Дуальное преобразование

Основное свойство проективной плоскости — "симметрия" ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к этой двойственности: один, использующий язык (см. "принцип двойственности" ниже), и другой, более функциональный подход. Они полностью эквивалентны и оба служат исходной точкой для аксиоматических версий геометрии. В функциональном подходе имеется соответствие между геометриями, которое называется двойственностью. В частных примерах такое соответствие может быть построено многими путями. Концепция двойственности плоскости легко расширяется до двойственности в любой конечномерной проективной геометрии.

Принцип двойственности

Если определять проективную плоскость аксиоматически как структуру инцидентности в терминах множества точек P, множества прямых L и бинарного отношения инцидентности I, которое определяет, какие точки лежат на каких прямых, то можно определить двойственную структуру плоскости.

Если обменять ролями "точки" и "прямые" в структуре инцидентности

C=(P,L,I),

получим двойственную структуру

C* =(L,P,I*),

где I* — обратное отношение к I. C* является также проективной плоскостью, которая называется дуальной (двойственной) плоскостью для C.

Если C и C* изоморфны, то C называется самодвойственной. Проективные плоскости PG(2,K) для любого поля (или, в более общем случае, для любого кольца с делением, изоморфного двойственному ему) K являются самодвойственными. В частности, дезарговы плоскости конечного порядка всегда самодвойственны. Однако среди недезарговых плоскостей существуют как самодвойственные (например, плоскости Хьюза), так и не самодвойственные (например, плоскости Холла).

Для проективной плоскости утверждение, касающееся точек, плоскостей и их инцидентности, полученное из другого такого утверждения путём обмена терминов "точка" и "прямая" (со сменой, если нужно, грамматики), называется двойственным утверждением. Двойственным утверждением для "Через две точки проходит единственная прямая" будет "Две прямые пересекаются в одной точке". Образование двойственного утверждения называется дуализацией утверждения.

Если утверждение верно в проективной плоскости C, то двойственное утверждение должно быть верным в дуальной плоскости C*. Это следует из того, что дуализация каждого утверждения в доказательстве "в C" даёт утверждение в доказательстве "в C*".

Принцип двойственности плоскости говорит, что дуализация любой теоремы в самодвойственной проективной плоскости C порождает другую верную теорему в C.

Эта концепция может быть обобщена до двойственности трёхмерного пространства, где понятия "точки" и "плоскости" меняются ролями (а прямые остаются прямыми). Это приводит к Принципу двойственности пространства. Возможны и дальнейшие обобщения (смотрите ниже).

Эти принципы дают хороший повод для употребления "симметричного" термина для отношения инцидентности. Так, вместо предложения "точка лежит на прямой" можно сказать "точка и прямая инцидентны", и для дуализации утверждения достаточно слова точка и прямая переставить местами ("прямая и точка инцидентны").

По определению проективная плоскость представляет собой множество точек и прямых, и проективное преобразование может отображать точки на точки и прямые на прямые. Такое преобразование называется коллинеацией. При рассмотрении двойственности проективной плоскости рассматривается другое отображение, при котором точки переходят в прямые, а прямые – в точки. Такое отображение называется корреляцией. Проективное отображение определяется требованиями сохранения

1) инцидентности точек и прямых

2) двойного отношения

Второе требование использует гармонические четвёрки точек на прямой, образующих проективный ряд точек, концепцию, двойственную пучку прямых в точке.

Двойственные теоремы

Поскольку вещественная проективная плоскость PG(2,R) является самодвойственной, существует ряд хорошо известных утверждений, двойственных друг другу. Среди них:

• Теорема Дезарга ⇔ Обратная теорема Дезарга
• Теорема Паскаля ⇔ Теорема Брианшона
• Теорема Менелая ⇔ Теорема Чевы

Двойственность как отображение

Двойственность (плоскости) — это отображение из проективной плоскости C = (P,L,I) в её дуальную C* = (L,P,I*), сохраняющее свойство инцидентности. Таким образом, двойственность (плоскости) σ отображает точки в прямые и прямые в точки (P^σ = L и L^σ = P) таким образом, что если точка Q лежит на прямой m (обозначается Q I m), то Q^σ I* m^σ ⇔ m^σ I Q^σ. Двойственность (плоскости), являющаяся изоморфизмом, называется корреляцией. Существование корреляции означает самодвойственность проективной плоскости.

