Звезда Ходжа

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

<math>*\colon \Lambda^q(T^*M) \to \Lambda^{n-q}(T^*M)</math>

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

<math>\Omega=f(X)dX^0\wedge\ldots\wedge dX^{n-1}</math>

<math>\Omega_{M_1\ldots M_n}=f(X)\varepsilon_{M_1\ldots M_n}</math>

где <math>f(X):M\to \mathbb{R}</math> — неотрицательный скаляр на многообразии <math>M</math>, а <math>\varepsilon_{M_1\ldots M_n}</math> — полностью антисимметричный символ. <math>\varepsilon_{0\ldots n-1}=+1</math>. Даже в отсутствие метрики, если <math>f(X)>0</math>, можно определить контравариантые компоненты формы объёма.

<math>\check{\Omega}=\frac{1}{f(X)}\frac{\partial}{\partial{X^0}}\wedge\cdots\wedge\frac{\partial}{\partial{}{X^{n-1}}}</math>

<math>\check{\Omega}^{M_1\ldots M_n}=f^{-1}(X)\varepsilon^{M_1\ldots M_n}</math>

здесь антисимметричный символ <math>\varepsilon^{M_1\ldots M_n}</math> совпадает <math>\varepsilon_{M_1\ldots M_n}</math>.

В присутствии метрики <math>\Omega</math> с поднятыми индексами может отличаться от <math>\check{\Omega}</math> на знак: <math>\Omega=\sigma\check{\Omega}</math>. Здесь и далее <math>\sigma=\sgn\det(g_{mk})</math>

Введём операцию антисимметризации:

<math>A_{[m_1\ldots m_q]}=\frac{1}{q!}\sum_{\sigma(m_1\ldots m_q)}(-1)^{\sgn(m_1\ldots m_q)}A_{\sigma(m_1\ldots m_q)}</math>. Суммирование ведётся по всем перестановкам <math>\sigma(m_1\ldots m_q)</math> индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности <math>\sgn(\sigma)</math>. Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: <math>A_{k[lm]}=\frac{1}{2!}(A_{klm}-A_{kml})</math>; <math>A_k^{[l}B_p^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^l B_p^m - A_k^m B_p^l)</math>.

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

<math>A^{A\ldots\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor B\ldots}{}_{C\ldots\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor D\ldots}=\frac{1}{k!}A^{A\ldots K_1\ldots K_k B\ldots}{}_{C\ldots K_1\ldots K_k D\ldots}</math>.

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки <math>\lfloor\;\rfloor</math> только по упорядоченным наборам не деля на <math>k!</math>, это связано с тем, что разные наборы индексов <math>K_1\ldots K_k</math>, отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

<math>(A,B)^{(k)}_{M_{k+1}\ldots M_q}{}^{N_{k+1}\ldots N_p}=A_{\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor M_{k+1}\ldots M_q}B^{\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor N_{k+1}\ldots N_p}</math>

<math>(A,B)^{\underline{(k)}}_{M_1\ldots M_{q-k}}{}^{N_1\ldots N_{p-k}}=A_{M_1\ldots M_{q-k}\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor}B^{N_1\ldots N_{p-k}\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor}</math>

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма <math>\Omega</math> и поливектор <math>\check{\Omega}</math> можно ввести операцию <math>*</math>, превращающую поливектор <math>B</math> степени <math>p</math> в дифференциальную форму <math>*B</math> степени <math>n-p</math>, и обратную операцию <math>*^{-1}</math>, превращающую форму <math>A</math> степени <math>q</math> в поливектор <math>*^{-1}A</math> степени <math>n-q</math>

<math>*B=(\Omega,B)^{(p)}</math>

<math>*^{-1}A=(A,\check{\Omega})^{\underline{(q)}}</math>

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

<math>(*B)_{m_{q+1}\ldots m_n}=\frac{f(X)}{q!}B^{m_1\ldots m_q}\varepsilon_{m_1\ldots m_n}</math>

Поскольку <math>*^{-1}*B=B</math> и <math>**^{-1}A=A</math>, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов <math>*</math> и <math>*^{-1}</math> введём пару операторов: <math>\check{*}</math> и <math>\check{*}^{-1}</math>, отличающихся от них знаком.

<math>\check{*}B=(\Omega,B)^{\underline{(p)}}</math>

<math>\check{*}^{-1}A=(A,\check{\Omega})^{(q)}</math>

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика <math>g_{mk}</math>. Обозначим <math>g=\det(g_{mk})</math>.

