Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается <math>D[X]</math> в русской литературе и <math>\operatorname{Var}(X)</math> (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение <math>\sigma_X^2</math> или <math>\displaystyle \sigma^2</math>.

Квадратный корень из дисперсии, равный <math>\displaystyle \sigma</math>, называется среднеквадрати́ческим отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что случайная величина отстоит от своего математического ожидания более чем на <math>k</math> стандартных отклонений, составляет менее <math>1/k^2</math>. В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев случайная величина, имеющая нормальное распределение, удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение

Пусть <math>X</math> — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

<math>D[X] = M\left[(X -M[X])^2\right] </math>

где символ <math>M</math> обозначает математическое ожидание.

Замечания

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Если случайная величина <math>X</math> дискретная, то

  <math>D[X] = \sum^{n}_{i=1} {p_i (x_i-M[X])^2}</math>

• Если случайная величина <math>X</math> непрерывна, то:

  <math>D[X] = \int^{\infty}_{-\infty} {f(x)(x-M[X])^2dx}</math>

• В силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

  <math>D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2</math>

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов <math>U(t)</math>:

  <math>D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2 = U(0) - \left(U'(0)\right)^2</math>

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
• Удобная формула для вычисления смещённой оценки дисперсии (англ. biased sample variance) случайной величины <math>X</math> по последовательности <math>X_1... X_n</math> — реализаций этой случайной величины:

  <math> {\bar S}^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum\limits_{i=1}^n X_i \right)}{n}^2}{n}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 -n{\bar X}^2}{n}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n\left (X_i^2 -{\bar X}^2\right ) }{n}</math>

  где <math>{\bar X}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n}</math> — смещённая оценка <math>M[X]</math>. - эта оценка мат. ожидания является несмещенной. Это указано на странице Несмещённая оценка.

  Для получения несмещённой оценки дисперсии (англ. unbiased sample variance) правую часть вышеуказанного равенства необходимо умножить на <math>\frac{n}{n - 1}</math>. Несмещённая оценка обозначается <math>\widetilde{S}^2</math>:

  <math> \widetilde{S}^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum\limits_{i=1}^n X_i\right)}{n}^2}{n - 1}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i^2 -n{\bar X}^2}{n-1}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n\left (X_i^2 -{\bar X}^2\right ) }{n-1}</math>

Свойства

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: <math>D[X] \geqslant 0;</math>
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <math>D[a] = 0.</math> Верно и обратное: если <math>D[X]=0,</math> то <math>X =M[X]</math> почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  <math>D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y)</math>, где <math>\text{cov}(X, Y)</math> — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  <math>D\left[\sum_{i=1}^n c_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n c_i^2 D[X_i] + 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} c_i c_j\, \text{cov}(X_i, X_j)</math>, где <math>c_i \in \R</math>;

• В частности, <math>D[X_1 + ... + X_n] = D[X_1] + ... + D[X_n]</math> для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
• <math>D\left[aX\right] = a^2D[X];</math>
• <math>D\left[-X\right] = D[X];</math>
• <math>D\left[X+b\right] = D[X].</math>

Пример

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Пусть случайная величина <math>\displaystyle X</math> имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на <math>\displaystyle [0,1],</math> то есть её плотность вероятности задана равенством

<math>

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end{matrix} \right.</math>

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

<math>M\left[X^2\right] = \int\limits_0^1\!x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},</math>

и математическое ожидание случайной величины

<math>M\left[X\right] = \int\limits_0^1\! x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.</math>

Тогда дисперсия случайной величины

<math>D[X] = M\left[X^2\right] - (M[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.</math>

См. также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение

Литература

• Гурский Д., Турбина Е. [books.google.ru/books?id=KB1MEZsPCwEC&pg=PA340#v=onepage&q&f=false Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель]. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259.
• Орлов А. И. [www.aup.ru/books/m155/2_11.htm Дисперсия случайной величины] // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.

Отрывок, характеризующий Дисперсия случайной величины

– А теперь я еду сейчас.
И князь Андрей, сделав распоряжение об отъезде, ушел в свою комнату.
– Знаете что, мой милый, – сказал Билибин, входя к нему в комнату. – Я подумал об вас. Зачем вы поедете?
И в доказательство неопровержимости этого довода складки все сбежали с лица.
Князь Андрей вопросительно посмотрел на своего собеседника и ничего не ответил.
– Зачем вы поедете? Я знаю, вы думаете, что ваш долг – скакать в армию теперь, когда армия в опасности. Я это понимаю, mon cher, c'est de l'heroisme. [мой дорогой, это героизм.]
– Нисколько, – сказал князь Андрей.
– Но вы un philoSophiee, [философ,] будьте же им вполне, посмотрите на вещи с другой стороны, и вы увидите, что ваш долг, напротив, беречь себя. Предоставьте это другим, которые ни на что более не годны… Вам не велено приезжать назад, и отсюда вас не отпустили; стало быть, вы можете остаться и ехать с нами, куда нас повлечет наша несчастная судьба. Говорят, едут в Ольмюц. А Ольмюц очень милый город. И мы с вами вместе спокойно поедем в моей коляске.
– Перестаньте шутить, Билибин, – сказал Болконский.
– Я говорю вам искренно и дружески. Рассудите. Куда и для чего вы поедете теперь, когда вы можете оставаться здесь? Вас ожидает одно из двух (он собрал кожу над левым виском): или не доедете до армии и мир будет заключен, или поражение и срам со всею кутузовскою армией.
И Билибин распустил кожу, чувствуя, что дилемма его неопровержима.
– Этого я не могу рассудить, – холодно сказал князь Андрей, а подумал: «еду для того, чтобы спасти армию».
– Mon cher, vous etes un heros, [Мой дорогой, вы – герой,] – сказал Билибин.