В специальном случае, когда проективная плоскость имеет тип PG(2,K), где K — кольцо с делением, двойственность называется взаимным преобразованием. По фундаментальной теореме проективной геометрии взаимное преобразование является композицией автоморфной функции на K и a проективного преобразования. Если используемый автоморфизм является тождественным, то взаимное преобразование называется проективной корреляцией.

Корреляция второго порядка (инволюция) называется поляритетом. Если корреляция не является поляритетом, то φ² будет нетривиальной коллинеацией.

Эта концепция отображения может быть распространена и на пространства более высоких размерностей, так что упоминание плоскости может быть удалено.

Двойственность высоких размерностей

Двойственность проективной плоскости является специальным случаем двойственности для проективных пространств, преобразований PG(n,K) (которые обозначаются также KPⁿ), где K — поле, обменивающих объекты размерности r с объектами размерности n - 1 - r ( = коразмерность r + 1). Таким образом, в проективном пространстве размерности n точки (размерность 0) будут соответствовать гиперплоскостям (коразмерность 1), прямые, проходящие через две точки (размерность 1), будут соответствовать пересечению двух гиперплоскостей (коразмерность 2), и так далее.

Точки PG(n,K) можно рассматривать как ненулевые вектора в (n + 1) –мерном векторном пространстве над K, в котором мы отождествляем два вектора, если они отличаются лишь умножением на скаляр. Другой способ представления как точки n-мерного проективного пространства — как прямые, проходящие через начало координат в K^n + 1, которые являются 1-мерными векторными подпространствами. Итак, n-мерные векторные подпространства поля K^n + 1 представляют (n − 1)-мерные геометрические гиперплоскости проективных n-пространств над K.

Ненулевой вектор u = (u₀,u₁,...,u_n) в K^n + 1 определяет (n - 1) – мерное геометрическое подпространство (гиперплоскость) H_u,

H_u = (x₀,x₁,...,x_n) : u₀x₀ + … + u_nx_n = 0.

Вектор u, используемый для определения гиперплоскости, обозначим u_H, а для обозначения точки, соответствующей концу вектора, будем использовать обозначение u_P. В терминах обычного скалярного произведения, H_u = {x_P : u_H • x_P = 0}. Поскольку K является полем, скалярное произведение симметрично, что означает u_H•x_P = u₀x₀ + u₁x₁ + ... + u_nx_n = x₀u₀ + x₁u₁ + ... + x_nu_n = x_H•u_P. Можно задать взаимное преобразование u_P ↔ H_u между точками и гиперплоскостями. Это соответствие можно распространить на прямые, образованные двумя точками и пересечение двух гиперплоскостей, и так далее.

На проективной плоскости PG(2,K) с полем K мы имеем соответствие: однородные координаты (a,b,c) ↔ прямые, задаваемые уравнениями ax + by + cz = 0. В проективном пространстве PG(3,K) соответствие выглядит как точки в однородных координатах (a,b,c,d) ↔ плоскости, задаваемые уравнениями ax + by + cz + dw = 0. Это соответствие также отображает прямую, задаваемую двумя точками (a₁,b₁,c₁,d₁) и (a₂,b₂,c₂,d₂), в прямую, которая является пересечением двух плоскостей, задаваемых уравнениями a₁x + b₁y + c₁z + d₁w = 0 и a₂x + b₂y + c₂z + d₂w = 0.

Трёхмерное пространство

В полярных отображениях вещественного проективного 3-мерного пространства PG(3,R) точки соответствуют плоскостям, а прямые соответствуют прямым. В стереометрии имеет место двойственность многогранников, когда точки двойственны граням, а рёбра двойственны рёбрам, так что икосаэдр двойственен додекаэдру, а куб двойственен октаэдру.

Геометрическое построение взаимного преобразования

Соответствие в PG(2,R) в однородных координатах может быть описано геометрически. Для этого используется модель вещественной проективной плоскости "единичная сфера с отождествлением антиподов", или, что эквивалентно, модель прямых и плоскостей, проходящих через начало координат пространства R³. Сопоставим прямой, проходящей через начало координат единственной ортогональной плоскости, содержащей начало координат. Если в этой модели прямые считать точками, а плоскости — прямыми проективной плоскости PG(2,R), это сопоставление становится соответствием (а фактически — полярным отображением) проективной плоскости. Сферическую модель можно получить как пересечение прямых и плоскостей, проходящих через начало координат с единичной сферой, имеющей центр в начале координат. Прямые пересекают сферу в двух противоположных точках, которые отождествляются для получения точки проективной плоскости, плоскости же пересекают сферу по большим кругам, которые являются прямыми проективной плоскости.

