Дифференциал (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал.

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Стоит заметить, что понятие дифференциала из математического анализа содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать в разные стороны, в зависимости от направления получая важные, но совершенно различные объекты. Элементарное отображение касательных пространств зашито в дифференциале отображения, возможность интегрирования — в дифференциальных формах, дифференциалы более высокого порядка — в тензорных расслоениях и струях, общее понятие интегрирования — в теории меры, понятие бесконечной малости лучше всего описывает нестандартный анализ, формальные алгебраические свойства рассматриваются в алгебраической геометрии, функциональный анализ обобщает дифференциал в форме, не вполне очевидно связанной с конструкциями из дифференциальной геометрии, а дифференциал Ито показывает его применение к случайным процессам.

Содержание

1 Обозначения
2 Использование знака дифференциала
3 Определения
- 3.1 Для функций
- 3.2 Для отображений
4 Связанные определения
5 Свойства
6 История
7 Вариации и обобщения
8 Литература

Обозначения

Обычно дифференциал функции <math>f</math> обозначается <math>df</math>. Некоторые авторы предпочитают обозначать <math>{\rm d}f</math> шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке <math>x_0</math> обозначается <math>d_{x_0}f</math>, а иногда <math>df_{x_0}</math> или <math>df[x_0]</math>, а также <math>df</math>, если значение <math>x_0</math> ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке <math>x_0</math> от <math>h</math> может обозначаться как <math>d_{x_0}f(h)</math>, а иногда <math>df_{x_0}(h)</math> или <math>df[x_0](h)</math>, а также <math>df(h)</math>, если значение <math>x_0</math> ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

Знак дифференциала используется в выражении для интеграла <math>\int f(x)\, dx</math>. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал <math>dx</math> вводится как часть определения интеграла.
Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной <math>f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)</math>. Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции <math>f</math> и тождественной функции <math>x</math> верно соотношение
<math>d_{x_0}f=f'(x_0){\cdot} d_{x_0}x.</math>

Определения

Для функций

Дифференциал функции <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> в точке <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> может быть определён как линейная функция

где <math>f'(x_0)</math> обозначает производную <math>f</math> в точке <math>x_0</math>, а <math>h</math> — приращение аргумента при переходе от <math>x_0</math> к <math>x_0 + h</math>.

Таким образом <math>df</math> есть функция двух аргументов <math>df\colon (x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h)</math>.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция <math>d_{x_0}f(h)</math>, линейно зависящая от <math>h</math>, и для которой верно следующее соотношение

Для отображений

Дифференциалом отображения <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> в точке <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math> называют линейный оператор <math>d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> такой, что выполняется условие

Связанные определения

Отображение <math>f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> называется дифференцируемым в точке <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math> если определён дифференциал <math>d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math>.

Свойства

Матрица линейного оператора <math>d_{x_0}f</math> равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные <math>f</math>.
- Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
Дифференциал функции <math>f</math> связан с её градиентом <math>\nabla f</math> следующим определяющим соотношением
<math>d_{x_0}f(h)=\langle(\nabla f)(x_0),h\rangle</math>

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально <math>dx</math> применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Напишите отзыв о статье "Дифференциал (математика)"

Литература

Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

Отрывок, характеризующий Дифференциал (математика)

Она смотрела туда, куда ушел он, на ту сторону жизни. И та сторона жизни, о которой она прежде никогда не думала, которая прежде ей казалась такою далекою, невероятною, теперь была ей ближе и роднее, понятнее, чем эта сторона жизни, в которой все было или пустота и разрушение, или страдание и оскорбление.
Она смотрела туда, где она знала, что был он; но она не могла его видеть иначе, как таким, каким он был здесь. Она видела его опять таким же, каким он был в Мытищах, у Троицы, в Ярославле.
Она видела его лицо, слышала его голос и повторяла его слова и свои слова, сказанные ему, и иногда придумывала за себя и за него новые слова, которые тогда могли бы быть сказаны.
Вот он лежит на кресле в своей бархатной шубке, облокотив голову на худую, бледную руку. Грудь его страшно низка и плечи подняты. Губы твердо сжаты, глаза блестят, и на бледном лбу вспрыгивает и исчезает морщина. Одна нога его чуть заметно быстро дрожит. Наташа знает, что он борется с мучительной болью. «Что такое эта боль? Зачем боль? Что он чувствует? Как у него болит!» – думает Наташа. Он заметил ее вниманье, поднял глаза и, не улыбаясь, стал говорить.
«Одно ужасно, – сказал он, – это связать себя навеки с страдающим человеком. Это вечное мученье». И он испытующим взглядом – Наташа видела теперь этот взгляд – посмотрел на нее. Наташа, как и всегда, ответила тогда прежде, чем успела подумать о том, что она отвечает; она сказала: «Это не может так продолжаться, этого не будет, вы будете здоровы – совсем».
Она теперь сначала видела его и переживала теперь все то, что она чувствовала тогда. Она вспомнила продолжительный, грустный, строгий взгляд его при этих словах и поняла значение упрека и отчаяния этого продолжительного взгляда.
«Я согласилась, – говорила себе теперь Наташа, – что было бы ужасно, если б он остался всегда страдающим. Я сказала это тогда так только потому, что для него это было бы ужасно, а он понял это иначе. Он подумал, что это для меня ужасно бы было. Он тогда еще хотел жить – боялся смерти. И я так грубо, глупо сказала ему. Я не думала этого. Я думала совсем другое. Если бы я сказала то, что думала, я бы сказала: пускай бы он умирал, все время умирал бы перед моими глазами, я была бы счастлива в сравнении с тем, что я теперь. Теперь… Ничего, никого нет. Знал ли он это? Нет. Не знал и никогда не узнает. И теперь никогда, никогда уже нельзя поправить этого». И опять он говорил ей те же слова, но теперь в воображении своем Наташа отвечала ему иначе. Она останавливала его и говорила: «Ужасно для вас, но не для меня. Вы знайте, что мне без вас нет ничего в жизни, и страдать с вами для меня лучшее счастие». И он брал ее руку и жал ее так, как он жал ее в тот страшный вечер, за четыре дня перед смертью. И в воображении своем она говорила ему еще другие нежные, любовные речи, которые она могла бы сказать тогда, которые она говорила теперь. «Я люблю тебя… тебя… люблю, люблю…» – говорила она, судорожно сжимая руки, стискивая зубы с ожесточенным усилием.
И сладкое горе охватывало ее, и слезы уже выступали в глаза, но вдруг она спрашивала себя: кому она говорит это? Где он и кто он теперь? И опять все застилалось сухим, жестким недоумением, и опять, напряженно сдвинув брови, она вглядывалась туда, где он был. И вот, вот, ей казалось, она проникает тайну… Но в ту минуту, как уж ей открывалось, казалось, непонятное, громкий стук ручки замка двери болезненно поразил ее слух. Быстро и неосторожно, с испуганным, незанятым ею выражением лица, в комнату вошла горничная Дуняша.
– Пожалуйте к папаше, скорее, – сказала Дуняша с особенным и оживленным выражением. – Несчастье, о Петре Ильиче… письмо, – всхлипнув, проговорила она.

Кроме общего чувства отчуждения от всех людей, Наташа в это время испытывала особенное чувство отчуждения от лиц своей семьи. Все свои: отец, мать, Соня, были ей так близки, привычны, так будничны, что все их слова, чувства казались ей оскорблением того мира, в котором она жила последнее время, и она не только была равнодушна, но враждебно смотрела на них. Она слышала слова Дуняши о Петре Ильиче, о несчастии, но не поняла их.