</math>. Причём существует вещественное число <math>\alpha > 0</math> такое, что оператор <math>(I + A)^{- \alpha}</math> имеет след. Тогда дзета-функция <math>\zeta_A(s)</math> оператора <math>A</math> определяется для произвольного комплексного числа <math>s</math>, лежащего в полуплоскости <math>\mathrm{Re} s > \alpha</math>, может быть задана сходящимся рядом

<math>\zeta_A(s) = \sum_{\lambda_n \neq 0} \frac{1}{\lambda_n^s}</math>

Если заданная таким образом функция допускает продолжение аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки <math>s = 0</math>, то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора <math>A</math> в соответствии с формулой

<math>\det \,'A = e^{- \frac{d\zeta_A}{ds}(0)}.</math>

История

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

Напишите отзыв о статье "Дзета-функция Римана"

Ссылки

  • Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein. [mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Riemann Zeta Function] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

  • Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
  • Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.

Примечания

  1. ↑ В. В. Зудилин [www.mathnet.ru/rm389 Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках] // УМН. — 2001. — Т. 56, № 2(338). — С. 215–216.
  2. ↑ Тахтаджян, 2011, с. 348.

Отрывок, характеризующий Дзета-функция Римана


В середине лета, княжна Марья получила неожиданное письмо от князя Андрея из Швейцарии, в котором он сообщал ей странную и неожиданную новость. Князь Андрей объявлял о своей помолвке с Ростовой. Всё письмо его дышало любовной восторженностью к своей невесте и нежной дружбой и доверием к сестре. Он писал, что никогда не любил так, как любит теперь, и что теперь только понял и узнал жизнь; он просил сестру простить его за то, что в свой приезд в Лысые Горы он ничего не сказал ей об этом решении, хотя и говорил об этом с отцом. Он не сказал ей этого потому, что княжна Марья стала бы просить отца дать свое согласие, и не достигнув бы цели, раздражила бы отца, и на себе бы понесла всю тяжесть его неудовольствия. Впрочем, писал он, тогда еще дело не было так окончательно решено, как теперь. «Тогда отец назначил мне срок, год, и вот уже шесть месяцев, половина прошло из назначенного срока, и я остаюсь более, чем когда нибудь тверд в своем решении. Ежели бы доктора не задерживали меня здесь, на водах, я бы сам был в России, но теперь возвращение мое я должен отложить еще на три месяца. Ты знаешь меня и мои отношения с отцом. Мне ничего от него не нужно, я был и буду всегда независим, но сделать противное его воле, заслужить его гнев, когда может быть так недолго осталось ему быть с нами, разрушило бы наполовину мое счастие. Я пишу теперь ему письмо о том же и прошу тебя, выбрав добрую минуту, передать ему письмо и известить меня о том, как он смотрит на всё это и есть ли надежда на то, чтобы он согласился сократить срок на три месяца».
После долгих колебаний, сомнений и молитв, княжна Марья передала письмо отцу. На другой день старый князь сказал ей спокойно:
– Напиши брату, чтоб подождал, пока умру… Не долго – скоро развяжу…
Княжна хотела возразить что то, но отец не допустил ее, и стал всё более и более возвышать голос.
– Женись, женись, голубчик… Родство хорошее!… Умные люди, а? Богатые, а? Да. Хороша мачеха у Николушки будет! Напиши ты ему, что пускай женится хоть завтра. Мачеха Николушки будет – она, а я на Бурьенке женюсь!… Ха, ха, ха, и ему чтоб без мачехи не быть! Только одно, в моем доме больше баб не нужно; пускай женится, сам по себе живет. Может, и ты к нему переедешь? – обратился он к княжне Марье: – с Богом, по морозцу, по морозцу… по морозцу!…
После этой вспышки, князь не говорил больше ни разу об этом деле. Но сдержанная досада за малодушие сына выразилась в отношениях отца с дочерью. К прежним предлогам насмешек прибавился еще новый – разговор о мачехе и любезности к m lle Bourienne.
– Отчего же мне на ней не жениться? – говорил он дочери. – Славная княгиня будет! – И в последнее время, к недоуменью и удивлению своему, княжна Марья стала замечать, что отец ее действительно начинал больше и больше приближать к себе француженку. Княжна Марья написала князю Андрею о том, как отец принял его письмо; но утешала брата, подавая надежду примирить отца с этою мыслью.
Николушка и его воспитание, Andre и религия были утешениями и радостями княжны Марьи; но кроме того, так как каждому человеку нужны свои личные надежды, у княжны Марьи была в самой глубокой тайне ее души скрытая мечта и надежда, доставлявшая ей главное утешение в ее жизни. Утешительную эту мечту и надежду дали ей божьи люди – юродивые и странники, посещавшие ее тайно от князя. Чем больше жила княжна Марья, чем больше испытывала она жизнь и наблюдала ее, тем более удивляла ее близорукость людей, ищущих здесь на земле наслаждений и счастия; трудящихся, страдающих, борющихся и делающих зло друг другу, для достижения этого невозможного, призрачного и порочного счастия. «Князь Андрей любил жену, она умерла, ему мало этого, он хочет связать свое счастие с другой женщиной. Отец не хочет этого, потому что желает для Андрея более знатного и богатого супружества. И все они борются и страдают, и мучают, и портят свою душу, свою вечную душу, для достижения благ, которым срок есть мгновенье. Мало того, что мы сами знаем это, – Христос, сын Бога сошел на землю и сказал нам, что эта жизнь есть мгновенная жизнь, испытание, а мы всё держимся за нее и думаем в ней найти счастье. Как никто не понял этого? – думала княжна Марья. Никто кроме этих презренных божьих людей, которые с сумками за плечами приходят ко мне с заднего крыльца, боясь попасться на глаза князю, и не для того, чтобы не пострадать от него, а для того, чтобы его не ввести в грех. Оставить семью, родину, все заботы о мирских благах для того, чтобы не прилепляясь ни к чему, ходить в посконном рубище, под чужим именем с места на место, не делая вреда людям, и молясь за них, молясь и за тех, которые гонят, и за тех, которые покровительствуют: выше этой истины и жизни нет истины и жизни!»
Была одна странница, Федосьюшка, 50 ти летняя, маленькая, тихенькая, рябая женщина, ходившая уже более 30 ти лет босиком и в веригах. Ее особенно любила княжна Марья. Однажды, когда в темной комнате, при свете одной лампадки, Федосьюшка рассказывала о своей жизни, – княжне Марье вдруг с такой силой пришла мысль о том, что Федосьюшка одна нашла верный путь жизни, что она решилась сама пойти странствовать. Когда Федосьюшка пошла спать, княжна Марья долго думала над этим и наконец решила, что как ни странно это было – ей надо было итти странствовать. Она поверила свое намерение только одному духовнику монаху, отцу Акинфию, и духовник одобрил ее намерение. Под предлогом подарка странницам, княжна Марья припасла себе полное одеяние странницы: рубашку, лапти, кафтан и черный платок. Часто подходя к заветному комоду, княжна Марья останавливалась в нерешительности о том, не наступило ли уже время для приведения в исполнение ее намерения.
Часто слушая рассказы странниц, она возбуждалась их простыми, для них механическими, а для нее полными глубокого смысла речами, так что она была несколько раз готова бросить всё и бежать из дому. В воображении своем она уже видела себя с Федосьюшкой в грубом рубище, шагающей с палочкой и котомочкой по пыльной дороге, направляя свое странствие без зависти, без любви человеческой, без желаний от угодников к угодникам, и в конце концов, туда, где нет ни печали, ни воздыхания, а вечная радость и блаженство.
«Приду к одному месту, помолюсь; не успею привыкнуть, полюбить – пойду дальше. И буду итти до тех пор, пока ноги подкосятся, и лягу и умру где нибудь, и приду наконец в ту вечную, тихую пристань, где нет ни печали, ни воздыхания!…» думала княжна Марья.
Но потом, увидав отца и особенно маленького Коко, она ослабевала в своем намерении, потихоньку плакала и чувствовала, что она грешница: любила отца и племянника больше, чем Бога.



