Дифференциальное тождество Бьянки

Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:

<math>(1) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} + \nabla_j R^s_{\;rki} + \nabla_k R^s_{\;rij} = 0</math>

которое называется дифференциальным тождеством Бьянки или вторым тождеством Бьянки.

Доказательство с использованием специальной системы координат

Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку <math>P</math> и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка <math>P</math> произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всем многообразии.

В точке <math>P</math> мы можем выбрать такую специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в точке <math>P</math>. Тогда для ковариантных производных в точке <math>P</math> имеем:

<math>(2) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} = \partial_i R^s_{\;rjk}</math>

Поскольку

<math>(3) \qquad R^s_{\;rjk} = \partial_j \Gamma^s_{kr} - \partial_k \Gamma^s_{jr} + \Gamma^s_{jp} \Gamma^p_{kr} - \Gamma^s_{kp} \Gamma^p_{jr}</math>

то в точке <math>P</math> имеем:

<math>(4) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} = \partial_i \partial_j \Gamma^s_{kr} - \partial_i \partial_k \Gamma^s_{jr}</math>

Циклически переставляя в (4) индексы <math>ijk</math> получим еще две равенства:

<math>(5) \qquad \nabla_j R^s_{\;rki} = \partial_j \partial_k \Gamma^s_{ir} - \partial_j \partial_i \Gamma^s_{kr}</math>

<math>(6) \qquad \nabla_k R^s_{\;rij} = \partial_k \partial_i \Gamma^s_{jr} - \partial_k \partial_j \Gamma^s_{ir}</math>

Легко видеть, что при добавлении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения будет выражение (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются и мы получим ноль.

См. также

• Алгебраическое тождество Бьянки

Отрывок, характеризующий Дифференциальное тождество Бьянки

– Dieu, quelle virulente sortie [О! какое жестокое нападение!] – отвечал, нисколько не смутясь такою встречей, вошедший князь, в придворном, шитом мундире, в чулках, башмаках, при звездах, с светлым выражением плоского лица. Он говорил на том изысканном французском языке, на котором не только говорили, но и думали наши деды, и с теми тихими, покровительственными интонациями, которые свойственны состаревшемуся в свете и при дворе значительному человеку. Он подошел к Анне Павловне, поцеловал ее руку, подставив ей свою надушенную и сияющую лысину, и покойно уселся на диване.
– Avant tout dites moi, comment vous allez, chere amie? [Прежде всего скажите, как ваше здоровье?] Успокойте друга, – сказал он, не изменяя голоса и тоном, в котором из за приличия и участия просвечивало равнодушие и даже насмешка.
– Как можно быть здоровой… когда нравственно страдаешь? Разве можно оставаться спокойною в наше время, когда есть у человека чувство? – сказала Анна Павловна. – Вы весь вечер у меня, надеюсь?
– А праздник английского посланника? Нынче середа. Мне надо показаться там, – сказал князь. – Дочь заедет за мной и повезет меня.
– Я думала, что нынешний праздник отменен. Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d'artifice commencent a devenir insipides. [Признаюсь, все эти праздники и фейерверки становятся несносны.]
– Ежели бы знали, что вы этого хотите, праздник бы отменили, – сказал князь, по привычке, как заведенные часы, говоря вещи, которым он и не хотел, чтобы верили.