То, что такое сопоставление "сохраняет" инцидентность, легко показать на модели прямых и плоскостей. Точка, инцидентная прямой в проективной плоскости, соответствует прямой, лежащей на плоскости в модели. Согласно сопоставлению, плоскость становится прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной плоскости. Этот образ (прямая) перпендикулярна любой прямой, лежащей на плоскости, а в частности и исходной прямой (точки проективной плоскости). Все прямые, перпендикулярные исходной прямой, образуют плоскость, которая является ассоциированной плоскостью исходной прямой. Таким образом, образ прямой лежит в образе плоскости, так что инцидентность сохранена.

Полюса и поляры

В евклидовом пространстве зафиксируем окружность C с центром O и радиусом r. Для каждой точки P, отличной от O, определим образ Q', так что OP • OQ = r². Отображение P → Q называется инверсией относительно окружности C. Прямая q, проходящая через P, перпендикулярная OP, называется полярой точки Q по отношению к окружности C.

Пусть q — прямая, не проходящая через O. Опустим перпендикуляр из O на q, который пересекает q в точке P (это ближайшая к O точка прямой q). Образ точки Q (точка P) при инверсии относительно C называется полюсом прямой q. Если точка M лежит на прямой q (не проходящей через O), то полюс прямой q лежит на поляре точки M и наоборот. Процесс, сохраняющий инцидентность, при котором точки и прямые переходят в их поляры и полюсы, по отношению к C называется проективным преобразованием.

Чтобы сделать этот процесс взаимным преобразованием, евклидово пространство (не являющееся проективной плоскостью) необходимо расширить до расширенной евклидовой плоскости путём добавления прямой на бесконечности и точек на бесконечности, которые лежат на этой бесконечно удалённой прямой. На этой расширенной плоскости мы определяем поляру точки O как прямую на бесконечности (и O является полюсом на бесконечности), и полюсы прямых, проходящих через O как точки на бесконечности, где, если прямая имеет угловой коэффициент s (≠ 0), её полюс является бесконечно удалённой точкой, соответствующей классу параллельных прямых с наклоном -1/s. Полюс для оси x — это точка на бесконечности вертикальных прямых, а полюс оси y — точка на бесконечности горизонтальных прямых.

Построение полярного преобразования для инверсии относительно окружности, данное выше, можно обобщить с использованием инверсии относительно конических сечений (на расширенной вещественной плоскости). Взаимное преобразование, построенное таким образом, является проективной корреляцией второго порядка, то есть полярным преобразованием.

Отображение сферы в плоскость

Модель проективной плоскости с единичной сферой изоморфна (принимая во внимание свойство инцидентности) планарной модели, где плоскость расширена проективной прямой на бесконечности. В этой модели противоположные точки сферы (относительно центра) считаются одной точкой.

Чтобы сопоставить точкам сферы точки на плоскости, положим, что сфера касается плоскости в некоторой точке и эту точку мы выберем в качестве начала координат плоскости. Теперь проведём прямую через точку на сфере и центр сферы. Эта прямая пересечёт сферу в некоторой точке. Полученную точку можно использовать для построения взаимно однозначного отображения

<math> f:[0,\pi/2] \times [0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}P^2. </math>.

Если точки в <math> \mathbb{R}P^2 </math> заданы в однородных координатах, то

<math> f:(\theta, \phi) \mapsto [\cos \phi : \sin \phi : \cot \theta], </math>

<math> f^{-1} : [x : y : z] \mapsto \left( \arctan \sqrt{\left({x \over z}\right)^2 + \left({y\over z}\right)^2}, \arctan_2 (y,x) \right). </math>

Прямые на планарной модели являются проекциями больших окружностей сферы, поскольку через прямую на плоскости и начало 3-мерных координат можно провести плоскость, и эта плоскость будет пересекать сферу по большой окружности.

Как можно видеть, любой большой окружности на сфере можно сопоставить проективную точку, соответствующую единственной прямой, перпендикулярной плоскости, на которой окружность лежит и которую можно определить как двойственную. Эта прямая пересекает касательную плоскость, и это показывает, каким образом сопоставить единственную точку плоскости любой прямой этой плоскости, таким образом, что точка будет двойственной к прямой.

