Дигамма-функция

В математике дига́мма-фу́нкция <math>{\textstyle{\psi(x)}}</math> определяется как логарифмическая производная гамма-функции:

<math>\psi(x) = \frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)} = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.</math>

Она является полигамма-функцией первого порядка, а полигамма-функции высших порядков (тригамма-функция и т.д.) получаются из неё дифференцированием.

Свойства

• Дигамма-функция связана с гармоническими числами соотношением

  <math>\displaystyle{\psi(n) = H_{n-1} - \gamma},</math>

где <math>{\textstyle{H_n}}</math> — n-е гармоническое число, а <math>{\textstyle{\gamma}}</math> — постоянная Эйлера — Маскерони.

• Формула дополнения

  <math> \displaystyle{\psi(1-x) - \psi(x) = \pi \cot(\pi x)} </math>

• Рекуррентное соотношение

  <math> \psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x} </math>

• Разложение в бесконечную сумму

  <math> \psi(x) = \ln(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}} </math>

где <math> \zeta(x) </math> — дзета-функция Римана.

• Логарифмическое разложение

  <math> \psi(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\ln(x+k) </math>

• Теорема Гаусса

  <math> \frac{\Gamma'(p/q)}{\Gamma(p/q)} = -\gamma - \ln(2q) - \frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{\pi p}{q}\right) + 2 \sum_{0<n<q/2}\cos\left(\frac{2\pi p n}{q}\right)\ln\left(\sin\left(\frac{\pi n}{q}\right)\right)</math>

при целых <math> p, q </math> с условием <math> 0 < p < q </math>.

• Для всех <math>z \neq -1, -2, -3, \ldots</math> справедливо разложения в ряд:

  <math>\psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)}.</math>

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html Digamma Function] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [functions.wolfram.com/GammaBetaErf/PolyGamma/ Свойства дигамма-функции] (англ.)

Отрывок, характеризующий Дигамма-функция

На Английской набережной светился бесчисленными огнями иллюминации известный дом вельможи. У освещенного подъезда с красным сукном стояла полиция, и не одни жандармы, но полицеймейстер на подъезде и десятки офицеров полиции. Экипажи отъезжали, и всё подъезжали новые с красными лакеями и с лакеями в перьях на шляпах. Из карет выходили мужчины в мундирах, звездах и лентах; дамы в атласе и горностаях осторожно сходили по шумно откладываемым подножкам, и торопливо и беззвучно проходили по сукну подъезда.
Почти всякий раз, как подъезжал новый экипаж, в толпе пробегал шопот и снимались шапки.
– Государь?… Нет, министр… принц… посланник… Разве не видишь перья?… – говорилось из толпы. Один из толпы, одетый лучше других, казалось, знал всех, и называл по имени знатнейших вельмож того времени.
Уже одна треть гостей приехала на этот бал, а у Ростовых, долженствующих быть на этом бале, еще шли торопливые приготовления одевания.
Много было толков и приготовлений для этого бала в семействе Ростовых, много страхов, что приглашение не будет получено, платье не будет готово, и не устроится всё так, как было нужно.
Вместе с Ростовыми ехала на бал Марья Игнатьевна Перонская, приятельница и родственница графини, худая и желтая фрейлина старого двора, руководящая провинциальных Ростовых в высшем петербургском свете.