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой <math>g_{mk}</math> называется форма <math>\Omega=\sqrt{|g|}dX^0\wedge\ldots\wedge dX^{n-1}=\sqrt{|g|}d^n X</math> В компонентах:

<math>\Omega_{m_1\ldots m_n}=\sqrt{|g|}\varepsilon_{m_1\ldots m_n}</math>

<math>\Omega^{m_1\ldots m_n}=\frac{\sqrt{|g|}}{g}\varepsilon^{m_1\ldots m_n}=\frac{\sgn(g)}{\sqrt{|g|}}\varepsilon^{m_1\ldots m_n}</math>

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

<math>A_{m_1\ldots m_n}=A^{l_1\ldots l_n}g_{m_1 l_1}\cdots g_{m_n l_n}</math>

Поэтому мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. <math>(*A)_{m_{q+1}\ldots m_n}=\frac{1}{q!}\Omega_{m_1\ldots m_n}A_{l_1\ldots l_q}g^{m_1 l_1}\cdots g^{m_q l_q}</math>

Дополнительные операторы

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

<math>\delta=*^{-1}d*</math>

<math>(\delta A)^{M_1\ldots M_{q-1}}=\frac{1}{f(X)}\partial_{M_q}(f(X)A^{M_1\ldots M_q})</math>

В присутствие метрики оператор дивергенции <math>\delta</math> выражается через оператор ковариантной производной <math>\nabla</math>, определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

<math>(\delta A)^{M_1\ldots M_{q-1}}=(\nabla,A)^{\underline{(1)}M_1\ldots M_{q-1}}=\nabla_{M_q}A^{M_1\ldots M_q}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{M_q}(\sqrt{|g|}A^{M_1\ldots M_q})</math>

Иногда операцию <math>d</math> (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию <math>\delta</math> — дивергенцией. Для 1-формы операция <math>\delta</math> задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан <math>\Delta</math> от <math>q</math>-формы <math>A</math> определяется формулой:

<math>\Delta A=(-1)^q(\delta d + d\delta)A</math>

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа-Бельтрами:

<math>\Delta\varphi=\nabla_M\nabla^M\varphi=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_M\sqrt{|g|}g^{MN}\partial_N\varphi</math>

Для скаляра <math>\Delta=\nabla_M\nabla^M</math>. Если <math>q>0</math>, то для произвольной метрики в <math>\Delta</math> появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае <math>q=1</math>

<math>(\Delta A)_K=\nabla_M\nabla^M A_K - R_K{}^M A_M</math>

где <math>R_K{}^M</math> — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Источники

• Лекции М. Г. Иванова по курсу «Геометрические методы в классической теории поля». theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html

Отрывок, характеризующий Звезда Ходжа

– Кто привез? – спросил Кутузов с лицом, поразившим Толя, когда загорелась свеча, своей холодной строгостью.
– Не может быть сомнения, ваша светлость.
– Позови, позови его сюда!
Кутузов сидел, спустив одну ногу с кровати и навалившись большим животом на другую, согнутую ногу. Он щурил свой зрячий глаз, чтобы лучше рассмотреть посланного, как будто в его чертах он хотел прочесть то, что занимало его.
– Скажи, скажи, дружок, – сказал он Болховитинову своим тихим, старческим голосом, закрывая распахнувшуюся на груди рубашку. – Подойди, подойди поближе. Какие ты привез мне весточки? А? Наполеон из Москвы ушел? Воистину так? А?
Болховитинов подробно доносил сначала все то, что ему было приказано.
– Говори, говори скорее, не томи душу, – перебил его Кутузов.
Болховитинов рассказал все и замолчал, ожидая приказания. Толь начал было говорить что то, но Кутузов перебил его. Он хотел сказать что то, но вдруг лицо его сщурилось, сморщилось; он, махнув рукой на Толя, повернулся в противную сторону, к красному углу избы, черневшему от образов.
– Господи, создатель мой! Внял ты молитве нашей… – дрожащим голосом сказал он, сложив руки. – Спасена Россия. Благодарю тебя, господи! – И он заплакал.