Свойства

• Дуальная кривая

Ссылки

• A. Adrian Albert, Reuben Sandler An Introduction to Finite Projective Planes. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1968.
• F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Berlin.
• Р. Бэр. Линейная алгебра и проективная геометрия. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1955.
• M.K. Bennett. Affine and Projective Geometry. — New York: Wiley, 1995. — ISBN 0-471-11315-8.
• Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Projective Geometry: from foundations to applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998. — ISBN 0-521-48277-1.
• Rey Casse Projective Geometry: An Introduction. — New York: Oxford University Press, 2006. — ISBN 0-19-929886-6.
• Judith N. Cederberg. A Course in Modern Geometries. — New York: Springer-Verlag, 2001. — ISBN 0-387-98972-2.
• Г.С.М. Коксетер. Действительная проективная плоскость. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.
• Coxeter, H. S. M. Projective Geometry. — 2nd ed. — Springer Verlag, 2003. — ISBN 978-0-387-40623-7.
• Г.С.М. Коксетер. Введение в геометрию. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1968.
• Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1978. — (Библиотека математического кружка).
• Dembowski Peter. Finite Geometries. — Berlin: Springer Verlag, 1968.
• Lynn E. Garner. An Outline of Projective Geometry. — New York: North Holland, 1981. — ISBN 0-444-00423-8.
• Greenberg, M.J. Euclidean and non-Euclidean geometries. — 4th ed. — Freeman, 2007.
• Р. Хартсхорн. Основы проективной геометрии. — Москва: «Мир», 1970. — («Современная математика» Популярная серия).
• Hartshorne Robin. Geometry: Euclid and Beyond. — Springer, 2000.
• Д. Гилберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. — Москва, Ленинград: Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936.
• D. R. Hughes, F. C. Piper. Projective Planes. — Springer, 1973.
• F. Kárteszi. Introduction to Finite Geometries. — Amsterdam: North-Holland, 1976. — ISBN 0-7204-2832-7.
• R.J. Mihalek. Projective Geometry and Algebraic Structures. — New York: Academic Press, 1972. — ISBN 0-12-495550-9.
• S. Ramanan Projective geometry // Resonance. — Springer India, August 1997. — Т. 2, вып. 8. — С. 87–94. — ISSN [www.sigla.ru/table.jsp?f=8&t=3&v0=0971-8044&f=1003&t=1&v1=&f=4&t=2&v2=&f=21&t=3&v3=&f=1016&t=3&v4=&f=1016&t=3&v5=&bf=4&b=&d=0&ys=&ye=&lng=&ft=&mt=&dt=&vol=&pt=&iss=&ps=&pe=&tr=&tro=&cc=UNION&i=1&v=tagged&s=0&ss=0&st=0&i18n=ru&rlf=&psz=20&bs=20&ce=hJfuypee8JzzufeGmImYYIpZKRJeeOeeWGJIZRrRRrdmtdeee88NJJJJpeeefTJ3peKJJ3UWWPtzzzzzzzzzzzzzzzzzbzzvzzpy5zzjzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzztzzzzzzzbzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzvzzzzzzyeyTjkDnyHzTuueKZePz9decyzzLzzzL*.c8.NzrGJJvufeeeeeJheeyzjeeeeJh*peeeeKJJJJJJJJJJmjHvOJJJJJJJJJfeeeieeeeSJJJJJSJJJ3TeIJJJJ3..E.UEAcyhxD.eeeeeuzzzLJJJJ5.e8JJJheeeeeeeeeeeeyeeK3JJJJJJJJ*s7defeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeSJJJJJJJJZIJJzzz1..6LJJJJJJtJJZ4....EK*&debug=false 0971-8044]. — DOI:10.1007/BF02835009.
• Pierre Samuel. Projective Geometry. — New York: Springer-Verlag, 1988. — ISBN 0-387-96752-4.
• Frederick W. Stevenson Projective Planes. — San Francisco: W.H. Freeman and Company, 1972. — ISBN 0-7167-0443-9.
• Oswald Veblen, J. W. A. Young. Projective geometry. — Boston: Ginn & Co., 1938. — ISBN 978-1-4181-8285-4.
• О.А. Вольберг. Основные идеи проективной геометрии. — Москва, Ленинград: Учпедгиз, 1949.
• С.Л. Певзнер. Проективная геометрия. — Москва: «Просвещение», 1980. — С. 68-69 § 13 Коллинеации.

