Двойственность Понтрягина

Двойственная группа по Понтрягину

Пусть G — локально компактная абелева топологическая группа. В таком случае группа характеров G (гомоморфизмов из G в U(1)) тоже будет локально-компактной и называется двойственной группой по Понтрягину (G^).

Согласно теореме Понтрягина о двойственности, группа G^^ канонически изоморфна G, это оправдывает использование термина двойственность. Слово «канонически» означает, что существует естественное отображение из G в G^^, в частности, оно является функториальным. Это отображение определяется следующим образом:

<math> x \mapsto \{\chi \mapsto \chi(x) \}.</math>

Другими словами, элементу x группы G сопоставляется отображение из G^ в U(1), то есть элемент G^^.

Мотивировка

Двойственность Понтрягина единообразно описывает целый ряд известных наблюдений, связанных с функциями на вещественной оси или на конечной абелевой группе:

• комплекснозначные достаточно гладкие периодические функции на вещественной оси имеют разложение в ряд Фурье и могут быть восстановлены по этому разложению
• комплекснозначные достаточно гладкие и удовлетворяющие некоторым условиям убывания функции на вещественной прямой имеют образ Фурье (это функция, определённая также на всей вещественной прямой) и могут быть по нему восстановлены
• комплекснозначные функции на конечной абелевой группе также имеют дискретное преобразование Фурье, которое является функцией на двойственной группе (двойственная группа изоморфна исходной, но не каноническим образом). Опять же, функция может быть восстановлена по её образу.
• хорошо известен частный случай предыдущего пункта, когда функция и её образ рассматриваются на кольце остатков Z_p. Этот случай обычно и подразумевается, когда говорят о дискретном преобразовании Фурье.

Теория двойственности Понтрягина существенно опирается на теорию двойственных групп к локально компактным абелевым группам. Эта двойственность во многом напоминает связь между конечномерным векторным пространством V и сопряжённым пространством V*. Между ними не существует канонического изоморфизма, однако алгебры их линейных преобразований (алгебры матриц) канонически изоморфны (изоморфизм — транспонирование матрицы). Аналогично, между группой G и двойственной к ней G^ в общем случае нет изоморфизма, однако их групповые алгебры изоморфны, и связывающий их канонический изоморфизм и есть преобразование Фурье.

Примеры

Приведём примеры локально компактных абелевых групп:

• Rⁿ, рассматриваемое как группа по сложению.
• R₊, множество положительных вещественных чисел, рассматриваемых как группа по умножению. Изоморфна R.
• Любая конечная абелева группа с дискретной топологией. Любая подобная группа может быть представлена как произведение циклических.
• Множество целых чисел Z, рассматриваемое как группа по сложению.
• Поле Z_p p-адических чисел, как группа относительно сложения со стандартной p-адической топологией.

Группа U(1) и группа целых чисел двойственны друг другу, а (аддитивные) группы действительных и комплексных чисел двойственны сами себе. Самодвойственны также все конечные абелевы группы, в частности, конечные циклические группы.

Мера Хаара

Одно из самых важных свойств локально компактных групп состоит в том, что на них имеется единственная (с точностью до глобальной константы) естественная мера, называемая мерой Хаара. При помощи этой меры можно определить «размер» борелевских подмножеств группы. Борелевские подмножества — это элементы σ-алгебры, порождённой замкнутыми подмножествами G.

Более точно, имеется единственная (с точностью до константы) правая мера Хаара, обладающая правой инвариантностью μ(Ax) = μ(A). Здесь x — элемент группы, а А — борелевское подмножество G.

Введенная на G мера Хаара позволяет ввести понятие интеграла от комплекснозначных борелевских функций, определённых на группе. В частности, можно рассматривать пространства L^p, определённые следующим образом:

<math> L^p_\mu(G) = \left\{f: G \rightarrow \mathbf{C}\;\left|\; \int_G |f(x)|^p\, d \mu(x) < \infty \right.\right\}. </math>

Поскольку с точностью до константы мера Хаара единственна, введённые пространства не зависят от выбора конкретной меры, то есть зависят только от самой группы G, поэтому логично обозначить их L^p(G). С другой стороны, норма на этих пространствах зависит от выбора меры.