Со времени этого известия и до конца кампании вся деятельность Кутузова заключается только в том, чтобы властью, хитростью, просьбами удерживать свои войска от бесполезных наступлений, маневров и столкновений с гибнущим врагом. Дохтуров идет к Малоярославцу, но Кутузов медлит со всей армией и отдает приказания об очищении Калуги, отступление за которую представляется ему весьма возможным.
Кутузов везде отступает, но неприятель, не дожидаясь его отступления, бежит назад, в противную сторону.
Историки Наполеона описывают нам искусный маневр его на Тарутино и Малоярославец и делают предположения о том, что бы было, если бы Наполеон успел проникнуть в богатые полуденные губернии.
Но не говоря о том, что ничто не мешало Наполеону идти в эти полуденные губернии (так как русская армия давала ему дорогу), историки забывают то, что армия Наполеона не могла быть спасена ничем, потому что она в самой себе несла уже тогда неизбежные условия гибели. Почему эта армия, нашедшая обильное продовольствие в Москве и не могшая удержать его, а стоптавшая его под ногами, эта армия, которая, придя в Смоленск, не разбирала продовольствия, а грабила его, почему эта армия могла бы поправиться в Калужской губернии, населенной теми же русскими, как и в Москве, и с тем же свойством огня сжигать то, что зажигают?
Армия не могла нигде поправиться. Она, с Бородинского сражения и грабежа Москвы, несла в себе уже как бы химические условия разложения.
Люди этой бывшей армии бежали с своими предводителями сами не зная куда, желая (Наполеон и каждый солдат) только одного: выпутаться лично как можно скорее из того безвыходного положения, которое, хотя и неясно, они все сознавали.
Только поэтому, на совете в Малоярославце, когда, притворяясь, что они, генералы, совещаются, подавая разные мнения, последнее мнение простодушного солдата Мутона, сказавшего то, что все думали, что надо только уйти как можно скорее, закрыло все рты, и никто, даже Наполеон, не мог сказать ничего против этой всеми сознаваемой истины.
Но хотя все и знали, что надо было уйти, оставался еще стыд сознания того, что надо бежать. И нужен был внешний толчок, который победил бы этот стыд. И толчок этот явился в нужное время. Это было так называемое у французов le Hourra de l'Empereur [императорское ура].
На другой день после совета Наполеон, рано утром, притворяясь, что хочет осматривать войска и поле прошедшего и будущего сражения, с свитой маршалов и конвоя ехал по середине линии расположения войск. Казаки, шнырявшие около добычи, наткнулись на самого императора и чуть чуть не поймали его. Ежели казаки не поймали в этот раз Наполеона, то спасло его то же, что губило французов: добыча, на которую и в Тарутине и здесь, оставляя людей, бросались казаки. Они, не обращая внимания на Наполеона, бросились на добычу, и Наполеон успел уйти.
Когда вот вот les enfants du Don [сыны Дона] могли поймать самого императора в середине его армии, ясно было, что нечего больше делать, как только бежать как можно скорее по ближайшей знакомой дороге. Наполеон, с своим сорокалетним брюшком, не чувствуя в себе уже прежней поворотливости и смелости, понял этот намек. И под влиянием страха, которого он набрался от казаков, тотчас же согласился с Мутоном и отдал, как говорят историки, приказание об отступлении назад на Смоленскую дорогу.
То, что Наполеон согласился с Мутоном и что войска пошли назад, не доказывает того, что он приказал это, но что силы, действовавшие на всю армию, в смысле направления ее по Можайской дороге, одновременно действовали и на Наполеона.


Когда человек находится в движении, он всегда придумывает себе цель этого движения. Для того чтобы идти тысячу верст, человеку необходимо думать, что что то хорошее есть за этими тысячью верст. Нужно представление об обетованной земле для того, чтобы иметь силы двигаться.
Обетованная земля при наступлении французов была Москва, при отступлении была родина. Но родина была слишком далеко, и для человека, идущего тысячу верст, непременно нужно сказать себе, забыв о конечной цели: «Нынче я приду за сорок верст на место отдыха и ночлега», и в первый переход это место отдыха заслоняет конечную цель и сосредоточивает на себе все желанья и надежды. Те стремления, которые выражаются в отдельном человеке, всегда увеличиваются в толпе.
Для французов, пошедших назад по старой Смоленской дороге, конечная цель родины была слишком отдалена, и ближайшая цель, та, к которой, в огромной пропорции усиливаясь в толпе, стремились все желанья и надежды, – была Смоленск. Не потому, чтобы люди знала, что в Смоленске было много провианту и свежих войск, не потому, чтобы им говорили это (напротив, высшие чины армии и сам Наполеон знали, что там мало провианта), но потому, что это одно могло им дать силу двигаться и переносить настоящие лишения. Они, и те, которые знали, и те, которые не знали, одинаково обманывая себя, как к обетованной земле, стремились к Смоленску.