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/DualityPrinciple.html Duality Principle] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Дуальное преобразование

Его вталкивают в заседание правителей. Испуганный, он хочет бежать, считая себя погибшим; притворяется, что падает в обморок; говорит бессмысленные вещи, которые должны бы погубить его. Но правители Франции, прежде сметливые и гордые, теперь, чувствуя, что роль их сыграна, смущены еще более, чем он, говорят не те слова, которые им нужно бы было говорить, для того чтоб удержать власть и погубить его.
Случайность, миллионы случайностей дают ему власть, и все люди, как бы сговорившись, содействуют утверждению этой власти. Случайности делают характеры тогдашних правителей Франции, подчиняющимися ему; случайности делают характер Павла I, признающего его власть; случайность делает против него заговор, не только не вредящий ему, но утверждающий его власть. Случайность посылает ему в руки Энгиенского и нечаянно заставляет его убить, тем самым, сильнее всех других средств, убеждая толпу, что он имеет право, так как он имеет силу. Случайность делает то, что он напрягает все силы на экспедицию в Англию, которая, очевидно, погубила бы его, и никогда не исполняет этого намерения, а нечаянно нападает на Мака с австрийцами, которые сдаются без сражения. Случайность и гениальность дают ему победу под Аустерлицем, и случайно все люди, не только французы, но и вся Европа, за исключением Англии, которая и не примет участия в имеющих совершиться событиях, все люди, несмотря на прежний ужас и отвращение к его преступлениям, теперь признают за ним его власть, название, которое он себе дал, и его идеал величия и славы, который кажется всем чем то прекрасным и разумным.
Как бы примериваясь и приготовляясь к предстоящему движению, силы запада несколько раз в 1805 м, 6 м, 7 м, 9 м году стремятся на восток, крепчая и нарастая. В 1811 м году группа людей, сложившаяся во Франции, сливается в одну огромную группу с серединными народами. Вместе с увеличивающейся группой людей дальше развивается сила оправдания человека, стоящего во главе движения. В десятилетний приготовительный период времени, предшествующий большому движению, человек этот сводится со всеми коронованными лицами Европы. Разоблаченные владыки мира не могут противопоставить наполеоновскому идеалу славы и величия, не имеющего смысла, никакого разумного идеала. Один перед другим, они стремятся показать ему свое ничтожество. Король прусский посылает свою жену заискивать милости великого человека; император Австрии считает за милость то, что человек этот принимает в свое ложе дочь кесарей; папа, блюститель святыни народов, служит своей религией возвышению великого человека. Не столько сам Наполеон приготовляет себя для исполнения своей роли, сколько все окружающее готовит его к принятию на себя всей ответственности того, что совершается и имеет совершиться. Нет поступка, нет злодеяния или мелочного обмана, который бы он совершил и который тотчас же в устах его окружающих не отразился бы в форме великого деяния. Лучший праздник, который могут придумать для него германцы, – это празднование Иены и Ауерштета. Не только он велик, но велики его предки, его братья, его пасынки, зятья. Все совершается для того, чтобы лишить его последней силы разума и приготовить к его страшной роли. И когда он готов, готовы и силы.
Нашествие стремится на восток, достигает конечной цели – Москвы. Столица взята; русское войско более уничтожено, чем когда нибудь были уничтожены неприятельские войска в прежних войнах от Аустерлица до Ваграма. Но вдруг вместо тех случайностей и гениальности, которые так последовательно вели его до сих пор непрерывным рядом успехов к предназначенной цели, является бесчисленное количество обратных случайностей, от насморка в Бородине до морозов и искры, зажегшей Москву; и вместо гениальности являются глупость и подлость, не имеющие примеров.
Нашествие бежит, возвращается назад, опять бежит, и все случайности постоянно теперь уже не за, а против него.
Совершается противодвижение с востока на запад с замечательным сходством с предшествовавшим движением с запада на восток. Те же попытки движения с востока на запад в 1805 – 1807 – 1809 годах предшествуют большому движению; то же сцепление и группу огромных размеров; то же приставание серединных народов к движению; то же колебание в середине пути и та же быстрота по мере приближения к цели.
Париж – крайняя цель достигнута. Наполеоновское правительство и войска разрушены. Сам Наполеон не имеет больше смысла; все действия его очевидно жалки и гадки; но опять совершается необъяснимая случайность: союзники ненавидят Наполеона, в котором они видят причину своих бедствий; лишенный силы и власти, изобличенный в злодействах и коварствах, он бы должен был представляться им таким, каким он представлялся им десять лет тому назад и год после, – разбойником вне закона. Но по какой то странной случайности никто не видит этого. Роль его еще не кончена. Человека, которого десять лет тому назад и год после считали разбойником вне закона, посылают в два дня переезда от Франции на остров, отдаваемый ему во владение с гвардией и миллионами, которые платят ему за что то.


