Двойственный многогранник
Многогранник, двойственный (или дуальный) к заданному многограннику — многогранник, у которого каждой грани исходного многогранника соответствует вершина двойственного, каждой вершине исходного — грань двойственного и каждому ребру исходного — ребро двойственного. Многогранник, двойственный двойственному, гомотетичен исходному.
Содержание
Построение
Простейший способ построения двойственного многогранника таков:
- Вершины: находятся в центре граней исходного многогранника.
- Рёбра: между вершинами проводится ребро, если соответствующие грани имеют общее ребро.
| Многогранник | Двойственный |
|---|---|
| Тетраэдр | Тетраэдр |
| Октаэдр | Куб |
| Икосаэдр | Додекаэдр |
| Кубооктаэдр | Ромбододекаэдр |
| Икосододекаэдр | Ромботриаконтаэдр |
Построение Дормана Люка
Для однородных многогранников[en] грань двойственного многогранника может быть найдена из вершинной фигуры исходного многогранника с помощью построения Дормана Люка. Это построение первоначально было описано Канди и Роллеттом (Cundy, Rollett, 1961) и позднее было обобщено Веннинджером (Wenninger, 1983).
В качестве примера, возьмём вершинную фигуру (красная) кубооктаэдра, которая используется для получения грани (голубая) ромбододекаэдра.
Перед началом построения получаем вершинную фигуру ABCD путём рассечения каждого прилежащено ребра в середине.
Построение Дормана Люка происходит следующим образом:
- Рисуем вершинную фигуру ABCD
- Рисуем описанную окружность (проходящую через каждый угол A, B, C и D).
- Рисуем касательные к описанной окружности в углах A, B, C, D.
- Отмечаем точки пересечения касательных для смежных точек E, F, G, H.
- Многоугольник EFGH является гранью двойственного многогранника.
В этом примере размер вершинной фигуры выбран таким образом, что её описанная окружность лежит на полувписанной сфере[en] (сфере, касающейся всех рёбер) кубооктаэдра, которая также становится полувписанной сферой двойственного ему ромбододекаэдра.
Конструкция Дормана Люка может быть использована только когда многогранник имеет такую полувписанную сферу и вершинная фигура циклична, т.е. для однородных многогранников[en].
Самодвойственные многогранники
Топологически, самодвойственные многогранники — это те многогранники, двойственные которым имеют в точности ту же связь между вершинапи, рёбрами и гранями. В абстрактном понимании, это многогранники с идентичными диаграммами Хассе.
Геометрически самодвойственный многогранник является не только топологически самодвойственным, полярное преобразование многогранника относительно некоторой точки, обычно, его центроида, является конгруэнтной фигурой. Например, двойственный многогранник правильного тетраэдра является другим правильным тетраэдром, (центрально симметричным относительно центра тетраэдра).
Любой многоугольник топологически самодвойственен (он имеет то же количество вершин и рёбер, и они меняются местами в результате двойственности), но, в общем случае, не являются геометрически самодвойственными (если рассматривать его как жёсткое тело). Правильные многоугольники геометрически самодвойственны — все углы равны, как и рёбра.
Наиболее принятое геометрическое представление выпуклого многогранника — представление в канонической форме, когда все его рёбра должны касаться некой сферы, центр которой совпадает с центром тяжести точек касания. Если такая фигура самодвойственна, полярное преобразование конгруэнтно ей.
Существует бесконечно много геометрически самодвойственных многогранников. Простейшее бесконечное семейство — пирамиды с n сторонами в канонической форме. Другое бесконечное семейство, удлинённые пирамиды[en], состоит из многогранников, которые можно представить как пирамиды, сидящие на вершинах призм (с тем же числом сторон). Добавьте усечённую пирамиду снизу призмы, и вы получите ещё одно бесконечное семейство.
Существует много других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, существует 6 различных многогранников с 7 вершинами и 16 с 8 вершинами[1]
Можно найти также невыпуклые самодвойственные многогранники, такие как выемчатый додекаэдр[en]
 3 |
 4 |
 5[en] |
 6[en] |
 3[en] |
 4[en] |
 5[en] |
 3 |
 4 |
 5 |
 6 |
 7 |
См. также
Напишите отзыв о статье "Двойственный многогранник"
Примечания
|
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Отрывок, характеризующий Двойственный многогранник
Эсаул, щуря светлые глаза, одобрительно кивал головой.– Это все г'авно, тут Рассуждать нечего. Я на свою душу взять не хочу. Ты говог'ишь – помг'ут. Ну, хог'ошо. Только бы не от меня.
Долохов засмеялся.
– Кто же им не велел меня двадцать раз поймать? А ведь поймают – меня и тебя, с твоим рыцарством, все равно на осинку. – Он помолчал. – Однако надо дело делать. Послать моего казака с вьюком! У меня два французских мундира. Что ж, едем со мной? – спросил он у Пети.
– Я? Да, да, непременно, – покраснев почти до слез, вскрикнул Петя, взглядывая на Денисова.
Опять в то время, как Долохов заспорил с Денисовым о том, что надо делать с пленными, Петя почувствовал неловкость и торопливость; но опять не успел понять хорошенько того, о чем они говорили. «Ежели так думают большие, известные, стало быть, так надо, стало быть, это хорошо, – думал он. – А главное, надо, чтобы Денисов не смел думать, что я послушаюсь его, что он может мной командовать. Непременно поеду с Долоховым во французский лагерь. Он может, и я могу».
