Двойственная кривая

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Дуальная кривая»)
Перейти к: навигация, поиск

Двойственная кривая (или дуальная кривая) к заданной кривой на проективной плоскости — это кривая на двойственной проективной плоскости, состоящая из касательных к заданной гладкой кривой. В этом случае кривые называются взаимно двойственными (дуальными). Понятие может быть обобщено для негладких кривых и на многомерное пространство.

Двойственные кривые являются геометрическим выражением преобразования Лежандра в гамильтоновой механике.





Двойственная проективная плоскость

Точки и прямые на проективной плоскости играют симметричные роли по отношению друг к другу: для любой проективной плоскости <math>P</math> можно рассмотреть двойственную проективную плоскость <math>P^*</math>, в которой точками по определению являются прямые исходной плоскости <math>P</math>. В этом случае прямым плоскости <math>P^*</math> будут соответствовать точки <math>P</math>, а отношение инцидентности будет то же самое с точностью до перестановки аргументов.

Определение

Пусть дана гладкая кривая <math>C</math> на проективной плоскости <math>P</math> . Рассмотрим множество всех её касательных <math>C^*</math>. Это множество можно рассмотреть как множество точек двойственной плоскости <math>P^*</math>. Оно будет образовывать кривую (не обязательно гладкую) в <math>P^*</math>, которая называется двойственной кривой к <math>C</math>[1].

Из-за симметрии между пространством и двойственным пространством кривой, двойственной к кривой в <math>P^*</math> (то есть к однопараметрическому семейству прямых в <math>P</math>), будет кривая в <math>P</math>. Это кривая называется огибающей семейства кривых[2].

Пример

Рассмотрим эллипс, заданный уравнением <math>(x/2)^2+(y/3)^2=1</math> (см. рисунок). Касательными к нему будут прямые, заданные уравнениями <math>\alpha x + \beta y =1</math>, где <math>(2\alpha)^2 + (3\beta)^2=1</math>. Таким образом двойственная к этому эллипсу кривая задаётся, уравнением <math>(2\alpha)^2 + (3\beta)^2=1</math> в координатах <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>.

Свойства

Двойственные кривые обладают следующими свойствами[1][3]:

  • Кривая, двойственная к двойственной кривой, будет исходной кривой: <math>(C^*)^*=C</math>.
  • Если исходная кривая — кривая второго порядка, то двойственная ей кривая тоже будет второго порядка.
  • Каждой двойной касательной (то есть касательной к двум точкам) исходной кривой соответствует точка самопересечения двойственной кривой.
  • Каждой точке перегиба исходной кривой соответствует точка возврата двойственной кривой.

Связь с преобразованиями Лежандра

Двойственные кривые применяются для описания преобразований Лежандра в гамильтоновой механике. А именно преобразование Лежандра — это переход от кривой к двойственной кривой, записанный в аффинных координатах. Это связано со следующим свойством: график строго выпуклой функции двойственен графику преобразования Лежандра для этой функции[1].

Параметризация

Для параметрически заданной кривой, двойственная кривая определяется уравнениями[4]:

<math>X=\frac{y'}{yx'-xy'}</math>
<math>Y=\frac{x'}{xy'-yx'}</math>

Обобщения

Негладкие кривые

Понятие двойственности можно обобщить для ломаных и вообще для негладких кривых, если вместо касательных рассматривать опорные прямые. Прямая на плоскости называется опорной к кривой, если она содержит точку кривой, но при этом вся кривая лежит в одной полуплоскости от этой прямой. Для гладких кривых единственной опорной прямой, проходящей через данную точку кривой, является касательная к этой кривой. Таким образом можно обобщить понятия двойственности для негладких кривых: двойственной кривой к произвольной кривой называется множество её опорных прямых.

Множество опорных прямых для ломаной также образует ломаную: опорные прямые, проходящие через вершины исходной ломаной, образуют отрезок двойственной плоскости. Эта ломаная называется двойственной ломаной. Её вершины получаются из отрезков исходной ломаной[1]. В частности двойственным к многоугольнику будет многоугольник, который называется двойственным многоугольником[en].

Двойственная гиперповерхность

Понятие двойственности можно обобщить и на проективное пространство произвольной размерности. Двойственным проективным пространством называется пространство, состоящее из гиперплоскостей исходного пространства.

Для заданной выпуклой гиперповерхности в проективном пространстве множество гиперплоскостей, опорных к этой гиперповерхности, называется двойственной гиперповерхностью[1].

Примеры

Пусть дана окружность, заданная в некоторой системе координат уравнением <math>x^2+y^2=1</math>. Касательной к окружности в точке <math>(a,b)</math>, где <math>a^2+b^2=1</math>, является прямая <math>ax+by=1</math>. Координатами этой прямой в двойственной системе координат будет пара <math>(a,b)</math>. Таким образом двойственной кривой к окружности будет множество точек двойственной кривой с координатами <math>(a,b)</math>, где <math>a^2+b^2=1</math>, то есть опять окружность.

В более общем случае, если в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math> задана норма, то в сопряжённом пространстве <math>{\mathbb{R}^n}^*</math> можно рассмотреть сопряжённую норму[en]. Каждой точке <math>p</math> пространства <math>{\mathbb{R}^n}^*</math> соответствует гиперплоскость, заданная уравнением <math>p x =1</math>. Оказывается, что поверхность, сопряжённая единичной сфере в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math> (в смысле заданной нормы), является двойственной к единичной сфере в двойственном пространстве в смысле сопряжённой нормы[1].

Так, например, куб — это «сфера» в смысле равномерной нормы (<math>L^\infty</math>). Норма, сопряжённая <math>L^\infty</math>, является <math>L^1</math>-нормой. Следовательно, поверхностью, двойственной к кубу, будет «сфера» в <math>L^1</math>, то есть октаэдр.

Более того, двойственной поверхностью к многограннику будет двойственный многогранник.

См. также

Напишите отзыв о статье "Двойственная кривая"

Примечания

  1. 1 2 3 4 5 6 Владимир Арнольд. [books.google.com/books?id=VLDDBgAAQBAJ&pg=PA32 Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений]. — Litres, 2015-02-21. — С. 32-33. — 379 с. — ISBN 9785457718326.
  2. Сергей Львовский. [books.google.com/books?id=CsKrBwAAQBAJ&pg=PA5 Семейства прямых и гауссовы отображения]. — Litres, 2015-06-27. — С. 5. — 39 с. — ISBN 9785457742048.
  3. Владимир Арнольд. [books.google.com/books?id=o6C9BgAAQBAJ&pg=PA120 Обыкновенные дифференциальные уравнения]. — Litres, 2015-02-21. — С. 120. — 342 с. — ISBN 9785457717886.
  4. Evgueni A. Tevelev. [books.google.com/books?id=6_DU67M3_PgC&pg=PA2 Projective Duality and Homogeneous Spaces]. — Springer Science & Business Media, 2004-11-17. — С. 2. — 272 с. — ISBN 9783540228981.