Движение народов начинает укладываться в свои берега. Волны большого движения отхлынули, и на затихшем море образуются круги, по которым носятся дипломаты, воображая, что именно они производят затишье движения.
Но затихшее море вдруг поднимается. Дипломатам кажется, что они, их несогласия, причиной этого нового напора сил; они ждут войны между своими государями; положение им кажется неразрешимым. Но волна, подъем которой они чувствуют, несется не оттуда, откуда они ждут ее. Поднимается та же волна, с той же исходной точки движения – Парижа. Совершается последний отплеск движения с запада; отплеск, который должен разрешить кажущиеся неразрешимыми дипломатические затруднения и положить конец воинственному движению этого периода.
Человек, опустошивший Францию, один, без заговора, без солдат, приходит во Францию. Каждый сторож может взять его; но, по странной случайности, никто не только не берет, но все с восторгом встречают того человека, которого проклинали день тому назад и будут проклинать через месяц.
Человек этот нужен еще для оправдания последнего совокупного действия.
Действие совершено. Последняя роль сыграна. Актеру велено раздеться и смыть сурьму и румяны: он больше не понадобится.
И проходят несколько лет в том, что этот человек, в одиночестве на своем острове, играет сам перед собой жалкую комедию, мелочно интригует и лжет, оправдывая свои деяния, когда оправдание это уже не нужно, и показывает всему миру, что такое было то, что люди принимали за силу, когда невидимая рука водила им.
Распорядитель, окончив драму и раздев актера, показал его нам.
– Смотрите, чему вы верили! Вот он! Видите ли вы теперь, что не он, а Я двигал вас?
Но, ослепленные силой движения, люди долго не понимали этого.
Еще большую последовательность и необходимость представляет жизнь Александра I, того лица, которое стояло во главе противодвижения с востока на запад.
Что нужно для того человека, который бы, заслоняя других, стоял во главе этого движения с востока на запад?
Нужно чувство справедливости, участие к делам Европы, но отдаленное, не затемненное мелочными интересами; нужно преобладание высоты нравственной над сотоварищами – государями того времени; нужна кроткая и привлекательная личность; нужно личное оскорбление против Наполеона. И все это есть в Александре I; все это подготовлено бесчисленными так называемыми случайностями всей его прошедшей жизни: и воспитанием, и либеральными начинаниями, и окружающими советниками, и Аустерлицем, и Тильзитом, и Эрфуртом.
Во время народной войны лицо это бездействует, так как оно не нужно. Но как скоро является необходимость общей европейской войны, лицо это в данный момент является на свое место и, соединяя европейские народы, ведет их к цели.
Цель достигнута. После последней войны 1815 года Александр находится на вершине возможной человеческой власти. Как же он употребляет ее?
Александр I, умиротворитель Европы, человек, с молодых лет стремившийся только к благу своих народов, первый зачинщик либеральных нововведений в своем отечестве, теперь, когда, кажется, он владеет наибольшей властью и потому возможностью сделать благо своих народов, в то время как Наполеон в изгнании делает детские и лживые планы о том, как бы он осчастливил человечество, если бы имел власть, Александр I, исполнив свое призвание и почуяв на себе руку божию, вдруг признает ничтожность этой мнимой власти, отворачивается от нее, передает ее в руки презираемых им и презренных людей и говорит только:
– «Не нам, не нам, а имени твоему!» Я человек тоже, как и вы; оставьте меня жить, как человека, и думать о своей душе и о боге.

