Дифференциальное уравнение

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. 10[[Категория:Википедия:Нет источников с ]]К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Терминология и классификация

Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.

Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения. Так, например, уравнение <math>(y)^4+y'+y^6+x^7</math> является уравнением второго порядка, четвёртой степени.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные <math>y'(x), y(x), ..., y^{(n)}(x)</math> до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана С. В. Ковалевской (1874).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т. д.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

История

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном(1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришёл к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли ещё раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

<math>F\left(x,y,y',y,...,y^{(n)}\right)=0</math> или <math>F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},...,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0,</math>

где <math>y=y(x)</math> — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной <math>x,</math> штрих означает дифференцирование по <math>x.</math> Число <math>n</math> называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

<math>\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\qquad(1),</math>

где функции <math>P(t,x)</math> и <math>Q(t,x)</math> определены и непрерывны в некоторой области <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^2_{t,x}</math>.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

<math>F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0,</math>

где <math>x_1, x_2,\dots, x_m</math> — независимые переменные, а <math>z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m)</math> — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

<math>p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x),</math>

где p_i(x) — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r(x) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции). Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора <math> \frac{d^2y}{dx^2} + \omega^2 y = 0 </math> может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника <math> \frac{d^2y}{dx^2} + \omega^2\sin y = 0 </math> для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y.

Примеры

• <math>y+9y=0</math> — однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций <math>y = (C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x)</math>, где <math>C_1</math> и <math>C_2</math> — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.
• Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения <math>m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t),</math> где m — масса тела, x — его координата, F(x, t) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
• Дифференциальное уравнение Бесселя — обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: <math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0.</math> Его решениями являются функции Бесселя.
• Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка: <math> \frac{du}{dx} = u^2 + 1. </math>

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y.

• Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

<math> \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. </math>

• Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если <math>u=u(x,t)</math> — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, а параметр a задаёт свойства струны:

<math>\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.</math>

• Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:

<math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. </math>

• Уравнение Кортевега — де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны:

<math> \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. </math>

Важнейшие дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Уравнения в полных дифференциалах
• Второй закон Ньютона (классическая механика)
• Закон радиоактивного распада (ядерная физика)
• Уравнение Ван дер Поля (теория колебаний)

Уравнения в частных производных

• Уравнение Эйлера — Лагранжа (классическая лагранжева механика)
• Уравнения Гамильтона (классическая гамильтонова механика)
• Волновое уравнение
• Уравнения Максвелла (электромагнетизм)
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Пуассона
• Уравнение Эйнштейна (общая теория относительности)
• Уравнение Шредингера (квантовая механика)
• Уравнение диффузии
• Уравнение теплопроводности (термодинамика)
• Уравнение Кортевега-де Вриза (уединённые волны)
• Уравнения Навье-Стокса (течения вязкой жидкости)
• Уравнение Эйлера (невязкие течения газовых сред)
• Уравнение Линя-Рейсснера-Цяня (трансзвуковые нестационарные течения)
• Уравнения Лямэ (теория упругости)

См. также

• Общее решение дифференциального уравнения
• Частное решение дифференциального уравнения
• Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
• Особое решение
• Задача Коши
• Однородное дифференциальное уравнение
• Неоднородное дифференциальное уравнение
• Линейное дифференциальное уравнение
• Дифференциальное уравнение Бернулли
• Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро
• Уравнение Риккати
• Дифференциальное уравнение в частных производных
• Квазидифференциальное уравнение
• Дробно-дифференциальное уравнение
• Интегро-дифференциальные уравнения

Литература

Энциклопедии и справочники

• Дифференциальные уравнения // Дебитор — Евкалипт. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 8).</span>
• [mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s01/e0001629/index.shtml Дифференциальные уравнения] : [[www.webcitation.org/6TymQFPmh арх.] 10 ноября 2014] / И. П. Макаров // Математическая энциклопедия : в 5 т. / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М. : Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д’Аламбера оператор — Кооперативная игра. — 552 с. — 1104 стб.</span>
• Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
• Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
• Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
• Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
• Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
• Полянин А. Д., Зайцев В. Ф.. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002 .

Учебники

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
• Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
• Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005.
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
• Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Физматлит, 2005.
• Филиппов А. Ф. [urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=47764&list=6 Введение в теорию дифференциальных уравнений]. — Изд. 2-е. — 2007. — 240 с. — ISBN 5354004160.
• Чарльз Генри Эдвардс , Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7.
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.

Ссылки

• Сайт под редакцией А. Д. Полянина [eqworld.ipmnet.ru/ru «Мир математических уравнений» — EqWorld]
• [dmoz.org/World/Russian/Наука/Математика/Дифференциальные_уравнения/ Русскоязычные ресурсы по дифференциальным уравнениям] в Открытом Каталоге.
• [bsuir-helper.ru/predmet/vysshaya-matematika/other/primery-resheniya-differentsialnykh-uravnenii Примеры решения дифференциальных уравнений]