На все убеждения Денисова не ездить Петя отвечал, что он тоже привык все делать аккуратно, а не наобум Лазаря, и что он об опасности себе никогда не думает.
– Потому что, – согласитесь сами, – если не знать верно, сколько там, от этого зависит жизнь, может быть, сотен, а тут мы одни, и потом мне очень этого хочется, и непременно, непременно поеду, вы уж меня не удержите, – говорил он, – только хуже будет…
Одевшись в французские шинели и кивера, Петя с Долоховым поехали на ту просеку, с которой Денисов смотрел на лагерь, и, выехав из леса в совершенной темноте, спустились в лощину. Съехав вниз, Долохов велел сопровождавшим его казакам дожидаться тут и поехал крупной рысью по дороге к мосту. Петя, замирая от волнения, ехал с ним рядом.
– Если попадемся, я живым не отдамся, у меня пистолет, – прошептал Петя.
– Не говори по русски, – быстрым шепотом сказал Долохов, и в ту же минуту в темноте послышался оклик: «Qui vive?» [Кто идет?] и звон ружья.
Кровь бросилась в лицо Пети, и он схватился за пистолет.
– Lanciers du sixieme, [Уланы шестого полка.] – проговорил Долохов, не укорачивая и не прибавляя хода лошади. Черная фигура часового стояла на мосту.
– Mot d'ordre? [Отзыв?] – Долохов придержал лошадь и поехал шагом.
– Dites donc, le colonel Gerard est ici? [Скажи, здесь ли полковник Жерар?] – сказал он.
– Mot d'ordre! – не отвечая, сказал часовой, загораживая дорогу.
– Quand un officier fait sa ronde, les sentinelles ne demandent pas le mot d'ordre… – крикнул Долохов, вдруг вспыхнув, наезжая лошадью на часового. – Je vous demande si le colonel est ici? [Когда офицер объезжает цепь, часовые не спрашивают отзыва… Я спрашиваю, тут ли полковник?]
И, не дожидаясь ответа от посторонившегося часового, Долохов шагом поехал в гору.
Заметив черную тень человека, переходящего через дорогу, Долохов остановил этого человека и спросил, где командир и офицеры? Человек этот, с мешком на плече, солдат, остановился, близко подошел к лошади Долохова, дотрогиваясь до нее рукою, и просто и дружелюбно рассказал, что командир и офицеры были выше на горе, с правой стороны, на дворе фермы (так он называл господскую усадьбу).
Проехав по дороге, с обеих сторон которой звучал от костров французский говор, Долохов повернул во двор господского дома. Проехав в ворота, он слез с лошади и подошел к большому пылавшему костру, вокруг которого, громко разговаривая, сидело несколько человек. В котелке с краю варилось что то, и солдат в колпаке и синей шинели, стоя на коленях, ярко освещенный огнем, мешал в нем шомполом.
– Oh, c'est un dur a cuire, [С этим чертом не сладишь.] – говорил один из офицеров, сидевших в тени с противоположной стороны костра.
– Il les fera marcher les lapins… [Он их проберет…] – со смехом сказал другой. Оба замолкли, вглядываясь в темноту на звук шагов Долохова и Пети, подходивших к костру с своими лошадьми.
– Bonjour, messieurs! [Здравствуйте, господа!] – громко, отчетливо выговорил Долохов.
Офицеры зашевелились в тени костра, и один, высокий офицер с длинной шеей, обойдя огонь, подошел к Долохову.
– C'est vous, Clement? – сказал он. – D'ou, diable… [Это вы, Клеман? Откуда, черт…] – но он не докончил, узнав свою ошибку, и, слегка нахмурившись, как с незнакомым, поздоровался с Долоховым, спрашивая его, чем он может служить. Долохов рассказал, что он с товарищем догонял свой полк, и спросил, обращаясь ко всем вообще, не знали ли офицеры чего нибудь о шестом полку. Никто ничего не знал; и Пете показалось, что офицеры враждебно и подозрительно стали осматривать его и Долохова. Несколько секунд все молчали.
– Si vous comptez sur la soupe du soir, vous venez trop tard, [Если вы рассчитываете на ужин, то вы опоздали.] – сказал с сдержанным смехом голос из за костра.
Долохов отвечал, что они сыты и что им надо в ночь же ехать дальше.
Он отдал лошадей солдату, мешавшему в котелке, и на корточках присел у костра рядом с офицером с длинной шеей. Офицер этот, не спуская глаз, смотрел на Долохова и переспросил его еще раз: какого он был полка? Долохов не отвечал, как будто не слыхал вопроса, и, закуривая коротенькую французскую трубку, которую он достал из кармана, спрашивал офицеров о том, в какой степени безопасна дорога от казаков впереди их.
– Les brigands sont partout, [Эти разбойники везде.] – отвечал офицер из за костра.
Долохов сказал, что казаки страшны только для таких отсталых, как он с товарищем, но что на большие отряды казаки, вероятно, не смеют нападать, прибавил он вопросительно. Никто ничего не ответил.
«Ну, теперь он уедет», – всякую минуту думал Петя, стоя перед костром и слушая его разговор.