Как солнце и каждый атом эфира есть шар, законченный в самом себе и вместе с тем только атом недоступного человеку по огромности целого, – так и каждая личность носит в самой себе свои цели и между тем носит их для того, чтобы служить недоступным человеку целям общим.
Пчела, сидевшая на цветке, ужалила ребенка. И ребенок боится пчел и говорит, что цель пчелы состоит в том, чтобы жалить людей. Поэт любуется пчелой, впивающейся в чашечку цветка, и говорит, цель пчелы состоит во впивании в себя аромата цветов. Пчеловод, замечая, что пчела собирает цветочную пыль к приносит ее в улей, говорит, что цель пчелы состоит в собирании меда. Другой пчеловод, ближе изучив жизнь роя, говорит, что пчела собирает пыль для выкармливанья молодых пчел и выведения матки, что цель ее состоит в продолжении рода. Ботаник замечает, что, перелетая с пылью двудомного цветка на пестик, пчела оплодотворяет его, и ботаник в этом видит цель пчелы. Другой, наблюдая переселение растений, видит, что пчела содействует этому переселению, и этот новый наблюдатель может сказать, что в этом состоит цель пчелы. Но конечная цель пчелы не исчерпывается ни тою, ни другой, ни третьей целью, которые в состоянии открыть ум человеческий. Чем выше поднимается ум человеческий в открытии этих целей, тем очевиднее для него недоступность конечной цели.
Человеку доступно только наблюдение над соответственностью жизни пчелы с другими явлениями жизни. То же с целями исторических лиц и народов.