В ту же ночь, откланявшись военному министру, Болконский ехал в армию, сам не зная, где он найдет ее, и опасаясь по дороге к Кремсу быть перехваченным французами.
В Брюнне всё придворное население укладывалось, и уже отправлялись тяжести в Ольмюц. Около Эцельсдорфа князь Андрей выехал на дорогу, по которой с величайшею поспешностью и в величайшем беспорядке двигалась русская армия. Дорога была так запружена повозками, что невозможно было ехать в экипаже. Взяв у казачьего начальника лошадь и казака, князь Андрей, голодный и усталый, обгоняя обозы, ехал отыскивать главнокомандующего и свою повозку. Самые зловещие слухи о положении армии доходили до него дорогой, и вид беспорядочно бегущей армии подтверждал эти слухи.
«Cette armee russe que l'or de l'Angleterre a transportee, des extremites de l'univers, nous allons lui faire eprouver le meme sort (le sort de l'armee d'Ulm)», [«Эта русская армия, которую английское золото перенесло сюда с конца света, испытает ту же участь (участь ульмской армии)».] вспоминал он слова приказа Бонапарта своей армии перед началом кампании, и слова эти одинаково возбуждали в нем удивление к гениальному герою, чувство оскорбленной гордости и надежду славы. «А ежели ничего не остается, кроме как умереть? думал он. Что же, коли нужно! Я сделаю это не хуже других».
Князь Андрей с презрением смотрел на эти бесконечные, мешавшиеся команды, повозки, парки, артиллерию и опять повозки, повозки и повозки всех возможных видов, обгонявшие одна другую и в три, в четыре ряда запружавшие грязную дорогу. Со всех сторон, назади и впереди, покуда хватал слух, слышались звуки колес, громыхание кузовов, телег и лафетов, лошадиный топот, удары кнутом, крики понуканий, ругательства солдат, денщиков и офицеров. По краям дороги видны были беспрестанно то павшие ободранные и неободранные лошади, то сломанные повозки, у которых, дожидаясь чего то, сидели одинокие солдаты, то отделившиеся от команд солдаты, которые толпами направлялись в соседние деревни или тащили из деревень кур, баранов, сено или мешки, чем то наполненные.
На спусках и подъемах толпы делались гуще, и стоял непрерывный стон криков. Солдаты, утопая по колена в грязи, на руках подхватывали орудия и фуры; бились кнуты, скользили копыта, лопались постромки и надрывались криками груди. Офицеры, заведывавшие движением, то вперед, то назад проезжали между обозами. Голоса их были слабо слышны посреди общего гула, и по лицам их видно было, что они отчаивались в возможности остановить этот беспорядок. «Voila le cher [„Вот дорогое] православное воинство“, подумал Болконский, вспоминая слова Билибина.
Желая спросить у кого нибудь из этих людей, где главнокомандующий, он подъехал к обозу. Прямо против него ехал странный, в одну лошадь, экипаж, видимо, устроенный домашними солдатскими средствами, представлявший середину между телегой, кабриолетом и коляской. В экипаже правил солдат и сидела под кожаным верхом за фартуком женщина, вся обвязанная платками. Князь Андрей подъехал и уже обратился с вопросом к солдату, когда его внимание обратили отчаянные крики женщины, сидевшей в кибиточке. Офицер, заведывавший обозом, бил солдата, сидевшего кучером в этой колясочке, за то, что он хотел объехать других, и плеть попадала по фартуку экипажа. Женщина пронзительно кричала. Увидав князя Андрея, она высунулась из под фартука и, махая худыми руками, выскочившими из под коврового платка, кричала:
– Адъютант! Господин адъютант!… Ради Бога… защитите… Что ж это будет?… Я лекарская жена 7 го егерского… не пускают; мы отстали, своих потеряли…
– В лепешку расшибу, заворачивай! – кричал озлобленный офицер на солдата, – заворачивай назад со шлюхой своею.
– Господин адъютант, защитите. Что ж это? – кричала лекарша.
– Извольте пропустить эту повозку. Разве вы не видите, что это женщина? – сказал князь Андрей, подъезжая к офицеру.
Офицер взглянул на него и, не отвечая, поворотился опять к солдату: – Я те объеду… Назад!…
– Пропустите, я вам говорю, – опять повторил, поджимая губы, князь Андрей.
– А ты кто такой? – вдруг с пьяным бешенством обратился к нему офицер. – Ты кто такой? Ты (он особенно упирал на ты ) начальник, что ль? Здесь я начальник, а не ты. Ты, назад, – повторил он, – в лепешку расшибу.