Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

Теоре́ма о сво́йстве Дарбу́ (Д-сво́йстве) для непреры́вной фу́нкции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.

Формулировка

Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке <math>f:[a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; f\in C\bigl( [a,b] \bigr).</math> Тогда существуют <math>c,d \in \mathbb{R}</math> такие, что

<math>f\bigl([a,b]\bigr) = [c,d].</math>

Замечания

• Если функция <math>f</math> постоянна, то <math>c=d.</math>
• Теорема о свойстве Дарбу утверждает, что непрерывное отображение переводит любой отрезок в отрезок. Это свойство функции называется свойством Дарбу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрим, например, функцию <math>f:[0,1] \to \R,</math> заданную формулой

  <math>f(x) = \left\{

\begin{matrix} \sin \left(\frac{\pi}{2x}\right), & x \in (0,1]\\ 0, & x = 0 \end{matrix} \right..</math>

Тогда функция <math>f</math> обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке <math>x=0.</math>

• Теорема Серпинского. Любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Свойство Дарбу для монотонных функций

Пусть функция <math>f:[a,b] \to \R</math> монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Обобщение

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть <math>F:[a,b] \to \R</math> — дифференцируемая внутри области определения, то есть <math>F \in \mathcal{D}\bigl((a,b)\bigr),</math> и <math>F'(x) = f(x),\; x\in (a,b),</math> а также дифференцируема справа в точке <math>a</math>: <math>F'_+(a) = f_+(a)</math> и слева в точке <math>b</math>: <math>F'_-(b) = f_-(b).</math> Тогда <math>f\bigl([a,b]\bigr)</math> является отрезком, замкнутым лучом или всей прямой (то есть замкнуто и связно).

См. также

• Линейно связное пространство;
• Теорема Больцано — Коши;
• Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте;
• Лемма Ферма.

Отрывок, характеризующий Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

Не только в этих случаях, но беспрестанно этот старый человек дошедший опытом жизни до убеждения в том, что мысли и слова, служащие им выражением, не суть двигатели людей, говорил слова совершенно бессмысленные – первые, которые ему приходили в голову.
Но этот самый человек, так пренебрегавший своими словами, ни разу во всю свою деятельность не сказал ни одного слова, которое было бы не согласно с той единственной целью, к достижению которой он шел во время всей войны. Очевидно, невольно, с тяжелой уверенностью, что не поймут его, он неоднократно в самых разнообразных обстоятельствах высказывал свою мысль. Начиная от Бородинского сражения, с которого начался его разлад с окружающими, он один говорил, что Бородинское сражение есть победа, и повторял это и изустно, и в рапортах, и донесениях до самой своей смерти. Он один сказал, что потеря Москвы не есть потеря России. Он в ответ Лористону на предложение о мире отвечал, что мира не может быть, потому что такова воля народа; он один во время отступления французов говорил, что все наши маневры не нужны, что все сделается само собой лучше, чем мы того желаем, что неприятелю надо дать золотой мост, что ни Тарутинское, ни Вяземское, ни Красненское сражения не нужны, что с чем нибудь надо прийти на границу, что за десять французов он не отдаст одного русского.
И он один, этот придворный человек, как нам изображают его, человек, который лжет Аракчееву с целью угодить государю, – он один, этот придворный человек, в Вильне, тем заслуживая немилость государя, говорит, что дальнейшая война за границей вредна и бесполезна.
Но одни слова не доказали бы, что он тогда понимал значение события. Действия его – все без малейшего отступления, все были направлены к одной и той же цели, выражающейся в трех действиях: 1) напрячь все свои силы для столкновения с французами, 2) победить их и 3) изгнать из России, облегчая, насколько возможно, бедствия народа и войска.