Библейское предание говорит, что отсутствие труда – праздность была условием блаженства первого человека до его падения. Любовь к праздности осталась та же и в падшем человеке, но проклятие всё тяготеет над человеком, и не только потому, что мы в поте лица должны снискивать хлеб свой, но потому, что по нравственным свойствам своим мы не можем быть праздны и спокойны. Тайный голос говорит, что мы должны быть виновны за то, что праздны. Ежели бы мог человек найти состояние, в котором он, будучи праздным, чувствовал бы себя полезным и исполняющим свой долг, он бы нашел одну сторону первобытного блаженства. И таким состоянием обязательной и безупречной праздности пользуется целое сословие – сословие военное. В этой то обязательной и безупречной праздности состояла и будет состоять главная привлекательность военной службы.
Николай Ростов испытывал вполне это блаженство, после 1807 года продолжая служить в Павлоградском полку, в котором он уже командовал эскадроном, принятым от Денисова.
Ростов сделался загрубелым, добрым малым, которого московские знакомые нашли бы несколько mauvais genre [дурного тона], но который был любим и уважаем товарищами, подчиненными и начальством и который был доволен своей жизнью. В последнее время, в 1809 году, он чаще в письмах из дому находил сетования матери на то, что дела расстраиваются хуже и хуже, и что пора бы ему приехать домой, обрадовать и успокоить стариков родителей.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Дзета-функция_Римана&oldid=78129876»