Длина кривой

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) — числовая характеристика протяжённости этой кривой[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).





Определение

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Для наглядности рассмотрим трёхмерное пространство. Пусть непрерывная кривая <math>\gamma</math> задана параметрически:

1

где <math>a \leqslant t \leqslant b</math>. Рассмотрим всевозможные разбиения интервала значений параметра <math>[a,b]</math> на <math>m</math> отрезков: <math>a=t_0<t_1<\dots<t_m=b</math>. Соединив точки кривой <math>\gamma(t_0), \dots, \gamma(t_m)</math> отрезками прямых, мы получим ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных.

Связанные определения

  • Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. (Снежинка Коха — классический пример неспрямляемой кривой.)
  • Параметризация кривой длиной дуги называется естественной.
  • Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

Свойства

{{{1}}}
\,dt</math>,

где : <math>g_{ij}</math> — метрический тензор. Пример: кривая на поверхности в <math>\mathbb{R}^3</math>.

Общее метрическое пространство

В более общем случае произвольного метрического пространства <math>(X,\rho)</math> длиной <math>S</math> кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой <math>\gamma:[a,b]\to X</math> определяется согласно формуле:

<math>s=\sup \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k)),</math>

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям <math>a=x_0<x_1<\dots<x_m=b</math> отрезка <math>[a,b]</math>.

См. также

Напишите отзыв о статье "Длина кривой"

Литература

  • Мерзон Г.А., Ященко И.В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
  • Корн Г., Корн Т. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu Справочник по математике (для научных работников и инженеров)]. — М.: Наука, 1973.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.

Примечания

  1. Длина // [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu Математическая энциклопедия (в 5 томах)]. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.