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Двойственность Понтрягина

Седьмые – были лица, которые всегда есть, в особенности при молодых государях, и которых особенно много было при императоре Александре, – лица генералов и флигель адъютантов, страстно преданные государю не как императору, но как человека обожающие его искренно и бескорыстно, как его обожал Ростов в 1805 м году, и видящие в нем не только все добродетели, но и все качества человеческие. Эти лица хотя и восхищались скромностью государя, отказывавшегося от командования войсками, но осуждали эту излишнюю скромность и желали только одного и настаивали на том, чтобы обожаемый государь, оставив излишнее недоверие к себе, объявил открыто, что он становится во главе войска, составил бы при себе штаб квартиру главнокомандующего и, советуясь, где нужно, с опытными теоретиками и практиками, сам бы вел свои войска, которых одно это довело бы до высшего состояния воодушевления.
Восьмая, самая большая группа людей, которая по своему огромному количеству относилась к другим, как 99 к 1 му, состояла из людей, не желавших ни мира, ни войны, ни наступательных движений, ни оборонительного лагеря ни при Дриссе, ни где бы то ни было, ни Барклая, ни государя, ни Пфуля, ни Бенигсена, но желающих только одного, и самого существенного: наибольших для себя выгод и удовольствий. В той мутной воде перекрещивающихся и перепутывающихся интриг, которые кишели при главной квартире государя, в весьма многом можно было успеть в таком, что немыслимо бы было в другое время. Один, не желая только потерять своего выгодного положения, нынче соглашался с Пфулем, завтра с противником его, послезавтра утверждал, что не имеет никакого мнения об известном предмете, только для того, чтобы избежать ответственности и угодить государю. Другой, желающий приобрести выгоды, обращал на себя внимание государя, громко крича то самое, на что намекнул государь накануне, спорил и кричал в совете, ударяя себя в грудь и вызывая несоглашающихся на дуэль и тем показывая, что он готов быть жертвою общей пользы. Третий просто выпрашивал себе, между двух советов и в отсутствие врагов, единовременное пособие за свою верную службу, зная, что теперь некогда будет отказать ему. Четвертый нечаянно все попадался на глаза государю, отягченный работой. Пятый, для того чтобы достигнуть давно желанной цели – обеда у государя, ожесточенно доказывал правоту или неправоту вновь выступившего мнения и для этого приводил более или менее сильные и справедливые доказательства.
Все люди этой партии ловили рубли, кресты, чины и в этом ловлении следили только за направлением флюгера царской милости, и только что замечали, что флюгер обратился в одну сторону, как все это трутневое население армии начинало дуть в ту же сторону, так что государю тем труднее было повернуть его в другую. Среди неопределенности положения, при угрожающей, серьезной опасности, придававшей всему особенно тревожный характер, среди этого вихря интриг, самолюбий, столкновений различных воззрений и чувств, при разноплеменности всех этих лиц, эта восьмая, самая большая партия людей, нанятых личными интересами, придавала большую запутанность и смутность общему делу. Какой бы ни поднимался вопрос, а уж рой этих трутней, не оттрубив еще над прежней темой, перелетал на новую и своим жужжанием заглушал и затемнял искренние, спорящие голоса.
Из всех этих партий, в то самое время, как князь Андрей приехал к армии, собралась еще одна, девятая партия, начинавшая поднимать свой голос. Это была партия людей старых, разумных, государственно опытных и умевших, не разделяя ни одного из противоречащих мнений, отвлеченно посмотреть на все, что делалось при штабе главной квартиры, и обдумать средства к выходу из этой неопределенности, нерешительности, запутанности и слабости.
Люди этой партии говорили и думали, что все дурное происходит преимущественно от присутствия государя с военным двором при армии; что в армию перенесена та неопределенная, условная и колеблющаяся шаткость отношений, которая удобна при дворе, но вредна в армии; что государю нужно царствовать, а не управлять войском; что единственный выход из этого положения есть отъезд государя с его двором из армии; что одно присутствие государя парализует пятьдесят тысяч войска, нужных для обеспечения его личной безопасности; что самый плохой, но независимый главнокомандующий будет лучше самого лучшего, но связанного присутствием и властью государя.
В то самое время как князь Андрей жил без дела при Дриссе, Шишков, государственный секретарь, бывший одним из главных представителей этой партии, написал государю письмо, которое согласились подписать Балашев и Аракчеев. В письме этом, пользуясь данным ему от государя позволением рассуждать об общем ходе дел, он почтительно и под предлогом необходимости для государя воодушевить к войне народ в столице, предлагал государю оставить войско.