Дуальные числа

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида <math>a+\varepsilon *b</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — вещественные числа, а <math>\varepsilon</math> — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел <math>a</math> и <math>b</math>. Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>. В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид <math>a*\varepsilon</math>. Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами, хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

Определение

Алгебраическое определение

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида <math>(a,\;b)</math>, для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

<math>\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)</math>

<math>\ (a_1,\;b_1) * (a_2,\;b_2) = (a_1 a_2,\;a_1 b_2 + a_2 b_1)</math>

Числа вида <math>(a,\;0)</math> отождествляются при этом с вещественными числами, а число <math>(0,\;1)</math> обозначается <math>\varepsilon</math>, после чего определяющие тождества примут вид:

<math>\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon</math>

<math>(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),</math>

<math>(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).</math>

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо <math>\R[x]/(x^2)</math> кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом <math>x^2</math>.

Линейное представление

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим <math>\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}</math>. Тогда произвольное дуальное число примет вид

<math>a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}</math>.

Показательная форма

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

<math>\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x</math>

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

<math>\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \cdots</math>

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

<math>\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x</math>

<math>\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1</math>

Арифметические операции

• Сложение

  <math>(a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon</math>

• Вычитание

  <math>(a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(a-c)+(b-d)\varepsilon</math>

• Умножение

  <math>(a+b\varepsilon)*(c+d\varepsilon)=(ac)+(bc+ad)\varepsilon</math>

• Деление

  <math>\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon</math>

Корни

Корень n-й степени из числа вида <math>a+\varepsilon b</math> определяется как:

<math>\sqrt[n]{a}+\frac{\varepsilon b} {n \sqrt[n]{a^{n-1}}}</math>

Дифференцирование

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию <math>f(x)</math>, область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что

<math>f(x+y\varepsilon) = f(x) + y\varepsilon f'(x)</math>

Почему это так  

Как известно,

<math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k</math>

то есть

<math>(x+y\varepsilon)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k} (y\varepsilon)^k</math> (1)

но, так как все степени <math>\varepsilon</math> больше единицы равны нулю, то

<math>(x+y\varepsilon)^n=x^n+nx^{n-1}y\varepsilon</math>

теперь рассмотрим разложение функции в ряд Маклорена (с разложением в ряд Тейлора все аналогично):

<math>f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}f^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}</math>

Рассмотрим ту же функцию от дуального аргумента

<math>f(x+y\varepsilon)=\sum_{k=0}^{+\infty}f^{(k)}(0)\frac{(x+y\varepsilon)^k}{k!}</math>

По формуле (1) получаем

<math>f(x+y\varepsilon)=\sum_{k=0}^{+\infty}f^{(k)}\frac{x^k+kx^{k-1}y\varepsilon}{k!}=\sum_{k=0}^{+\infty}f^{(k)}\frac{x^k}{k!}+y\varepsilon\sum_{k=1}^{+\infty}f^{(k)}\frac{x^{k-1

{(k-1)!}</math>

Второе слагаемое - ни что иное как разложение в ряд производной функции <math>f</math>, то есть

<math>f(x+y\varepsilon)=f(x)+y\varepsilon f'(x)</math>

Q.E.D. }}

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) <math>\varepsilon</math> в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если <math>\delta</math> — бесконечно малое число, то с точностью до <math>o(\delta)</math> кольцо гипердействительных чисел вида <math>\R+\R\delta</math> изоморфно кольцу дуальных чисел.

Литература

• [www.math.ru/lib/files/djvu/yaglom/compl_num.djvu И. М. Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963. 192 с.]
• V.V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One [arxiv.org/abs/0707.4024 arXiv:0707.4024]  (англ.)

</math>) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |заголовок2=Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные

|заголовок3=Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица

|заголовок4=Иерархия чисел |список4=<center>

<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа <math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа <math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа <math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа <math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа <math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы <math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы

<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math>

Седенионы

</center> |заголовок5=Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа

|заголовок6=См. также

|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион

}}

Отрывок, характеризующий Дуальные числа

Наряженные дворовые, медведи, турки, трактирщики, барыни, страшные и смешные, принеся с собою холод и веселье, сначала робко жались в передней; потом, прячась один за другого, вытеснялись в залу; и сначала застенчиво, а потом всё веселее и дружнее начались песни, пляски, хоровые и святочные игры. Графиня, узнав лица и посмеявшись на наряженных, ушла в гостиную. Граф Илья Андреич с сияющей улыбкой сидел в зале, одобряя играющих. Молодежь исчезла куда то.
Через полчаса в зале между другими ряжеными появилась еще старая барыня в фижмах – это был Николай. Турчанка был Петя. Паяс – это был Диммлер, гусар – Наташа и черкес – Соня, с нарисованными пробочными усами и бровями.
После снисходительного удивления, неузнавания и похвал со стороны не наряженных, молодые люди нашли, что костюмы так хороши, что надо было их показать еще кому нибудь.
Николай, которому хотелось по отличной дороге прокатить всех на своей тройке, предложил, взяв с собой из дворовых человек десять наряженных, ехать к дядюшке.
– Нет, ну что вы его, старика, расстроите! – сказала графиня, – да и негде повернуться у него. Уж ехать, так к Мелюковым.
Мелюкова была вдова с детьми разнообразного возраста, также с гувернантками и гувернерами, жившая в четырех верстах от Ростовых.
– Вот, ma chere, умно, – подхватил расшевелившийся старый граф. – Давай сейчас наряжусь и поеду с вами. Уж я Пашету расшевелю.
Но графиня не согласилась отпустить графа: у него все эти дни болела нога. Решили, что Илье Андреевичу ехать нельзя, а что ежели Луиза Ивановна (m me Schoss) поедет, то барышням можно ехать к Мелюковой. Соня, всегда робкая и застенчивая, настоятельнее всех стала упрашивать Луизу Ивановну не отказать им.
Наряд Сони был лучше всех. Ее усы и брови необыкновенно шли к ней. Все говорили ей, что она очень хороша, и она находилась в несвойственном ей оживленно энергическом настроении. Какой то внутренний голос говорил ей, что нынче или никогда решится ее судьба, и она в своем мужском платье казалась совсем другим человеком. Луиза Ивановна согласилась, и через полчаса четыре тройки с колокольчиками и бубенчиками, визжа и свистя подрезами по морозному снегу, подъехали к крыльцу.
Наташа первая дала тон святочного веселья, и это веселье, отражаясь от одного к другому, всё более и более усиливалось и дошло до высшей степени в то время, когда все вышли на мороз, и переговариваясь, перекликаясь, смеясь и крича, расселись в сани.
Две тройки были разгонные, третья тройка старого графа с орловским рысаком в корню; четвертая собственная Николая с его низеньким, вороным, косматым коренником. Николай в своем старушечьем наряде, на который он надел гусарский, подпоясанный плащ, стоял в середине своих саней, подобрав вожжи.
Было так светло, что он видел отблескивающие на месячном свете бляхи и глаза лошадей, испуганно оглядывавшихся на седоков, шумевших под темным навесом подъезда.
В сани Николая сели Наташа, Соня, m me Schoss и две девушки. В сани старого графа сели Диммлер с женой и Петя; в остальные расселись наряженные дворовые.
– Пошел вперед, Захар! – крикнул Николай кучеру отца, чтобы иметь случай перегнать его на дороге.
Тройка старого графа, в которую сел Диммлер и другие ряженые, визжа полозьями, как будто примерзая к снегу, и побрякивая густым колокольцом, тронулась вперед. Пристяжные жались на оглобли и увязали, выворачивая как сахар крепкий и блестящий снег.
Николай тронулся за первой тройкой; сзади зашумели и завизжали остальные. Сначала ехали маленькой рысью по узкой дороге. Пока ехали мимо сада, тени от оголенных деревьев ложились часто поперек дороги и скрывали яркий свет луны, но как только выехали за ограду, алмазно блестящая, с сизым отблеском, снежная равнина, вся облитая месячным сиянием и неподвижная, открылась со всех сторон. Раз, раз, толконул ухаб в передних санях; точно так же толконуло следующие сани и следующие и, дерзко нарушая закованную тишину, одни за другими стали растягиваться сани.
– След заячий, много следов! – прозвучал в морозном скованном воздухе голос Наташи.
– Как видно, Nicolas! – сказал голос Сони. – Николай оглянулся на Соню и пригнулся, чтоб ближе рассмотреть ее лицо. Какое то совсем новое, милое, лицо, с черными бровями и усами, в лунном свете, близко и далеко, выглядывало из соболей.
«Это прежде была Соня», подумал Николай. Он ближе вгляделся в нее и улыбнулся.
– Вы что, Nicolas?
– Ничего, – сказал он и повернулся опять к лошадям.
Выехав на торную, большую дорогу, примасленную полозьями и всю иссеченную следами шипов, видными в свете месяца, лошади сами собой стали натягивать вожжи и прибавлять ходу. Левая пристяжная, загнув голову, прыжками подергивала свои постромки. Коренной раскачивался, поводя ушами, как будто спрашивая: «начинать или рано еще?» – Впереди, уже далеко отделившись и звеня удаляющимся густым колокольцом, ясно виднелась на белом снегу черная тройка Захара. Слышны были из его саней покрикиванье и хохот и голоса наряженных.
– Ну ли вы, разлюбезные, – крикнул Николай, с одной стороны подергивая вожжу и отводя с кнутом pуку. И только по усилившемуся как будто на встречу ветру, и по подергиванью натягивающих и всё прибавляющих скоку пристяжных, заметно было, как шибко полетела тройка. Николай оглянулся назад. С криком и визгом, махая кнутами и заставляя скакать коренных, поспевали другие тройки. Коренной стойко поколыхивался под дугой, не думая сбивать и обещая еще и еще наддать, когда понадобится.