Свадьба Наташи, вышедшей в 13 м году за Безухова, было последнее радостное событие в старой семье Ростовых. В тот же год граф Илья Андреевич умер, и, как это всегда бывает, со смертью его распалась старая семья.
События последнего года: пожар Москвы и бегство из нее, смерть князя Андрея и отчаяние Наташи, смерть Пети, горе графини – все это, как удар за ударом, падало на голову старого графа. Он, казалось, не понимал и чувствовал себя не в силах понять значение всех этих событий и, нравственно согнув свою старую голову, как будто ожидал и просил новых ударов, которые бы его покончили. Он казался то испуганным и растерянным, то неестественно оживленным и предприимчивым.
Свадьба Наташи на время заняла его своей внешней стороной. Он заказывал обеды, ужины и, видимо, хотел казаться веселым; но веселье его не сообщалось, как прежде, а, напротив, возбуждало сострадание в людях, знавших и любивших его.
После отъезда Пьера с женой он затих и стал жаловаться на тоску. Через несколько дней он заболел и слег в постель. С первых дней его болезни, несмотря на утешения докторов, он понял, что ему не вставать. Графиня, не раздеваясь, две недели провела в кресле у его изголовья. Всякий раз, как она давала ему лекарство, он, всхлипывая, молча целовал ее руку. В последний день он, рыдая, просил прощения у жены и заочно у сына за разорение именья – главную вину, которую он за собой чувствовал. Причастившись и особоровавшись, он тихо умер, и на другой день толпа знакомых, приехавших отдать последний долг покойнику, наполняла наемную квартиру Ростовых. Все эти знакомые, столько раз обедавшие и танцевавшие у него, столько раз смеявшиеся над ним, теперь все с одинаковым чувством внутреннего упрека и умиления, как бы оправдываясь перед кем то, говорили: «Да, там как бы то ни было, а прекрасжейший был человек. Таких людей нынче уж не встретишь… А у кого ж нет своих слабостей?..»
Именно в то время, когда дела графа так запутались, что нельзя было себе представить, чем это все кончится, если продолжится еще год, он неожиданно умер.
Николай был с русскими войсками в Париже, когда к нему пришло известие о смерти отца. Он тотчас же подал в отставку и, не дожидаясь ее, взял отпуск и приехал в Москву. Положение денежных дел через месяц после смерти графа совершенно обозначилось, удивив всех громадностию суммы разных мелких долгов, существования которых никто и не подозревал. Долгов было вдвое больше, чем имения.
Родные и друзья советовали Николаю отказаться от наследства. Но Николай в отказе от наследства видел выражение укора священной для него памяти отца и потому не хотел слышать об отказе и принял наследство с обязательством уплаты долгов.
Кредиторы, так долго молчавшие, будучи связаны при жизни графа тем неопределенным, но могучим влиянием, которое имела на них его распущенная доброта, вдруг все подали ко взысканию. Явилось, как это всегда бывает, соревнование – кто прежде получит, – и те самые люди, которые, как Митенька и другие, имели безденежные векселя – подарки, явились теперь самыми требовательными кредиторами. Николаю не давали ни срока, ни отдыха, и те, которые, по видимому, жалели старика, бывшего виновником их потери (если были потери), теперь безжалостно накинулись на очевидно невинного перед ними молодого наследника, добровольно взявшего на себя уплату.
Ни один из предполагаемых Николаем оборотов не удался; имение с молотка было продано за полцены, а половина долгов оставалась все таки не уплаченною. Николай взял предложенные ему зятем Безуховым тридцать тысяч для уплаты той части долгов, которые он признавал за денежные, настоящие долги. А чтобы за оставшиеся долги не быть посаженным в яму, чем ему угрожали кредиторы, он снова поступил на службу.
Ехать в армию, где он был на первой вакансии полкового командира, нельзя было потому, что мать теперь держалась за сына, как за последнюю приманку жизни; и потому, несмотря на нежелание оставаться в Москве в кругу людей, знавших его прежде, несмотря на свое отвращение к статской службе, он взял в Москве место по статской части и, сняв любимый им мундир, поселился с матерью и Соней на маленькой квартире, на Сивцевом Вражке.
Наташа и Пьер жили в это время в Петербурге, не имея ясного понятия о положении Николая. Николай, заняв у зятя деньги, старался скрыть от него свое бедственное положение. Положение Николая было особенно дурно потому, что своими тысячью двумястами рублями жалованья он не только должен был содержать себя, Соню и мать, но он должен был содержать мать так, чтобы она не замечала, что они бедны. Графиня не могла понять возможности жизни без привычных ей с детства условий роскоши и беспрестанно, не понимая того, как это трудно было для сына, требовала то экипажа, которого у них не было, чтобы послать за знакомой, то дорогого кушанья для себя и вина для сына, то денег, чтобы сделать подарок сюрприз Наташе, Соне и тому же Николаю.
Соня вела домашнее хозяйство, ухаживала за теткой, читала ей вслух, переносила ее капризы и затаенное нерасположение и помогала Николаю скрывать от старой графини то положение нужды, в котором они находились. Николай чувствовал себя в неоплатном долгу благодарности перед Соней за все, что она делала для его матери, восхищался ее терпением и преданностью, но старался отдаляться от нее.
Он в душе своей как будто упрекал ее за то, что она была слишком совершенна, и за то, что не в чем было упрекать ее. В ней было все, за что ценят людей; но было мало того, что бы заставило его любить ее. И он чувствовал, что чем больше он ценит, тем меньше любит ее. Он поймал ее на слове, в ее письме, которым она давала ему свободу, и теперь держал себя с нею так, как будто все то, что было между ними, уже давным давно забыто и ни в каком случае не может повториться.
Положение Николая становилось хуже и хуже. Мысль о том, чтобы откладывать из своего жалованья, оказалась мечтою. Он не только не откладывал, но, удовлетворяя требования матери, должал по мелочам. Выхода из его положения ему не представлялось никакого. Мысль о женитьбе на богатой наследнице, которую ему предлагали его родственницы, была ему противна. Другой выход из его положения – смерть матери – никогда не приходила ему в голову. Он ничего не желал, ни на что не надеялся; и в самой глубине души испытывал мрачное и строгое наслаждение в безропотном перенесении своего положения. Он старался избегать прежних знакомых с их соболезнованием и предложениями оскорбительной помощи, избегал всякого рассеяния и развлечения, даже дома ничем не занимался, кроме раскладывания карт с своей матерью, молчаливыми прогулками по комнате и курением трубки за трубкой. Он как будто старательно соблюдал в себе то мрачное настроение духа, в котором одном он чувствовал себя в состоянии переносить свое положение.


В начале зимы княжна Марья приехала в Москву. Из городских слухов она узнала о положении Ростовых и о том, как «сын жертвовал собой для матери», – так говорили в городе.
«Я и не ожидала от него другого», – говорила себе княжна Марья, чувствуя радостное подтверждение своей любви к нему. Вспоминая свои дружеские и почти родственные отношения ко всему семейству, она считала своей обязанностью ехать к ним. Но, вспоминая свои отношения к Николаю в Воронеже, она боялась этого. Сделав над собой большое усилие, она, однако, через несколько недель после своего приезда в город приехала к Ростовым.
Николай первый встретил ее, так как к графине можно было проходить только через его комнату. При первом взгляде на нее лицо Николая вместо выражения радости, которую ожидала увидать на нем княжна Марья, приняло невиданное прежде княжной выражение холодности, сухости и гордости. Николай спросил о ее здоровье, проводил к матери и, посидев минут пять, вышел из комнаты.